4.1 指数 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.1　指数 课标定位 素养阐释 1.掌握有理数指数幂 (a>0,且a≠1,m,n为整数,且n>0)的概念,理解有理数指数幂的运算性质. 2.掌握根式的概念,能进行分数指数幂与根式的互化. 3.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质. 4.感受数学抽象与逻辑推理的过程,提升数学运算素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 易 错 辨 析 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、n次方根 1.由32=9和(-3)2=9我们可得到9的平方根是什么?由53=125以及(-3)3=-27我们可以得到125和-27的立方根分别是什么? 提示:9的平方根是3和-3,125和-27的立方根分别是5和-3. 2.填空: (2)方根的性质: ①当n为奇数时:正数的n次方根是正数,负数的n次方根是 负数. 二、根式 答案:②④ 三、分数指数幂 提示:分数指数幂的形式 . 答案:C 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. (1)任何实数的奇次方根只有1个.( √ ) (2)0的任何次幂都等于0.( × ) 合作探究·释疑解惑 探究一 根式的化简与求值 反思感悟 根式化简与求值的基本原则 (1)被开方数(式)中不能含有能开得尽方的因数或因式. (2)被开方数是带分数的要化成假分数. (3)被开方数(式)中不能含有分母,使用 化简时,如果被开方数不是乘积形式,那么必须先化成乘积形式. 答案:(1)-2　(2)[-3,3] 探究二 分数指数幂的运算 反思感悟 利用指数幂的运算性质化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算的顺序. (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时,若能明确被开方数的符号,则可以对根式进行化简运算. (3)对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示. 探究三 条件求值问题 本例中,若条件不变,试求a3+a-3的值. 解:a3+a-3=(a+a-1)(a2-1+a-2)=4×(14-1)=52. 反思感悟 解决条件求值问题的常用方法:首先观察、分析、发现已知条件与未知表达式之间存在的联系,然后根据指数幂的运算法则,通过配方的方式进行化简或计算. 易 错 辨 析 利用根式的性质不当致错 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 提示:错解中使用根式的性质不当导致错误,应注意根式性质成立的条件. 防范措施 答案:2a-3b 随 堂 练 习 A.4 B.-4 C.±4 D.-8 答案:B 答案:ACD 答案:C 答案:99 十年寒窗磨利剑， 一朝折桂展宏图！ 38 定义 一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N* 性质 n是 奇数 正数的n次方根是一个正数 a的n次方根用符号表示 负数的n次方根是一个负数 n是 偶数 正数的n次方根有 两个,这两个数互为相反数 正数a的正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号-表示 负数没有偶次方根 0的任何次方根都是0 记作=0 ②当n为偶数时:正数的n次方根有两个,这两个数互为相反 数,这时,正数a的正的n次方根用符号表示,负的n次方根 用符号-表示.正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±(a>0).负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都是0. 3.(1)16的4次方根是±2;-32的5次方根为-2. (2)若m的3次方根等于,则m= . 1.式子是否都有意义?在什么情况下有意 义? 提示:式式子有意义;无意义. 在中,当n为奇数时,a∈R;当n为偶数时,a≥0,才有意义. 2.式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数. 3.我们已经知道,若x2=3,则x=±,那么()2等于什么?呢?呢? 提示:()2=3,=3,=3. 4.根式的性质 根据n次方根的意义,可得()n=a. (1)当n为奇数时,= a ; (2)当n为偶数时,=|a|= 5.下列说法正确的有　　　　　.(只填序号)  ①=3;　　 ②64的6次方根是±2; ③=±3; ④=|x+y|. 解析:因为负数的奇次方根是一个负数,所以=-3,所以①错误; 64的6次方根有两个,为±2,故②正确;=3,故③错误; 是非负数,有=|x+y|,故④正确. 1.观察下列各式:=3==22=,你能 发现当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根指数整 除时,可以将根式改用什么形式表示? 2.(1)分数指数幂的意义 ①正数的正分数指数幂:(a>0,m,n∈N*,n>1); ②正数的负分数指数幂:(a>0,m,n∈N*,n>1); ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)实数指数幂的运算性质 ①aras= ar+s (a>0,r,s∈R); ②(ar)s= ars (a>0,r,s∈R); ③(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈R). 3.下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是(　　) A.-=(-x B.=- C.(xy>0) D.(x<0) 解析:因为-=-=(-x(x<0), 所以选项A,B,D不正确. 故选C. (3).( × ) (4)(-2.( × ) 【例1】 (1)若x6=2 021,则x=　　　　　;  (2)若有意义,则实数m的取值范围是　　　　　;  (3)化简的结果为　　　　　.  解析:(1)由n次方根的定义可得x=±. (2)依题意有解得m≤3. (3)=|x+3|-(x-3)= 答案:(1)±　(2)(-∞,3]　(3) (a≥0,b≥0) 【变式训练1】 (1)=　　　　　;  (2)使等式=(3-a)成立的实数a的取值范 围是　　　　　.  解析:(1)=-2; (2)因为=|a-3|·=(3-a), 所以需满足解得-3≤a≤3. 【例2】 计算下列各式: (1)+2-2×-0.010.5; (2)(a>0); (3)(a>0,b>0). 解:(1)原式=1+=1+. (2)原式==1. (3)原式=a0b0=. 【变式训练2】 求解下列各题: (1)计算:+80.25×+()6; (2)化简: 解:(1)原式=×1+(23 =2++22×33=112. (2)原式=b-1. 【例3】 已知a+a-1=4,求下列各式的值: (1)a2+a-2;　　　(2). 解:(1)由a+a-1=4,可得(a+a-1)2=16,即a2+2+a-2=16, 因此a2+a-2=14. (2)设=t,则=t2, 即a+2+a-1=t2,因此得t2=6. 又因为t>0,所以t=.所以. 【典例】 计算:. 错解:=(1+)+(1-)=2. 正解:=1++|1-|=1+-1=2. 对于根式的化简一定要注意判断n是奇数还是偶数,如果 n为奇数,那么=a;如果n为偶数,那么=|a|. 【变式训练】 若=a-2b,则= 　　　　　.  解析:因为=a-2b,所以a≥2b. 所以=a-b+|a-2b|=a-b+a-2b=2a-3b. 1.化简的结果是(　　) 2.(多选题)下列式子正确的是(　　) A. B.·a2=a C. D. 解析:对于A,,正确; 对于B,·a2=,错误; 对于C,,正确; 对于D,,正确. 3.化简的值是(　　) A.0 B.2(a-b) C.0或2(a-b) D.a-b 解析:=|a-b|+a-b,当a≥b时,原式=2(a-b); 当a<b时,原式=0.故选C. 4.计算+0.1-2+-3×π0+=　　　　　.  解析:原式=-3×1+ +100+-3+=99. $$