10.1.4 概率的基本性质课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章　概率 10.1.4　概率的基本性质 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.理解两个事件互斥、互为对立的含义. 2.理解概率的6条基本性质,重点掌握性质3、性质4、性质6及其公式的应用条件. 3.能灵活运用这几条重要性质解决相关的实际问题,培养数学建模和数学化归能力. 基础落实·必备知识全过关 知识点　概率的基本性质 性质1 对任意的事件A,都有P(A)　　0  性质2 必然事件的概率为　　,不可能事件的概率为　　,即P(Ω)=　　, P(⌀)=　　  性质3 如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=　　 　  性质4 如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B) 体现“正难则反”的思想 性质5 如果A⊆B,那么P(A)　　P(B)  性质6 设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有 P(A∪B)=P(A)+P(B)-　　  　　　这两个事件是任意事件 ≥ 1 0 1 0 P(A)+P(B) ≤ P(A∩B) 名师点睛 1.对于P(A∪B)=P(A)+P(B)应用的前提是A,B互斥,并且该公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 该公式我们常称为互斥事件的概率加法公式. 2.若A与B互为对立事件,则有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)=1,并不能得出A与B互为对立事件. 3.对于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),当A∩B=⌀时,就是性质3. 过关自诊 1.(多选题)抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数大于3”为事件A,“向上的点数小于3”为事件B,“向上的点数小于4”为事件C,“向上的点数小于5”为事件D,则下列说法正确的有(　　) A.A与B是互斥事件但不是对立事件 B.A与C是互斥事件也是对立事件 C.A与D是互斥事件 D.C与D不是对立事件也不是互斥事件 ABD 解析在A中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A正确;在B中,A与C是互斥事件也是对立事件,故B正确;在C中,A与D能同时发生,不是互斥事件,故C错误;在D中,C与D能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D正确. 2.掷一枚均匀的正六面体骰子一次,设A=“出现3点”,B=“出现偶数点”,则P(A∪B)=　　　　　.  3.已知数学考试中,小明成绩高于90分的概率为0.3,不低于60分且不高于90分的概率为0.5,求: (1)小明成绩不低于60分的概率; (2)小明成绩低于60分的概率. 解 记事件A=“小明成绩高于90分”,B=“小明成绩不低于60分且不高于90分”,则不难看出A与B互斥,且P(A)=0.3,P(B)=0.5. (1)因为“小明成绩不低于60分”可表示为A∪B,所以由A与B互斥可知P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8. 4.[苏教版教材例题]一只不透明的口袋内装有大小一样的2个白球和2个黑球,从中先后各摸出1个球,记“摸出2个白球”为事件A,“摸出1个白球和1个黑球”为事件B,“摸出2个球中至少有1个白球”为事件C.问:事件A与B是否为互斥事件?是否为对立事件?并求P(C). 解 2个白球分别记为W1,W2,2个黑球分别记为B1,B2,样本点(W1,B1)表示“从口袋内先后摸出的球依次为W1,B1”,余下的类推,则样本空间Ω={(W1,W2),(W1,B1),(W1,B2),(W2,W1),(W2,B1),(W2,B2),(B1,W1),(B1,W2),(B1,B2), (B2,W1),(B2,W2),(B2,B1)}, A={(W1,W2),(W2,W1)}, B={(W1,B1),(W1,B2),(W2,B1),(W2,B2),(B1,W1),(B1,W2),(B2,W1),(B2,W2)}. 因为AB=⌀,所以A,B是互斥事件. 又因为A∪B≠Ω,所以A,B不是对立事件. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　互斥、互为对立事件的判断 【例1】 判断下列各事件是不是互斥事件,如果是互斥事件,那么是不是对立事件,并说明理由. 某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学去参加演讲比赛,其中: (1)恰有1名男生和恰有2名男生; (2)至少有1名男生和至少有1名女生; (3)至少有1名男生和全是女生. 解 (1)是互斥事件.理由是在所选的2名同学中,“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和1名女生”,它与“恰有2名男生”不可能同时发生,所以是互斥事件.不是对立事件.理由是当选出的2名同学都是女生时,这两个事件都没有发生,所以不是对立事件. (2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”这两种结果,当选出的是1名男生、1名女生时,它们同时发生. (3)是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”这两种结果,它与“全是女生”不可能同时发生.是对立事件.这两个事件不能同时发生,且必有一个发生,所以是对立事件. 规律方法　1.判断互斥事件和对立事件时,主要用定义来判断.当两个事件不能同时发生时,这两个事件是互斥事件;当两个事件不能同时发生且必有一个发生时,这两个事件是对立事件. 2.当事件的构成比较复杂时,可借助于集合的思想方法进行互斥事件、对立事件的判定. 变式探究在本例中,若从中任选3名同学呢?试分析问题(1),(2)的两个事件之间的关系. 解 (1)是互斥事件.理由是在所选的3名同学中“恰有1名男生”实质是选出“1名男生和2名女生”;“恰有2名男生”实质是选出“2名男生和1名女生”,显然两个事件不能同时发生,是互斥事件; 两个事件不是对立事件,因为当选出“3名男生”时,两个事件可以同时不 发生. 综上,两个事件是互斥事件,但不是对立事件. (2)不是互斥事件.理由是“至少有1名男生”包含“有1名男生、2名女生”“有2名男生、1名女生”“有3名男生”三种结果;“至少有1名女生”包含“有1名女生、2名男生”“有2名女生、1名男生”,显然两个事件可以同时发生,所以不是互斥事件,更不是对立事件. 探究点二　互斥事件的概率加法公式的应用 【例2】 已知事件E,F互斥,P(E)=0.2,P(E∪F)=0.8,则P(F)=　　　　.  0.6 解析 ∵E,F互斥,P(E)=0.2,P(E∪F)=0.8, ∴P(F)=P(E∪F)-P(E)=0.8-0.2=0.6. 【例3】 一个盒子中装有各种颜色的球共12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中任取1个球,设事件A=“取出1个红球”,事件B=“取出1个黑球”,事件C=“取出1个白球”,事件D=“取出1个绿球”.求: (1)“取出的1个球为红球或黑球”的概率; (2)“取出的1个球为红球或黑球或白球”的概率. 规律方法　1.当所求事件比较烦琐时,将所求事件转化为彼此互斥的若干个事件的和,利用概率的加法公式求解.互斥事件的概率加法公式可以推广为P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An),其使用的前提仍然是A1,A2,…,An彼此互斥.在将事件拆分成若干个互斥事件时,注意不能重复和遗漏. 2.当所要拆分的事件非常烦琐,而其对立事件较为简单时,可先求其对立事件的概率,再运用公式求解.但是一定要找准其对立事件,避免错误. 变式训练1(1)抛掷一个质地均匀的骰子一次,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“不小于5的点数出现”,则事件A或事件B至少有一个发生的概率为(　　) A (2)[苏教版教材例题]某人射击1次,命中7~10环的概率如表所示. 命中环数 10环 9环 8环 7环 概率 0.12 0.18 0.28 0.32 ①射击1次,求至少命中7环的概率; ②射击1次,求命中不足7环的概率. 解 记“射击1次,命中k环”为事件Ak(k∈N,且7≤k≤10),则事件A7,A8,A9,A10两两互斥. ①记“射击1次,至少命中7环”为事件A,则当A10,A9,A8或A7之一发生时,事件A发生. 由互斥事件的概率加法公式,得P(A)=P(A10∪A9∪A8∪A7)=P(A10)+P(A9)+P(A8)+P(A7) =0.12+0.18+0.28+0.32=0.9. ②事件“射击1次,命中不足7环”是事件“射击1次,命中至少7环”的对立事件,即 表示事件“射击1次,命中不足7环”. 根据对立事件的概率公式,得P( )=1-P(A)=1-0.9=0.1. 探究点三　概率性质的综合应用 解 从袋中任取一球,记事件A=“取到红球”,事件B=“取到黑球”,事件C=“取到黄球”,事件D=“取到绿球”, 规律方法　求某些较复杂事件的概率,通常有两种方法:一是将所求事件的概率转化成一些彼此互斥的事件的概率的和;二是先求此事件的对立事件的概率,再用公式求此事件的概率.这两种方法可使复杂事件概率的计算得到简化. BCD 探究点四　概率一般加法公式的应用 【例5】 甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛,他们跑每一棒的概率均为 .求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率. 规律方法　1.对于互斥事件可直接结合A∪B,A,B的含义进行求解. 2.若该事件不是互斥事件,则需要套用公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),特别要注意P(A∩B)的数值. 变式训练3在所有的两位数(10~99)中,任取一个数恰好能被2或3整除的概率是(　　) C 本节要点归纳 1.知识清单: (1)概率的基本性质. (2)互斥事件、对立事件概率公式的应用. (3)概率性质的综合应用. (4)概率一般加法公式的应用. 2.方法归纳:正难则反. 3.常见误区:复杂事件用若干个简单的互斥事件表示时易出现重复和遗漏. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.(多选题)下列结论错误的是(　　) A.若A,B互为对立事件,P(A)=1,则P(B)=0 B.若事件A,B,C两两互斥,则事件A与B∪C互斥 C.若事件A与B为两个随机事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B) D.若事件A与B互斥,则它们的对立事件也互斥 CD 解析 若A,B互为对立事件,P(A)=1,则P(B)=1-P(A)=0,故A正确; 若事件A,B,C两两互斥,则事件A,B,C不能同时发生,则事件A与B∪C也不可能同时发生,则事件A与B∪C互斥,故B正确; 当A与B为互斥事件时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),对于一个随机试验中的任意两个事件A,B满足P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),故C错误; 若事件A,B互斥但不对立,则它们的对立事件不互斥,故D错误. 1 2 3 4 5 2.从集合{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一个,若这个子集不是集合{a,b,c}的子集的概率是 ,则该子集恰是集合{a,b,c}的子集的概率是(　　) C 1 2 3 4 5 3.为迎接冬季运动会,某工厂生产了一批滑雪板,这批产品按质量分为一等品、二等品、三等品.从这批滑雪板中随机抽取一件滑雪板检测,已知抽到不是三等品的概率为0.97,抽到一等品或三等品的概率为0.88,则抽到一等品的概率为　　　　.  0.85 解析 由题意,抽到一等品或二等品的概率为0.97, 抽到二等品的概率为1-0.88=0.12, 则抽到一等品的概率为0.97-0.12=0.85. 1 2 3 4 5 4.一个电路板上装有甲、乙两根熔丝,甲熔断的概率为0.85,乙熔断的概率为0.74,两根同时熔断的概率为0.63,则至少有一根熔断的概率是　　　　.  0.96 解析 设A=“甲熔丝熔断”,B=“乙熔丝熔断”,则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B. P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.85+0.74-0.63=0.96. 1 2 3 4 5 5.据统计,某储蓄所一个窗口排队等候的人数及相应概率如下表: 排队等候的人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 (1)求至多2人排队等候的概率; (2)求至少2人排队等候的概率. 1 2 3 4 5 解 记在窗口排队等候的人数为0,1,2分别为事件A,B,C,则A,B,C两两互斥. (1)至多2人排队等候的概率是P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)至少2人排队等候的对立事件是“排队等候人数为0或1”,而排队等候人数为0或1的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.1+0.16=0.26,故至少2人排队等候的概率为1-0.26=0.74. 解析 P(A∪B)=P(A)+P(B)=. (2)因为“小明成绩低于60分”可表示为, 所以P()=1-P(A∪B)=1-0.8=0.2. 又A∪B=C,故P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=. 解 由题意知P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=, 且事件A,B,C,D彼此为互斥事件,所以 (1)“取出的1个球为红球或黑球”的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=. (2)(方法一)“取出的1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(A∪B∪C) =P(A)+P(B)+P(C)=. (方法二)“取出的1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出的1个球为绿球”,即A∪B∪C的对立事件为D, 所以“取出的1个球为红球或黑球或白球”的概率为 P(A∪B∪C)=1-P(D)=1-. A. B. C. D. 解析 因为事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“不小于5的点数出现”, 所以P(A)=, P(B)=, 又小于5的偶数点有2和4,不小于5的点数有5和6, 所以事件A和事件B为互斥事件, 则事件A或事件B至少有一个发生的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=,故选A. 【例4】 袋中有12个除颜色外完全相同的小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球.从中任取一球,取到红球的概率是,取到黑球或黄球的概率是,取到黄球或绿球的概率是.试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少? 则有 解得P(B)=,P(C)=,P(D)=, 所以取到黑球的概率为,取到黄球的概率为,取到绿球的概率为. 变式训练2(多选题)甲、乙两人下棋,和棋的概率为,乙获胜的概率为,则下列说法错误的是(　　) A.甲获胜的概率是 B.甲不输的概率是 C.乙输的概率是 D.乙不输的概率是 解析 因为“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件,所以甲获胜的概率是1-,故A正确; 设“甲不输”为事件A,则事件A是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(A)=,故B错误; “乙输”的概率即“甲获胜”的概率,为,故C错误;设“乙不输”为事件B,则事件B是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件,所以P(B)=,故D错误. 故选BCD. 解 设事件A=“甲跑第一棒”,事件B=“乙跑第四棒”,则P(A)=,P(B)=. 记甲跑第x棒,乙跑第y棒为(x,y), 则共有可能结果12种,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}. 甲跑第一棒,乙跑第四棒只有一种结果,即(1,4), 故P(A∩B)=. 所以,甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=. A. B. C. D. 解析 在所有的两位数中,能被2整除的共计45个.能被3整除的共计30个.能被6整除的共计15个.因此所求概率为. 解析 该子集恰是{a,b,c}的子集的概率为1-. A. B. C. D. $$