10.3 频率与概率课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章　概率 10.3　频率与概率 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.能借助具体掷硬币的试验来理解频率fn(A)与概率P(A)的关系. 2.会利用fn(A)近似地求解一些事件的概率P(A). 3.了解随机数的含义及用于随机模拟的蒙特卡洛方法. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　随机事件的频率与概率的关系 大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有　　　　　　.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会　　　　,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的　　　　.因此可以用频率fn(A)估计概率P(A).   P(A)≈fn(A),n越大,估计效果越好 随机性 缩小 稳定性 名师点睛 对于频率与概率的区别和联系的剖析 (1)频率本身是随机的,是一个变量,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件发生的频率会不同.比如,全班每个人都做了10次掷硬币的试验,但得到正面朝上的频率可以是不同的. (2)概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次的试验无关.比如,若一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率是 0.5,与做多少次试验无关. (3)频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近于概率.在实际问题中,通常事件发生的概率未知,常用频率作为它的估计值. 过关自诊 1.随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系? 提示 随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小,但并不表示概率大的事件一定发生,概率小的事件一定不发生. 2.[北师大版教材习题]问题辨析: (1)天气预报:“明天降雨的概率是80%”,明天出门是否一定遇上雨? (2)彩票中奖率为1%,你买100张彩票是否一定中奖? (3)抛掷一枚均匀的硬币,出现正面的概率为0.5,那么连续抛掷这枚硬币2次,一定是一次出现正面、一次出现反面吗? 解 (1)不一定,“明天降雨的概率是80%”是指“明天降雨”这一事件发生的可能性是80%,还有20%的可能性“明天不降雨”,故不一定遇上雨. (2)不一定,中奖率1%表示中奖的可能性大小为1%,并不是说买100张彩票就一定有一张中奖. (3)不一定,出现正面的概率为0.5表示抛掷硬币一次,出现正面的可能性为0.5,连续抛掷这枚硬币2枚,可能都出现正面,也可能都出现反面,也可能是一正一反. 3.[人教B版教材习题]从一堆苹果中任取10个,称得它们的质量如下(单位:g): 125,120,122,105,130,114,116,95,120,134. 从这一堆苹果中,随机抽出一个,则得到的苹果质量落在[114.5,124.5]内的概率可估计为多少? 解 10个苹果中,质量落在区间[114.5,124.5]内的有4个,频率为 =0.4,所以苹果质量落在区间[114.5,124.5]内的概率可估计为0.4. 知识点2　随机模拟 1.随机数与伪随机数 (1)例如我们要产生0~9之间的随机整数,像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数. (2)计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的数,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质.因此,计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数. 2.蒙特卡洛方法 利用计算器或计算机软件可以产生随机数,我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这种利用　　　　　　　　解决问题的方法为蒙特卡洛方法.  随机模拟 过关自诊 用频率估计概率,需要做大量的重复试验,有没有其他方法可以替代试验呢? 提示 因为利用计算器或计算机软件可以产生随机数,所以我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这样就可以快速地进行大量重复试验了. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　对概率的正确理解 【例1】 下列说法正确的是(　　) A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5,一对夫妇先后生两个小孩,则一定为一男一女 B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖 C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1 D 解析 一对夫妇生两个小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正确; 中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确; 10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确. 规律方法　概率意义上的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律,与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的.也就是说,单独一次试验结果的不确定性与大量重复试验积累结果的有规律性,才是概率意义上的“可能性”.事件A的概率是事件A的本质属性. 变式训练1试解释下面情况中概率的意义: (1)某商场为促进销售,举办有奖销售活动,凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20; (2)一生产厂家称,我们厂生产的产品合格的概率是0.98. 解 (1)指购买其商品的顾客中奖的可能性是20%; (2)是说该厂生产的产品合格的可能性是98%. 探究点二　随机事件的频率与概率 【例2】 近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨): 类别 “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率. (2)设生活垃圾投放错误为事件A,则A的概率为“厨余垃圾”箱里可回收物量和其他垃圾量、“可回收物”箱里厨余垃圾量和其他垃圾量、“其他垃圾”箱里厨余垃圾量和可回收物量的总和除以生活垃圾总量, 规律方法　1.由统计定义求概率的一般步骤: (1)确定随机事件A的频数nA(n为试验的总次数); (2)由 计算频率fn(A); (3)由频率fn(A)估计概率P(A). 2.概率可看成频率在理论上的稳定值,从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.概率是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠近,只要次数足够多,所得频率就近似地当作随机事件的概率. 变式训练2[苏教版教材例题]对某地近50年8月1日和9月1日的天气资料进行分析,其中降雨的结果如表所示. 时间 近10年 近20年 近30年 近40年 近50年 8月1日降雨/天 8 17 25 33 41 9月1日降雨/天 3 7 9 13 16 问:该地8月1日与9月1日哪一天降雨的可能性大? 解 该地8月1日与9月1日的降雨频率如表所示(精确到0.01). 时间 近10年 近20年 近30年 近40年 近50年 8月1日降雨频率 0.8 0.85 0.83 0.83 0.82 9月1日降雨频率 0.3 0.35 0.3 0.33 0.32 从表中可以看到,8月1日该地降雨的频率在0.8至0.85之间,其降雨的概率大约在0.8至0.85之间.而9月1日该地降雨频率在0.3至0.35之间,其降雨的概率大约在0.3至0.35之间. 因此,可以估计该地8月1日的降雨可能性更大一些. 探究点三　游戏公平性的判断 【例3】 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负责表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平?为什么? 解 该方案是公平的,理由如下: 各种情况如下表所示: 和 4 5 6 7 1 5 6 7 8 2 6 7 8 9 3 7 8 9 10 由上表可知该游戏可能出现的情况共有12种,其中两数字之和为偶数的有6种,为奇数的也有6种. 所以(1)班代表获胜的概率为 (2)班代表获胜的概率为 机会是均等的,所以该方案对双方是公平的. 规律方法　 变式训练3 有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜,猜数方案从以下两种方案中选一种: A.猜“是奇数”或“是偶数”; B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”. 请回答下列问题: (1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,并且怎样猜?为什么? (2)为了保证游戏的公平性,你认为应选哪种猜数方案?为什么? 解 (1)A方案中,“是奇数”和“是偶数”的概率都为0.5;B方案中,“是4的整数倍数”的概率为0.2,“不是4的整数倍数”的概率为0.8,为了尽可能获胜,应选择B方案,猜“不是4的整数倍数”获胜的概率最大. (2)为了保证游戏的公平性,应当选择方案A. 因为方案A猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的. 探究点四　利用随机数求事件的概率 【例4】 一个盒子中有除颜色外其他均相同的5个白球和2个黑球,用随机模拟法求下列事件的概率: (1)任取一球,得到白球; (2)任取三球,都是白球. 解 用1,2,3,4,5表示白球,6,7表示黑球. (1)步骤: ①利用计算器或计算机产生1到7之间的整数随机数,每一个数一组,统计组数为n; ②统计这n组数中小于6的组数m; ③则任取一球,得到白球的概率近似为 . (2)步骤: ①利用计算器或计算机产生1到7之间的整数随机数,每三个数一组(每组中数不重复),统计组数为n'; ②统计这n'组数中,每组三个数字均小于6的组数m'; ③则任取三球,都是白球的概率近似为 规律方法　用整数随机模拟试验估计古典概型的概率时,首先要确定整数随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.可以从以下几个方面考虑: (1)试验的样本点的发生是等可能的,样本点总数就是产生随机数的范围,每组随机数字代表一个样本点; (2)按比例确定表示各个结果的数字个数及总个数; (3)产生的整数随机数的组数n越大,估计的概率准确性越高; (4)这种用模拟试验来求概率的方法所得结果是不精确的,且每次模拟试验最终得到的概率值不一定是相同的. 变式训练4袋子中有四张卡片,分别写有“学、习、强、国”四个字,有放回地从中任取一张卡片,将三次抽取后“学”“习”两个字都取到记为事件A,用随机模拟的方法估计事件A发生的概率,利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数,分别代表“学、习、强、国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取卡片三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数: 232 321 210 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233 由此可以估计事件A发生的概率为(　　) C 解析 18组随机数中,利用列举法求出事件A发生的随机数有210,021,001,130,031,103,共6个,估计事件A发生的概率为 故选C. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)概率与频率的关系. (2)用频率估计概率. (3)用随机模拟估计概率. 2.常见误区:频率与概率的关系易混淆. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]下列叙述随机事件的频率与概率的关系中,说法正确的是(　) A.频率就是概率 B.频率是随机的,与试验次数无关 C.概率是稳定的,与试验次数无关 D.概率是随机的,与试验次数有关 C 解析 频率指的是:在相同条件下重复试验, 事件A出现的次数除以总数,是变化的. 概率指的是:在大量重复进行同一个试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数,这个常数就是事件A的概率,是不变的.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.[探究点一·2023湖南岳阳湘阴期末]某网站举行购物抽奖活动,规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会,中奖的概率为10%.那么以下理解正确的是(　　) A.某人抽奖100次,一定能中奖10次 B.某人消费1 000元,至少能中奖1次 C.某人抽奖1次,一定不能中奖 D.某人抽奖10次,可能1次也没中奖 D 解析 中奖的概率为10%是说明在一次抽奖时,他中奖的可能性有10%,但也可能抽奖10次,一次也没中奖,D正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.[探究点一]关于天气预报中的“某地降水概率为10%”,下列解释正确的 是(　　) A.有10%的区域降水 B.10%太小,不可能降水 C.降水的可能性为10% D.是否降水不确定,10%没有意义 C 解析 根据概率的含义判定. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选题)[探究点一]某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表: 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球的次数 100 55 18 记该篮球运动员在一次投篮中,投中两分球为事件A,投中三分球为事件B,没投中为事件C,用频率估计概率的方法,得到的下述结论中,正确的是 ( 　) A.P(A)=0.55 B.P(B)=0.18 C.P(C)=0.27 D.P(B+C)=0.55 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 显然事件A,B互斥,P(C)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)=0.27, 事件B,C互斥,则P(B+C)=P(B)+P(C)=0.45, 故选项A,B,C都正确,选项D不正确. 故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.[探究点一]一袋中有红球3只,白球5只,还有黄球若干只,某人随意有放回地摸100次,其摸到红球的频数为30,那么袋中的黄球约有　　　　只.每次 摸球,摸到白球的概率为　　　　.  2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.[探究点二]一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是　　　　　.  0.03　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.[探究点二]李老师在某大学连续3年主讲经济学院的《高等数学》,下表是李老师统计的这门课3年来的学生考试成绩分布: 成绩 人数 90分以上 43 80~89分 182 70~79分 260 60~69分 90 50~59分 62 50分以下 8 经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的《高等数学》,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位). (1)90分以上;(2)60~69分;(3)60分以上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 总人数为43+182+260+90+62+8=645,根据公式可计算出选修李老师的《高等数学》的人的考试成绩在各个段上的频率依次为: 用已有的信息,可以估计出王小慧下学期选修李老师的《高等数学》得分的概率如下: (1)将“90分以上”记为事件A,则P(A)≈0.067. (2)将“60~69分”记为事件B,则P(B)≈0.140. (3)将“60分以上”记为事件C,则P(C)≈0.067+0.282+0.403+0.140=0.892. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 级 关键能力提升练 8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数: 907　966　191　925　271　932　812　458　569　683 431　257　393　027　556　488　730　113　537　989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为(　　) A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表: 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 2 020石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,则这批米内夹谷约为(　　) A.222石 B.224石 C.230石 D.232石 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选题)下列说法中不正确的有(　　) A.做9次抛掷一枚均匀硬币的试验,结果有5次出现正面,所以出现正面的频率是 B.盒子中装有大小均匀的3个红球,3个黑球,2个白球,每种颜色的球被摸到的可能性相同 C.从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取得的数小于0和不小于0的可能性相同 D.分别从2名男生,3名女生中各选1名作为代表,那么每名学生被选中的可能性相同 BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为　　　　,估计数据落在[2,10)内的概率约为　　　　.  64　 0.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.一个容量为20的样本,数据的分组及各组的频数如下:在[10,20)内的有2个;在[20,30)内的有3个;在[30,40)内的有x个;在[40,50)内的有5个;在[50,60)内的有4个;在[60,70]内的有2个,并且样本数据在[30,40)内的频率为0.2,则x=　　　　　;根据样本的频率分布估计,总体中数据落在[10,50)内的概率约为　　　　　.  4　 0.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.深夜,某市某路段发生一起出租车交通事故.该市有两家出租车公司,红色出租车公司和蓝色出租车公司,其中红色出租车公司和蓝色出租车公司的出租车分别占整个城市出租车的15%和85%.据现场目击证人说,事故现场的出租车是红色的,并对现场目击证人的辨别能力做了测试,测得他辨认的正确率为80%,于是警察就认定红色出租车具有较大嫌疑.警察这一认定是　　　　的.(填“公平”或“不公平”)  不公平 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 设该市的出租车有1 000辆,那么依题意可得如下信息: 类别 真实颜色 证人眼中的颜色(正确率80%) 蓝色 红色 蓝色(85%) 850 680 170 红色(15%) 150 30 120 合计 1 000 710 290 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.某5G手机配件生产厂为了了解该厂生产同一型号配件的甲、乙两车间的生产质量.质检部门随机从甲、乙两车间各抽检了100件配件,其检测结果: 等级 一等品 二等品 次品 甲车间配件频数 55 33 12 乙车间配件频数 65 27 8 其中一、二等品为正品. (1)分别估计甲、乙车间生产出配件的正品的概率; (2)该厂规定一等品每件的出厂价是二等品每件的出厂价的2倍.已知每件配件的生产成本为5元,根据环保要求,每件次品需要处理费用为3元,厂家要求生产的每件配件的平均利润不低于21.7元,求二等品每件的出厂的最低价. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.为了估计某自然保护区中天鹅的数量,可以使用以下方法:先从该保护区中捕出一定数量的天鹅,例如200只,给每只天鹅做上记号,不影响其存活,然后放回保护区,经过适当的时间,让其和保护区中其余的天鹅充分混合,再从保护区中捕出一定数量的天鹅,例如150只,查看其中有记号的天鹅,设有20只,试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量. C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 (1)厨余垃圾投放正确的概率为 . 即P(A)==0.3. fn(A)= , , . A. B. C. D. P=. 解析 依题意,P(A)==0.55,P(B)==0.18, 解析 设x为袋中黄球的只数,则由,解得x=2.每次摸球,摸到白球的概率为. 解析 P==0.03. ≈0.067,≈0.282,≈0.403,≈0.140,≈0.096,≈0.012. A. B. C. D. 解析 由题意,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,即夹谷占有的概率为,所以2 020石米中夹谷约为2 020×≈224(石). 解析 B中,摸到白球的概率要小于摸到红球或黑球的概率;C中,取得的数小于0的概率大于不小于0的概率;D中,男生被选中的概率为,而女生被选中的概率为,故BCD均不正确. 解析 由=0.2,得x=4,样本数据落在[10,50)内的频率为,所以估计总体中数据落在[10,50)内的概率约为0.7. 从表中可以看出,当证人说出租车是红色时,确定它是红色的概率为≈0.41,而它是蓝色的概率为≈0.59.在实际数据面前,警察仅以目击证人的证词作为推断的依据对红色出租车公司显然是不公平的. 解 (1)由数表可知,甲车间生产出配件的正品的频率为=0.88, 故甲车间生产出配件的正品的概率估计值为0.88. 乙车间生产出配件的正品的频率为=0.92, 故乙车间生产出配件的正品的概率估计值为0.92. (2)设二等品每件的出厂价为a元,则一等品每件的出厂价为2a元. 由题意可知,[120(2a-5)+60(a-5)-20×8]≥21.7,整理得,a-5.3≥21.7,所以a≥18. 故二等品每件的出厂的最低价为18元. 解 设保护区中天鹅的数量约为n,假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的,从保护区中任意捕出一只天鹅,设事件A=“捕到带有记号的天鹅”,则P(A)=,① 第二次从保护区中捕出150只天鹅,其中有20只带有记号,由概率的统计定义可知P(A)=,② 由①②两式,得,解得n=1 500, 所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只. $$