10.2 事件的相互独立性 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章　概率 10.2　事件的相互独立性 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.理解相互独立事件的意义,弄清事件“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念. 2.掌握两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式. 3.能够综合运用相互独立事件的概率乘法公式解决一些较简单的相关概率计算问题. 4.培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生数学转化与化归的能力. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　两个事件相互独立 对任意两个事件A与B,如果　 　　　　　　成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为　　　　.   　 A与B的发生互不影响 名师点睛 2.必然事件Ω、不可能事件⌀都与任意事件相互独立.因为必然事件Ω总会发生,不会受任何事件是否发生的影响,不可能事件⌀总不会发生,也不受任何事件是否发生的影响.当然,它们也不影响其他事件是否发生. 3.对于n个事件A1,A2,…,An,如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响,则称n个事件A1,A2,…,An相互独立. P(AB)=P(A)P(B) 独立 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若两个事件互斥,则这两个事件相互独立.(　　) (2)若事件A与事件B相互独立,那么事件A与事件 也相互独立.(　　) 2.射击运动员甲和乙进行射击比赛,“甲中靶”和“乙中靶”是否相互独立? × √ 提示 相互独立.理论上讲,两名运动员彼此之间互不影响,故我们认为这两个事件相互独立. 3.[人教B版教材习题]掷一个均匀的骰子,设事件A为“掷出的点数小于4”,B为“掷出1点或6点”,判断事件A与 是否独立. 知识点2　两个相互独立事件同时发生的概率乘法公式 若A,B是两个相互独立事件,则有P(AB)=P(A)P(B)成立.  　　　　　　　　　条件,必不可少 名师点睛 1.三个事件A,B,C两两互斥,则P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)成立.但三个事件A,B,C两两独立时,等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立. 2.A,B,C相互独立的充要条件是:P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(CA)=P(C)P(A),P(ABC)=P(A)P(B)·P(C),4个条件每个都必不可少. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)三个事件A,B,C相互独立,则P(ABC)=P(A)P(B)P(C).(　　) (2)三个事件A,B,C两两独立,则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一定成立.(　　)  2.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 .假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球至少有一球落入盒子的概率为　　　　　.  √ × 3.如果连续2次掷一枚骰子,结果都是1点的概率为　　　　　.  重难探究·能力素养全提升 探究点一　相互独立事件的判断 【例1】 抛掷一枚均匀的骰子一次,记事件A=“出现偶数点”,B=“出现3点或6点”,则事件A与B的关系是(　　) A.互斥 B.相互独立 C.既互斥又相互独立 D.既不互斥又不相互独立 B 规律方法　 变式训练1袋内有3个白球和2个黑球,从中不放回地摸球,记A=“第一次摸的白球”,B=“第二次摸的白球”,则A与B(　　) A.互斥 B.相互独立 C.对立 D.不相互独立 D 探究点二　相互独立事件同时发生的概率 【例2】 [2023甘肃定西临洮月考]某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为 ,且三个项目是否成功相互独立. (1)求恰有两个项目成功的概率; (2)求至少有一个项目成功的概率. 规律方法　解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义,若A,B相互独立,则 也是相互独立的,代入相互独立事件的概率公式求解. 变式训练2(1)在举重比赛中,甲、乙两名运动员试举某个重量成功的概率分别为 ,且每次试举成功与否互不影响. ①求甲试举两次,两次均失败的概率; ②求甲、乙各试举一次,至多有一人试举成功的概率. (2)设事件A与事件B相互独立,两个事件中只有A发生的概率与只有B发生的概率都是 ,求P(A),P(B). 探究点三　相互独立事件概率的综合应用 【例3】 小王某天乘火车从重庆到上海去办事,若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求: (1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率; (2)这三列火车至少有一列正点到达的概率. 变式探究在例3中条件不变,试求恰有一列火车正点到达的概率. 规律方法　明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义.一般地,已知两个事件A,B,它们的概率分别为P(A),P(B),那么: (1)A,B中至少有一个发生为事件A+B. (2)A,B都发生为事件AB. 变式训练3[北师大版教材例题]甲、乙两人独立破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为 ,求: (1)两人都译出密码的概率; (2)两人都译不出密码的概率; (3)恰有一人译出密码的概率; (4)至多有一人译出密码的概率; (5)至少有一人译出密码的概率. (4)设事件F表示“至多有一人译出密码”. (方法1)事件F可以看作事件“两人都译不出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件,所以F=D∪E,且D与E彼此互斥,因此P(F)=P(D∪E)=P(D)+P(E) (5)设事件G表示“至少有一人译出密码”. (方法1)事件G可以看作事件“两人都译出密码”与“恰有一人译出密码”的并事件,所以G=C∪E,且C与E彼此互斥,因此P(G)=P(C∪E)=P(C)+P(E) 本节要点归纳 1.知识清单: (1)相互独立事件的判断. (2)相互独立事件概率的计算. 2.方法归纳:定义判断、分类讨论. 3.常见误区:对复杂事件不能做到正确拆分. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 B 1 2 3 4 5 C 1 2 3 4 5 3.(多选题)分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A是“第一枚为正面”,事件B是“第二枚为正面”,事件C是“两枚结果相同”,则下列事件相互独立的是 (　　) A.A与B B.A与C C.B与C D.都不具有独立性 ABC 解析 利用古典概型概率公式计算可得P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5, P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,P(BC)=0.25.可以验证P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义,事件A与B相互独立,事件B与C相互独立,事件A与C相互独立. 1 2 3 4 5 4.如图所示,用K,A1,A2三个不同的元件连接成一个系统.当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.5,则系统正常工作的概率为　　　　.  0.81 解析 当K正常工作且A1,A2至少有一个正常工作时,系统正常工作.K,A1,A2正常工作的概率依次为0.9,0.8,0.5,则系统正常工作的概率为 P=0.9×[1-(1-0.8)(1-0.5)]=0.81. 1 2 3 4 5 5.某天上午,小刚要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是　　　　　.  0.98 解析 至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98. 1.如果A与B相互独立,那么A与与B,也都相互独立. 解 由题意知P(A)=,P()=,P(A)=, 所以P(A)=P(A)·P(), 所以事件A与相互独立. 解析 ∵甲、乙两球落入盒子的概率分别为, ∴甲、乙两球至少有一球落入盒子的概率为1-1-×. 解析 因为A={2,4,6},B={3,6},A∩B={6}, 所以P(A)=,P(B)=,P(AB)=, 所以A与B相互独立. 解 (1)设“投资农产品加工成功”为事件A,“投资绿色蔬菜种植成功”为事件B,“投资水果种植成功”为事件C,则恰有两个项目成功的概率为 P(AB∪AC∪BC)=P(AB)+P(AC)+P(BC) =, 所以恰有两个项目成功的概率为. (2)设“至少有一个项目成功”为事件D,则 P(D)=1-P()=1-, 所以至少有一个项目成功的概率为. 解 (1)①设“甲第一次试举成功”为A1,“甲第二次试举成功”为A2, “甲试举两次,两次均失败”为C, 则P(A1)=P(A2)=,P()=P()=, ∴P(C)=P()=P()P()=. ②设“甲、乙各试举一次,至多有一人试举成功”为D, 则表示“甲、乙各试举一次都成功”, ∴P(D)=1-P()=1-. (2)只有A发生,即A发生; 只有B发生,即B发生. 因为A,B相互独立,所以与B,与A也相互独立. 所以P(A)=P(A)P()=P(A)[1-P(B)]=, P(B)=P()P(B)=P(B)[1-P(A)]=, 即解得 ∴P(A)=,P(B)=. 解 用A,B,C分别表示这三列火车正点到达的事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,所以P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1. (1)由题意得A,B,C之间互相独立,所以恰好有两列正点到达的概率为 P1=P(BC)+P(AC)+P(AB)=P()P(B)·P(C)+P(A)P()P(C)+P(A)P(B)P() =0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1 =0.398. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为 P2=1-P()=1-P()P()P()=1-0.2×0.3×0.1=0.994. 解 恰有一列火车正点到达的概率为 P3=P(A)+P()+P(C) =P(A)P()P()+P()P(B)P()+P()P()P(C) =0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9 =0.092. (3)A,B都不发生为事件. (4)A,B恰有一个发生为事件AB. (5)A,B中至多有一个发生为事件A. 解 记“甲独立译出密码”为事件A,“乙独立译出密码”为事件B,A与B为相互独立事件,且P(A)=,P(B)=. (1)设事件C表示“两人都译出密码”,则C=AB. 因为A与B相互独立,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=. 即两人都译出密码的概率为. (2)设事件D表示“两人都译不出密码”,则D=. 因为A与B相互独立,所以也相互独立. 因此P(D)=P()=P()P()=[1-P(A)][1-P(B)]=1-1-=. 即两人都译不出密码的概率为. (3)设事件E表示“恰有一人译出密码”,事件E可以看作事件“甲译出密码且乙未译出密码”与事件“甲未译出密码且乙译出密码”的并事件,所以E=AB,且两个事件AB彼此互斥,因此P(E)=P(AB)=P(A)+P(B) =P(A)P()+P()P(B)=P(A)[1-P(B)]+[1-P(A)]P(B) =×1-+1-×. 即恰有一人译出密码的概率为. =. 即至多有一人译出密码的概率为. (方法2)事件F的对立事件为“两人都译出密码”,所以=C,因此P(F)=1-P()=1-P(C)=1-. 即至多有一人译出密码的概率为. =. 即至少有一人译出密码的概率为. (方法2)事件G的对立事件为“两人都译不出密码”,所以=D,因此P(G)=1-P()=1-P(D)=1-. 即至少有一人译出密码的概率为. 1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(　　) A. B. C. D. 解析 恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为×1-+1-×, 故选B. 2.某商场举行抽奖活动,若甲、乙两人获奖的概率分别为,且两人是否获奖相互独立,则这两人中至少有一人获奖的概率为(　　) A. B. C. D. 解析 两人中至少有一人获奖的概率为P=. $$