9.1.1 简单随机抽样 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第九章　统计 9.1.1　简单随机抽样 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.了解全面调查与抽样调查的异同. 2.理解抽样调查的目的和基本要求. 3.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数法的一般步骤. 4.了解总体均值、样本均值的定义和求解公式. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　全面调查、抽样调查及抽样方法 1.全面调查和抽样调查 调查方式 全面调查 抽样调查 定义 对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查 根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查 调查方式 全面调查 抽样调查 相关概念 总体:在一个调查中,把调查对象的全体称为总体(也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体) 个体:组成总体的每一个调查对象称为个体(也可以把每一个调查对象的相应指标作为个体) 样本:把从总体中抽取的那部分个体称为样本 样本容量:样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量 2.两种基本的抽样方法 过关自诊 1.抽样调查的优点有哪些? 2.[人教B版教材习题]如果要了解一批节能灯的寿命,应该用普查还是抽样调查?简述理由. 提示 抽样调查由于只抽取一部分个体进行调查,因此具有花费少、效率高的特点.在总体的调查中,如果经费、时间等方面受限,或者调查具有破坏性,那么抽样调查是比较合适的调查方法. 提示 抽样调查.因为要了解一批节能灯的使用寿命,调查过程带有破坏性,只能采取抽样调查,而不能将整批节能灯全部用于试验,所以不宜采用普查,而应采用抽样调查. 3.为了解决下列问题,哪些需要应用样本?并就怎样选取样本说出自己的 想法. (1)某辆汽车使用10 L汽油能行驶多少千米? (2)政府准备新办一所中学,假定其学区为4个确定的小区,设计规划时应确定多少个自行车车位? (3)电视台要了解某综艺节目的收视率. 提示 (1)该汽车使用10 L汽油行驶的里程数,需要应用样本.对不同路况、不同气候条件、不同载重等情况进行实验,获取样本,从而作出估计.比如,通过若干次实验,获得相应的里程数和消耗的汽油升数,从而算得对应的使用10 L汽油所行驶的里程数(单位:km):98,85,88,75,86,79,81,100,88,81. 算得平均数为86.1,由此估计该汽车使用10 L汽油大约能行驶86 km. (2)学生上学的交通方式,有步行、骑自行车、坐公交车、家长接送等.为确定自行车车位数,需要应用样本.可以从4个小区中随机选择若干个有孩子到该校上学的家庭进行调查. (3)要了解某综艺节目的收视率,需要应用样本了解收看该综艺节目的人数,可通过向各种类型的人群发放调查表的方式收集相关数据,也可以进行电话调查或网上调查等. 知识点2　简单随机抽样 一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中　　　　抽取n(1≤n<N)个个体作为样本.  逐个 说明:(1)通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (2)除非特殊声明,本章中所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样,这是因为与放回简单随机抽样相比,不放回简单随机抽样的效率更高,因此实践中人们更多采用不放回简单随机抽样. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)在进行不放回抽样时,总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都 相等.(　　)  (2)从总体中,逐个不放回随机抽取n个个体作为样本和一次性批量随机抽取n个个体作为样本,这两种方法是等价的.(　　) √ √ 2.下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为(　　) ①将500个个体编号,把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀,从中逐个抽取50个作为样本; ②某班有55个同学指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛; ③福利彩票用摇奖机摇奖.　　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.0 B 解析 ②不是等可能抽取,故不是简单随机抽样,①③是简单随机抽样. 知识点3　抽签法和随机数法 1.抽签法 先给个体编号,然后把所看编号写在外观、 质地等无差别的小纸片(也可以是卡片、小球等)上作为号签,并将这些小纸片放在一个不透明的盒里,充分搅拌.最后从盒中不放回地逐个抽取号签,使与号签上的编号对应的个体进入样本,直到抽足样本所需要的人数. 抽签法简单易行,但当总体较大时,操作起来比较麻烦.因此,抽签法一般适用于总体中个体数不多的情形. 2.随机数法 先给个体编号,用随机数工具产生编号范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程,直到抽足样本所需要的人数. 如果生成的随机数有重复,即同一编号被多次抽到,可以剔除重复的编号并重新产生随机数,直到产生的不同编号个数等于样本所需要的人数. 名师点睛 抽签法与随机数法的异同 共同点:(1)抽签法和随机数法都是简单随机抽样的方法,并且要求被抽取样本的总体的个体数有限;(2)抽签法和随机数法都是不放回抽样. 不同点:(1)抽签法相对于随机数法简单;(2)随机数法更适用于总体中的个体数较多的时候,而抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)抽签法和随机数法都是不放回抽样.(　　) (2)抽签法抽签时,先抽签的人占便宜.(　　) (3)生成随机数的方式多种多样,可以用随机试验生成随机数,也可用计算器、数学软件、统计软件生成随机数.(　　) (4)在使用随机数法时,各个个体的编号位数要相同.(　　) 2.采用抽签法抽取样本时,为什么将编号写在形状、大小相同的号签上,并且将号签放在同一个箱子里搅拌均匀? √ × √ √ 提示 为了使每个号签被抽取的可能性相等,保证抽样的公平性. 知识点4　总体均值、样本均值 1.一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称 =　　　　　　　　为总体均值,又称总体平均数,如 果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式 =　　　　　　　　　.  样本不同,样本平均数一般会有所变化 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)由于样本的选取是随机的,因此样本平均数也是具有随机性.(　　) (2)在样本平均数绘制的图形中,样本量大的一般偏离总体平均数更小. (　　) √ √ 2.最近学校进行了一次质量检测,某学生的语文、英语、数学成绩分别是92分,93分,97分,那么他这三科的平均分是多少?如果3个数据变为100个数据呢?再变为n个数据呢?你能求它们的平均数吗? 重难探究·能力素养全提升 探究点一　简单随机抽样的选择与判断 【例1】 下列问题中,最适合用简单随机抽样方法抽取样本的是(　　) A.某电影院有32排座位,每排有40个座位,座位号是1~40.有一次报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,要留下32名听众进行座谈 B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查 C.某学校有在编人员160人.其中行政人员16人,教师112人,后勤人员32人.教育部门为了了解他们对学校机构改革的意见,要从中抽取一个容量为20的样本 D.某乡农田有山地8 000公顷,丘陵12 000公顷,平地24 000公顷,洼地4 000公顷,现抽取农田480公顷,估计全乡农田每公顷的平均产量 B 解析 根据简单随机抽样的特点进行判断.A项中的总体容量较大,用简单随机抽样法比较麻烦;B项中的总体容量较小,用简单随机抽样法比较方便;C项中,由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大,不宜采用简单随机抽样法;D项中,总体容量较大,且各类农田的产量差别很大,也不宜采用简单随机抽样法. 规律方法　简单随机抽样要注意: (1)总体中的个体性质相似,无明显层次; (2)总体容量较小,尤其样本容量较小; (3)抽出的个体带有随机性,个体间一般无固定间距; (4)每个个体入样的可能性均为 变式训练1(1)在简单随机抽样中,某一个体被抽到的可能性(　　) A.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性大一些 B.与第几次抽样无关,每次抽到的可能性都相等 C.与第几次抽样有关,最后一次抽到的可能性要大些 D.与第几次抽样无关,每次都是等可能的抽取,但各次抽取的可能性不一定 B 解析 在简单随机抽样中,每一个个体被抽到的可能性都相等,与第几次抽样无关,故A,C,D不正确,B正确. (2)下列抽取样本的方式属于不放回简单随机抽样的是(　　) ①从无限多个个体中抽取100个个体作样本;②盒子里有80个零件,从中选出5个零件进行质量检验,在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里;③从8台电脑中不放回地随机抽取2台进行质量检验(假设8台电脑已编好号,对编号逐个随机抽取). A.① B.② C.③ D.以上都不对 C 解析 ①不是不放回简单随机抽样,由于被抽取样本的总体的个体数是无限的,而不是有限的.②是放回简单随机抽样.③是不放回简单随机抽样. 探究点二　简单随机抽样等可能性应用 【例2】 一个布袋中有10个同样质地的小球,从中不放回地依次抽取3个小球,则某一特定小球被抽到的可能性是　　　　,第三次抽取时,剩余每个小球被抽到的可能性是　　　　.  规律方法　简单随机抽样,每次抽取时,总体中各个个体被抽到的可能性相同,在整个抽样过程中各个个体被抽到的机会也都相等. 变式训练2用简单随机抽样的方法从含有N个个体的总体中,逐个抽取一个容量为3的样本,若其中个体a在第一次就被抽取的可能性为 ,则N=(　　) A.8 B.24 C.72 D.无法计算 A 探究点三　简单随机抽样的方法 【例3】 要从某汽车厂生产的30辆汽车中随机抽取3辆进行测试,请选择合适的抽样方法,并写出抽样过程. 解 应使用抽签法. 第一步,将30辆汽车编号,号码是01,02,03,…,30; 第二步,将01~30这30个编号写在大小、形状都相同的号签上; 第三步,将写好的号签放入一个不透明的容器中,并搅拌均匀; 第四步,从容器中不放回地每次抽取一个号签,连续抽取3次,并记录上面的编号; 第五步,所得号码对应的3辆汽车就是要抽取的对象. 规律方法　1.一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点: (1)制签方便; (2)个体之间差异不明显. 2.应用抽签法时应注意以下几点: (1)编号时,如果已有编号可不必重新编号; (2)号签要求大小、形状完全相同; (3)号签要搅拌均匀; (4)要逐一不放回的抽取. 变式训练3某城市共有36个大型居民小区,要从中抽取7个调查了解居民小区的物业管理状况.请写出用抽签法抽取样本的过程. 解 第一步,将36个居民小区进行编号,分别为01,02,03,…,36. 第二步,将36个号码分别写在相同的纸片上,揉成团,制成号签. 第三步,将号签放入一个不透明的盒子里,充分搅匀,依次抽取7个号签,并记录上面的号码. 第四步,与这7个号码对应的居民小区就是要抽取的样本. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)全面调查和抽样调查. (2)简单随机抽样. (3)抽签法、随机数法. (4)用样本平均数估计总体平均数. 2.方法归纳:数据分析. 3.常见误区:要注意在简单随机抽样中,每个个体被抽取的可能性是相等的. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]为抽查汽车排放尾气的合格率,某单位在一路口随机抽查,这种抽查是(　　) A.放回简单随机抽样 B.抽签法 C.随机数法 D.以上都不对 D 解析 由于不知道总体的情况(包括总体个数),因此不属于简单随机抽样. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.[探究点二]某学校数学组要从11名数学老师中推选3名老师参加市里举办的教学能手比赛,制作了11个形状、大小相同的签,抽签中确保公平性的关键是(　　) A.制签 B.搅拌均匀 C.逐一抽取 D.抽取后不放回 B 解析 确保公平性要保证每个签抽到是等概率的,因此抽签法要做到搅拌均匀,才能确保公平性.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.[探究点一]某总体容量为M,其中带有标记的有N个,现用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为m的样本,则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.[探究点一·2023四川乐山期末]关于简单随机抽样,下列说法错误的是(　) A.它是从总体中逐个随机抽取 B.被抽取样本的总体可以是无限的 C.它是等可能抽取的 D.样本抽取可以是放回抽样也可以是不放回抽样 B 解析 简单随机抽样中被抽取样本的总体的个数有限,它是从总体中逐个随机抽取,样本抽取可以是放回抽样也可以是不放回抽样,简单随机抽样是一种等可能抽样,即每个个体被抽取的可能性相等,故A,C,D正确,B错误.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.[探究点三]某彩票的中奖号码是从分别标有01,02,…,30的30个小球中逐个不放回地选出7个小球来按规则确定中奖情况,这种从30个号码中选7个号码的抽样方法是　　　　　.  抽签法 解析 30个小球相当于号签,搅拌均匀后逐个不放回地抽取,这是典型的抽签法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.[探究点三]用抽签法进行简单随机抽样时,抽取的号签　　　　　箱中. (填“放回”或“不放回”)  不放回 解析 由抽签法的特征知:抽取的号签不放回箱中. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.[探究点三]学校举办元旦晚会,需要从每班选10名男生,8名女生参加合 唱节目,某班有男生32名,女生28名,试用抽签法确定该班参加合唱节目的同学. 解 第一步,将32名男生从00到31进行编号. 第二步,用相同的纸条制成32个号签,在每个号签上写上这些编号. 第三步,将写好的号签放在一个不透明的容器内摇匀,不放回地从中逐个抽出10个号签. 第四步,相应编号的男生参加合唱. 第五步,用相同的办法从28名女生中选出8名,则此8名女生参加合唱. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 级 关键能力提升练 8.某校高一共有10个班,编号为01,02,…,10,现用抽签法从中抽取3个班进行调查,设高一(5)班被抽到的可能性为a,高一(6)班被抽到的可能性为b,则(　) C 解析 由简单随机抽样的定义,知每个个体被抽到的可能性相等,故高一(5)班和高一(6)班被抽到的可能性均为 . 故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.从一群游戏的小孩中随机抽出k人,一人分一个苹果,让他们返回继续游戏.过了一会儿,再从中任取m人,发现其中有n个小孩曾分过苹果,估计参加游戏的小孩的人数为(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(多选题)下面抽样方法不属于简单随机抽样的是(　　) A.从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本 B.某饮料公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查 C.某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛 D.从10台手机中逐个不放回地随机抽取2台进行质量检验 AC 解析 选项A中,平面直角坐标系中有无数个点,这与要求总体中的个体数有限不相符,故错误; 选项B中,一次性抽取与逐次不放回抽取等价,所以属于简单随机抽样,故正确; 选项C中,5名同学是个子最高的,不符合简单随机抽样的等可能性,故错误; 选项D符合简单随机抽样的要求. 故选AC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.某工厂抽取50个机械零件检验其直径大小,得到如下数据: 直径y/cm 12 13 14 频数 12 34 4 估计这个工厂生产的零件的平均直径大约为　　 　.  12.84 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.在某次测量中,甲工厂生产的某产品的A样本数据如下:43,50,45,55,60.若乙工厂生产的该产品的B样本数据恰好是由A样本数据中每个数都增加5后得到的,则B样本的均值为　　　　　;据此,可以估计乙工厂生产的该产品的总体均值为　　　　　.  55.6　 55.6 解析 A样本数据为43,50,45,55,60,所以B样本数据为48,55,50,60,65,所以B样本数据的均值为 (48+55+50+60+65)=55.6,据此,可以估计乙工厂生产的该产品的总体均值为55.6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 级 学科素养创新练 13.选择合适的抽样方法抽样,并写出抽样过程. (1)现有一批电子元件600个,从中抽取6个进行质量检测; (2)现有甲厂生产的30个篮球,其中一箱21个,另一箱9个,抽取3个入样. 解 (1)总体中个体数较大,用随机数法. 第一步,给元件编号为001,002,003,…,099,100,…,600; 第二步,用随机数工具产生1~600范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的电子元件进入样本; 第三步,依次操作,如果生成的随机数有重复,则剔除并重新产生随机数,直到样本量达到6; 第四步,以上这6个号码对应的元件就是要抽取的对象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)总体中个体数较小,用抽签法. 第一步,将30个篮球,编号为01,02,…,30; 第二步,将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的小纸条上,制成号签; 第三步,把号签放入一个不透明的盒子中,充分搅拌; 第四步,从盒子中不放回地逐个抽取3个号签,并记录上面的号码; 第五步,找出和所得号码对应的篮球. Yi　 fiYi 2.如果从总体中抽取一个容量为n的样本,它们的变量值分别为y1,y2,…,yn,则称=　　　　　　　　　为样本均值,又称样本平均数,在简单随机抽样中,我们常用样本平均数去估计总体平均数.  yi 解 (1)三科平均分为=94(分). (2)若将3个数据改为100个数据,设这100个数据分别为a1,a2,a3,…,a100,则其平均数为(a1+a2+…+a100). (3)若将3个数据改为n个数据,设这n个数据分别为a1,a2,a3,…,an,则其平均数为(a1+a2+…+an). . 　 解析 因为简单随机抽样过程中每个个体被抽到的可能性均为,所以第一个空填.因为本题中的抽样是不放回抽样,所以第一次抽取时,每个小球被抽到的可能性为,第二次抽取时,剩余9个小球,每个小球被抽到的可能性为,第三次抽取时,剩余8个小球,每个小球被抽到的可能性为. 解析 由简单随机抽样可知,得N=8. A. B. C. D.N 解析 总体中带有标记的比例是,则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为. A.a=,b= B.a=,b= C.a=,b= D.a=,b= A. B.k+m-n C. D.不能估计 解析 设参加游戏的小孩有x人,则,解得x=. 解析 =12.84(cm). $$