第6课 尺规作图-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第6课 尺规作图 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解尺规作图的含义和基本尺规作图的范围. 2.会进行以下尺规作图,并了解作法的理由. ①作一个角等于已知角; ②作已知线段的垂直平分线; ③在给定边角条件下，求作三角形. ( 知识精讲 ) 知识点01 尺规作图 用没有刻度的直尺和圆规作图简称尺规作图 知识点02 基本尺规作图 ①作一个角等于已知角; ②作已知线段的垂直平分线; ③在给定边角条件下，求作三角形. ( 能力拓展 ) 考点01 尺规作图 【典例1】如图，已知∠α，∠β，线段m，请用尺规作△ABC，使∠CAB＝∠α，∠CBA＝∠β，AB＝m．（保留作图痕迹，不写作法） ​​ 【即学即练1】已知线段a、b、∠α，用尺规作∠ABC＝∠α，AB＝a，BC＝b．（不写作法，保留作图痕迹） ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．用尺规作图作一个角的角平分线，下列作法错误的是（　　） A． B． C． D． 2．如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 3．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（　　） A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线 C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线 4．已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到边AC、AB的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D．若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（　　） A．10 B．15 C．30 D．20 7．如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结DE，交BC于点P．若AC＝3，△ACP的周长为10，则BC的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图，AB∥CD．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，点F；再分别以点E，点F为圆心，大于为半径作弧，两圆弧交于点G；连接AG并延长交CD于点H，若∠AHD＝115°，则∠C＝　 　°． 9．如图，若∠α＝29°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为 　 　． 10．已知线段a，b，c． （1）用直尺和圆规画出△ABC，使得AB＝a，AC＝b，BC＝c； （2）画出△ABC的∠B的平分线； （3）在△ABC内到边BC和BA两边距离相等的点在哪里？到A、B两点距离相等的点在哪里？请你画出满足下面条件的点M：点M既到BC和BA两边距离的相等，又到A、B两点距离的也相等． 11.如图，在△ABC中， （1）用直尺和圆规作∠C的平分线CD交AB于D（保留作图痕迹，写出作法）； （2）若CD平分∠ACB，且∠A＝70°，∠B＝50°，求∠ACD的度数． 12.如图，已知O是∠PAB的一边AB上的点，按要求作图并保留作图痕迹： （1）过O作AP的平行线； （2）过O作AB的垂线； （3）作∠A的补角∠CAE；、 （4）作∠CAP的平分线． 13．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，写出最后结果） 如图，已知线段a、b和∠1．用直尺和圆规作出下列图形： （1）△ABC，使BC＝a，AC＝b，∠ACB＝∠1； （2）AB边的垂直平分线． 题组B 能力提升练 14．利用尺规作图，过直线AB外一点P作已知直线AB的平行线．下列作法错误的是（　　） A． B． C． D． 15．如图，在△ABC中，以A为圆心，AC为半径作弧交BC于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连结MN交AB于点E，已知△ADE的周长为13，AC＝5，则AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 16．如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 17．根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是（　　） A．EA＝ED B．DE⊥AB C．AF∥DE D．AE＝AF 18．在△ABC内找一点P，使P到A、C两点的距离相等，并且P到AC的距离等于P到BC的距离．如图尺规作图正确的是（　　） A． B． C． D． 19．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，根据尺规作图的痕迹作射线AE，交BD于点Ⅰ，连接CI，则下列说法错误的是（　　） A．点Ⅰ到边AB、AC的距离相等 B．CI平分∠ACB C．∠DIE＝90°+∠ACB D．点Ⅰ到A、B、C三点的距离相等 20．已知，如图，∠AOB中，在OA和OB边上分别截取OM，ON，使OM＝ON，分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，作射线OE，点P，D分别是射线OE，OB上一点，过点P作PC⊥OA，垂足为点C，连接PD，若PC＝3，OD＝4，则△POD的面积是 　 　． 21.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，CB于点E和F；②分别以E，F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点D；③作射线CD交AB于点G；延长CA至H，使CH＝CB，连接HG，若AH＝2，AB＝5，则△AHG的周长为 　 　． 22.如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD平分∠BAC． （1）作出BC边上的高AE； （2）求∠EAD的度数． 23.用尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹） （1）如图△ABC，作①∠A的平分线AD； ②AC边上的中线BE； ③BC边上的高AF； （2）作一个△ABC，使AB＝a，∠A＝∠1，∠B＝∠2． 题组C 培优拔尖练 24．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（　　） A．图1和图2 B．图1和图3 C．图3 D．图2和图3 25．如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①； 步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H． 下列叙述正确的是（　　） A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD C．S△ABC＝BC•AH D．AB＝AD 26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点D．已知BD＝5，CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为 　 　． 27.如图，已知△ABC． （1）用尺规利用SSS作△BAD，使得△BAD≌△ABC，且△BAD和△ABC在直线AB的同一侧（不写作图过程，保留作图痕迹）； （2）连接CD，求证：△ADC≌△BCD； （3）设AC与BD交于点O，若∠ABC＝115°，∠ACB＝30°，求∠ACD的度数． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6课 尺规作图 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解尺规作图的含义和基本尺规作图的范围. 2.会进行以下尺规作图,并了解作法的理由. ①作一个角等于已知角; ②作已知线段的垂直平分线; ③在给定边角条件下，求作三角形. ( 知识精讲 ) 知识点01 尺规作图 用没有刻度的直尺和圆规作图简称尺规作图 知识点02 基本尺规作图 ①作一个角等于已知角; ②作已知线段的垂直平分线; ③在给定边角条件下，求作三角形. ( 能力拓展 ) 考点01 尺规作图 【典例1】如图，已知∠α，∠β，线段m，请用尺规作△ABC，使∠CAB＝∠α，∠CBA＝∠β，AB＝m．（保留作图痕迹，不写作法） ​​ 【思路点拨】（1）作射线BM； （2）以BM为边，B为顶点作∠MBN＝∠β； （3）在射线BM上截取BA＝m； （4）以AB为一边，A为顶点，作∠BAK＝∠α；AK交BN于C； △ABC即为所求． 【解析】解：如图： （1）作射线BM； （2）以BM为边，B为顶点作∠MBN＝∠β； （3）在射线BM上截取BA＝m； （4）以AB为一边，A为顶点，作∠BAK＝∠α；AK交BN于C； △ABC即为所求． 【点睛】本题考查了复杂作图，掌握用尺规作一个角等于已知角的方法是解题的关键． 【即学即练1】已知线段a、b、∠α，用尺规作∠ABC＝∠α，AB＝a，BC＝b．（不写作法，保留作图痕迹） 【思路点拨】先作出∠MBN＝∠α，然后在边BM上截取BA＝a得到点A，在边BN上截取BC＝b得到点C，即可得到符合要求的图形． 【解析】解：如图所示的图形就是所要求作的图形． 【点睛】本题主要考查了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段的作法，都是基本作图，需要熟练掌握． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．用尺规作图作一个角的角平分线，下列作法错误的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据各个选项中的作图，可以判断哪个选项符合题意． 【解析】解：由图可知，选项A、B、C中的线都可以作为角平分线； 选项D中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线， 故选：D． 【点睛】本题考查作图—基本作图，解答本题的关键是明确角平分线的做法，利用数形结合的思想解答． 2．如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【思路点拨】由作图可知，OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′，根据SSS证明三角形全等即可解决问题， 【解析】解：由作图可知，OD＝OC＝O′D′＝O′C′，CD＝C′D′， ∴△DOC≌△D′O′C′（SSS）， ∴∠BOA＝∠B′O′A′． 故选：D． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 3．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（　　） A．作一个角等于已知角 B．作已知直线的垂线 C．作一条线段等于已知线段 D．作角的平分线 【思路点拨】根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段． 【解析】解：根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．故选C． 【点睛】本题主要考查了学生的基本作图的方法． 4．已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【思路点拨】根据作一个角的平分线，作一个角等于已知角，作线段的垂直平分线的方法一一判断即可． 【解析】解：由作图可知，作图正确的有①②， 故选：A． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到边AC、AB的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】P到边AC、AB的距离相等，可知点P在∠A的平分线上，由此判断即可． 【解析】解：∵P到边AC、AB的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上． 故选：C． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N．再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D．若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（　　） A．10 B．15 C．30 D．20 【思路点拨】作DQ⊥AB，由作图知AP平分∠BAC，∠C＝90°，据此得DQ＝DC＝3，再根据三角形的面积公式求解即可． 【解析】解：如图，过点D作DQ⊥AB于点Q， 由作图知AP平分∠BAC，∠C＝90°， ∴DQ＝DC＝3， ∵AB＝10， ∴△ABD的面积是AB•DQ＝×10×3＝15， 故选：B． 【点睛】本题主要考查作图—基本作图及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线上的点到角两边的距离相等的性质． 7．如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结DE，交BC于点P．若AC＝3，△ACP的周长为10，则BC的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【思路点拨】由作图可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，则AP＝BP，进而可得AC+BP+PC＝3+BC＝10，即可得出答案． 【解析】解：由作图可知，直线DE为线段AB的垂直平分线， ∴AP＝BP， ∵△ACP的周长为10， ∴AC+AP+PC＝10， 即AC+BP+PC＝3+BC＝10， ∴BC＝7． 故选：B． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及作图方法是解答本题的关键． 8．如图，AB∥CD．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AC，AB于点E，点F；再分别以点E，点F为圆心，大于为半径作弧，两圆弧交于点G；连接AG并延长交CD于点H，若∠AHD＝115°，则∠C＝　 　°． 【思路点拨】由作图过程可知，AH为∠BAC的平分线，则∠BAH＝∠CAH，根据平行线的性质可得∠BAH＝∠CAH＝180°﹣115°＝65°，再由三角形的外角性质可得∠C＝∠AHD﹣∠CAH＝50°． 【解析】解：由作图过程可知，AH为∠BAC的平分线， ∴∠BAH＝∠CAH， ∵AB∥CD，∠AHD＝115°， ∴∠BAH＝180°﹣115°＝65°， ∴∠CAH＝65°， ∴∠C＝∠AHD﹣∠CAH＝50°． 故答案为：50． 【点睛】本题考查作图—基本作图、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质、角平分线的作图方法是解答本题的关键． 9．如图，若∠α＝29°，根据尺规作图的痕迹，则∠AOB的度数为 　 　． 【思路点拨】利用基本作图得到∠AOB＝2∠α． 【解析】解：由作法得∠AOB＝2∠α＝2×29°＝58°． 故答案为：58°． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 10．已知线段a，b，c． （1）用直尺和圆规画出△ABC，使得AB＝a，AC＝b，BC＝c； （2）画出△ABC的∠B的平分线； （3）在△ABC内到边BC和BA两边距离相等的点在哪里？到A、B两点距离相等的点在哪里？请你画出满足下面条件的点M：点M既到BC和BA两边距离的相等，又到A、B两点距离的也相等． 【思路点拨】（1）作出线段AB＝a，以线段AB的两个端点为圆心，作出半径为b和c的圆弧交于一点，再依次连接即为所求△ABC； （2）根据角平分线的作法作出△ABC的∠B的平分线； （3）根据垂直平分线的性质和角平分线的性质作出图形即可． 【解析】解：（1）如图所示： （2）如图所示： （3）在△ABC内到边BC和BA两边距离相等的点在∠B的平分线上，到A、B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线，如图所示： 【点睛】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一个角的平分线和一条线段的垂直平分线的方法． 11.如图，在△ABC中， （1）用直尺和圆规作∠C的平分线CD交AB于D（保留作图痕迹，写出作法）； （2）若CD平分∠ACB，且∠A＝70°，∠B＝50°，求∠ACD的度数． 【思路点拨】（1）以点C为圆心，任意长为半径画弧，交AC，BC于两点，以这两点为圆心，大于这两点的距离为半径画弧，交于一点E，作射线CE交AB于D即可； （2）易得∠ACB的度数，除以2即为所求角的度数． 【解析】解：（1）如图所示： （2）∵∠A＝70°，∠B＝50°， ∴∠ACB＝180°﹣70°﹣50°＝60°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝30°． 【点睛】考查角平分线的画法及角平分线的定义的运用；用到的知识点为：角平分线把一个角分成2个相等的角． 12.如图，已知O是∠PAB的一边AB上的点，按要求作图并保留作图痕迹： （1）过O作AP的平行线； （2）过O作AB的垂线； （3）作∠A的补角∠CAE；、 （4）作∠CAP的平分线． 【思路点拨】（1）根据平行线的性质过O作OC⊥AP于C，过O作直线l⊥OC，根据平行线的性质可知l∥AB； （2）根据垂线的性质过O作AB的垂线m，O为垂足，m即为AB的垂线； （3）根据互补角的性质，反向延长AB，则∠EAC为∠A的补角； （4）根据角平分线的性质，以A为圆心，任意长为半径画圆，分别交AE，AF于，F，连接EF，分别以E，F为圆心，大于EF为半径画圆，两圆相交于G，连接AG即为CAE的平分线． 【解析】 解：如图：（1）过O作OC⊥AP于C，过O作直线l⊥OC，根据平行线的性质可知l∥AP； （2）过O作AB的垂线m，O为垂足； （3）反向延长AB，则∠EAC为∠A的补角； （4）以A为圆心，任意长为半径画圆，分别交AE，AF于E，F，连接EF，分别以E，F为圆心，大于EF为半径画圆，两圆相交于G，连接AG即为CAE的平分线．（1分） 【点睛】此题貌似复杂，阅读量较大，但很简单，只要熟知平行线，垂线，互补角及角平分线的性质即可轻松画出图形． 13．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹，写出最后结果） 如图，已知线段a、b和∠1．用直尺和圆规作出下列图形： （1）△ABC，使BC＝a，AC＝b，∠ACB＝∠1； （2）AB边的垂直平分线． 【思路点拨】（1）先作∠ACB＝∠1，再在角的两边上截取BC＝a，AC＝b，连接即可； （2）用圆规以点A，B为圆心，大于AB的一半为半径画弧两弧交点为E，从点E向AB引垂线． 【解析】解：三角形画图正确得（5分），中垂线画对（2分），结果（1分）． △ABC就是所求的三角形，DE是线段AB的中垂线． 【点睛】本题主要考查了三角形及线段的垂直平分线的画法． 题组B 能力提升练 14．利用尺规作图，过直线AB外一点P作已知直线AB的平行线．下列作法错误的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】利用作图痕迹，平行线的判定一一判断即可． 【解析】解：A、如图∵∠1＝∠2， ∴PQ∥AB，本选项正确，不符合题意； B、由作图可知∠PAQ＝∠QAB，PA＝PQ， ∴∠PAQ＝∠PQA＝∠QAB， ∴PQ∥AB，本选项正确，不符合题意； C、如图，由作图可知PQ＝QB＝BT＝PT， ∴四边形PQBT是菱形， ∴PT∥AB，本选项正确，不符合题意； D、根据作图痕迹，无法判断PQ∥AB，本选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 15．如图，在△ABC中，以A为圆心，AC为半径作弧交BC于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于M，N，连结MN交AB于点E，已知△ADE的周长为13，AC＝5，则AB的长为（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【解析】解：由作图知AD＝AC＝5，直线MN垂直平分BD， ∴BE＝DE， ∵△ADE的周长为13， ∴AD+DE+AE＝AE+BE+AD＝AB+AD＝13， ∴AB＝13﹣5＝8， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，正确地识别图形是解题的关键． 16．如图，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】由PA+PB＝BC和PC+PB＝BC易得PA＝PC，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AC的垂直平分线上，进而得出结论． 【解析】解：∵PA+PB＝BC，而PC+PB＝BC， ∴PA＝PC， ∴点P在AC的垂直平分线上， 即点P为AC的垂直平分线与BC的交点． 故选：D． 【点睛】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 17．根据如图所示的尺规作图痕迹，下列结论不一定成立的是（　　） A．EA＝ED B．DE⊥AB C．AF∥DE D．AE＝AF 【思路点拨】根据尺规作图痕迹可得AD是∠BAC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，从而可以证明A，得到∠EDA＝∠FAD，可证明C，进而证明△AOF≌△DOE（ASA）即可判断D． 【解析】解： 根据尺规作图痕迹可得：AD是∠BAC的角平分线，EF是AD的垂直平分线， ∴EA＝ED，故A正确；∠EAD＝∠FAD，AO＝OD ∴∠EAD＝∠EDA， ∴∠EDA＝∠FAD， ∴AF∥DE，故C正确； ∵∠AOF＝∠DOE， ∴△AOF≌△DOE（ASA）， ∴AF＝DE， ∴AE＝AF，故D正确； 根据条件无法判断B； 故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，线段平分线的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识是关键． 18．在△ABC内找一点P，使P到A、C两点的距离相等，并且P到AC的距离等于P到BC的距离．如图尺规作图正确的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】P到A、C两点的距离相等，得到P在线段AC的垂直平分线上，P到AC的距离等于P到BC的距离，得到P在∠ACB的角平分线上，作出线段AC的垂直平分线和∠ACB的角平分线，交点即为点P． 【解析】解：∵P到A、C两点的距离相等， ∴P在线段AC的垂直平分线上， ∵P到AC的距离等于P到BC的距离， ∴P在∠ACB的角平分线上， 如图：作出线段AC的垂直平分线和∠ACB的角平分线，交点即为点P； 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线和中垂线的作图．熟练掌握到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，到角两边距离相等的点在角平分线上，是解题的关键． 19．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，根据尺规作图的痕迹作射线AE，交BD于点Ⅰ，连接CI，则下列说法错误的是（　　） A．点Ⅰ到边AB、AC的距离相等 B．CI平分∠ACB C．∠DIE＝90°+∠ACB D．点Ⅰ到A、B、C三点的距离相等 【思路点拨】设点I到AB、BC、AC的距离分别为m、n、r，由尺规作图的痕迹可知，AE平分∠BAC，则点I到边AB、AC的距离相等，可判断A正确；由BD平分∠ABC，点I在BD上，得点I点AB、BC的距离相等，则m＝n，而m＝r，所以n＝r，则CI平分∠ACB，可判断B正确；由∠DIE＝∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣（180°﹣∠ACB）＝90°+∠ACB，可判断C正确；由点I是△ABC的内心，可知点I到AB、BC、AC的距离相等，而不是点I到A、B、C三点的距离相等，可判断D错误，于是得到问题的答案． 【解析】解：设点I到AB、BC、AC的距离分别为m、n、r， 由尺规作图的痕迹可知，AE平分∠BAC， ∵点I在AE上， ∴点I到边AB、AC的距离相等， 故A正确； ∵BD平分∠ABC，点I在BD上， ∴点I点AB、BC的距离相等， ∴m＝n， ∵m＝r， ∴n＝r， ∴点I到AC、BC的距离相等， ∴点I在∠ACB的平分线上， ∴CI平分∠ACB， 故B正确； ∵∠IAB＝∠BAC，∠IBA＝∠ABC， ∴∠IAB+∠IBA＝（∠BAC+∠ABC）＝（180°﹣∠ACB）， ∴∠DIE＝∠AIB＝180°﹣（∠IAB+∠IBA）＝180°﹣（180°﹣∠ACB）＝90°+∠ACB， 故C正确； ∵点I是△ABC三条角平分线的交点， ∴点I是△ABC的内心， ∴点I到AB、BC、AC的距离相等，而不是点I到A、B、C三点的距离相等， 故D错误， 故选：D． 【点睛】此题重点考查角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形的内心等知识，证明点I到AC、BC的距离相等是解题的关键． 20．已知，如图，∠AOB中，在OA和OB边上分别截取OM，ON，使OM＝ON，分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，作射线OE，点P，D分别是射线OE，OB上一点，过点P作PC⊥OA，垂足为点C，连接PD，若PC＝3，OD＝4，则△POD的面积是 　 　． 【思路点拨】根据基本作图，可知OP平分∠AOB，过点P作PF⊥OB于F，根据角平分线的性质得出PF＝PC＝3，那么△POD的面积＝OD•PF． 【解析】解：由题意可知，OP平分∠AOB， 如图，过点P作PF⊥OB于F， ∵PC⊥OA，垂足为点C， ∴PF＝PC＝3， ∴△POD的面积＝OD•PF＝×4×3＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，角平分线的性质，三角形的面积，根据基本作图得出OP平分∠AOB是解题的关键． 21.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC，CB于点E和F；②分别以E，F为圆心，大于EF为半径画弧，两弧交于点D；③作射线CD交AB于点G；延长CA至H，使CH＝CB，连接HG，若AH＝2，AB＝5，则△AHG的周长为 　 　． 【思路点拨】利用全等三角形的性质，证明GH＝GB，根据△AHG的周长＝AH+AG+GH＝AH+AG+GB＝AH+AB，可得结论， 【解析】解：由作图可知，CH＝CB，∠GCH＝∠GCB， 在△GCH和△GCB中， ， ∴△GCH≌△GCB（SAS）， ∴GH＝GB， ∴△AHG的周长＝AH+AG+GH＝AH+AG+GB＝AH+AB＝2+5＝7． 故答案为：7． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22.如图，△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD平分∠BAC． （1）作出BC边上的高AE； （2）求∠EAD的度数． 【思路点拨】（1）按照过直线外一点作直线的垂线步骤作即可； （2）由题意易得∠DAC＝30°，∠EAC＝90°﹣70°＝20°，则∠EAD＝∠DAC﹣∠EAC＝10°． 【解析】解：（1）如图． （2）∵∠B＝50°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝30°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴∠EAC＝90°﹣70°＝20°， ∴∠EAD＝∠DAC﹣∠EAC＝10°． 【点睛】此题综合考查三角形高的作法和三角形中角的计算，注意利用角平分线的性质得到的角的度数． 23.用尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹） （1）如图△ABC，作①∠A的平分线AD； ②AC边上的中线BE； ③BC边上的高AF； （2）作一个△ABC，使AB＝a，∠A＝∠1，∠B＝∠2． 【思路点拨】（1）①作BC的垂直平分线交BC于D，连接AD即是BC边上的中线； ②作∠B的平分线，按照作一个角的平分线的作法来做即可； ③延长BA，按照过直线外一点作直线的垂线步骤作CH⊥AB． （2）分别作∠A＝∠1，AB＝a，∠CBA＝∠2，即可得出答案． 【解析】解：（1）作图如下： ①如图所示； ②如图所示； ③如图所示； （2）如图所示． 【点睛】此题主要考查作图﹣复杂作图，掌握三角形角平分线、中线和高的作法以及作三角形是重点题型． 题组C 培优拔尖练 24．在以下图形中，根据尺规作图痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（　　） A．图1和图2 B．图1和图3 C．图3 D．图2和图3 【思路点拨】根据角平分线的作法即可进行判断． 【解析】解：在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC； 在图2中，根据作法可知： AE＝AF，AM＝AN， 在△AMF和△ANE中， ， ∴△AMF≌△ANE（SAS）， ∴∠AMD＝∠AND， ∵∠MDE＝∠NDF， ∵AE＝AF，AM＝AN， ∴ME＝NF， 在△MDE和△NDF中， ， ∴△MDE≌△NDF（AAS）， 所以D点到AM和AN的距离相等， ∴AD平分∠BAC． 在图3中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线； 故选：A． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法． 25．如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹． 步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①； 步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D； 步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H． 下列叙述正确的是（　　） A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD C．S△ABC＝BC•AH D．AB＝AD 【思路点拨】A，根据步骤1，2可以得到CA＝CD，BA＝BD，证得点B、点C在线段AD的垂直平分线上，继而作出判断； B，要想证明AC平分∠BAD，就要说明∠BAC＝∠CAD，据此作出判断； C，根据AH是BC边上的高，结合三角形的面积公式作出判断； D，根据线段之间的和差关系，以及直角三角形中边的关系进行判断即可． 【解析】解：A、正确．如图连接CD、BD， ∵CA＝CD，BA＝BD， ∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上， ∴BH垂直平分线段AD． B、错误．不能证明∠BAC＝∠CAD，所以CA不一定平分∠BDA； C、错误．应该是S△ABC＝BC•AH； D、错误．AD＝2AH，在Rt△ABH中，AB＞AH，但AB不一定等于2倍的AH，故AB不一定等于AD． 故选：A． 【点睛】本题侧重考查线段垂直平分线判定，掌握线段垂直平分线的判定是解题关键． 26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交BC于点D．已知BD＝5，CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为 　 　． 【思路点拨】由题意得当DP⊥AB时，PD有最小值，据此即可求解． 【解析】解：∵P为AB上一动点， ∴当DP⊥AB时，PD有最小值，如图所示： 由题意得：AD是∠CAB的角平分线， ∵∠C＝∠DPA＝90°， ∴DP＝CD＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等． 27.如图，已知△ABC． （1）用尺规利用SSS作△BAD，使得△BAD≌△ABC，且△BAD和△ABC在直线AB的同一侧（不写作图过程，保留作图痕迹）； （2）连接CD，求证：△ADC≌△BCD； （3）设AC与BD交于点O，若∠ABC＝115°，∠ACB＝30°，求∠ACD的度数． 【思路点拨】（1）以点A为圆心，以BC为半径画弧，以点B为圆心，以AC为半径画弧，两弧交于点D，连接AD，BD，BD与AC交于点O，即可求解； （2）根据三角形的判定和性质即可求解； （3）根据△BAD≌△ABC可得∠ABD＝∠BAC＝35°，根据三角形的外角的性质可得∠AOD＝∠ABD+∠BAC＝70°，再根据△ADC≌△BCD可得∠AOD＝∠BDC+∠ACD＝2∠ACD，由此即可求解． 【解析】（1）解：如图； （2）证明：∵△BAD≌△ABC， ∴AD＝BC，BD＝AC， 在△ADC和△BCD中， ∵， ∴△ADC≌△BCD（SSS）； （3）解：∵∠ABC＝115°，∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝35°， ∵△BAD≌△ABC， ∴∠ABD＝∠BAC＝35°， ∴∠AOD＝∠ABD+∠BAC＝70°， ∵△ADC≌△BCD， ∴∠ACD＝∠BDC， ∴∠AOD＝∠BDC+∠ACD＝2∠ACD， ∴． 【点睛】本题主要考查尺规作边等于已知边，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． ( 6 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$