第17课 弧长及扇形的面积-2024-2025学年九年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第17课 弧长及扇形的面积 ( 目标导航 ) 学习目标 1.经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程. 2.掌握弧长和扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 弧长公式 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝． 知识点02 扇形与弓形的面积公式 1.扇形的面积：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝＝lR. 2.弓形的面积 (1)如图①，当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差，即S弓形＝S扇形－S△OAB； (2)如图②，当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的和，即S弓形＝S扇形＋S△OAB； (3)如图③，当弓形的弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半，即S弓形＝S圆． ( 能力拓展 )考点01 弧长的计算 【典例1】如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点E，连结AD，已知AC＝BD． （1）求证：∠A＝∠D； （2）连结OC、OD，若AC⊥BD，⊙O的半径为2，求的长． 【即学即练1】如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连结AC，AD． （1）求证：∠C＝∠BAD． （2）若∠C＝30°，OC＝3，求的长度． 考点02 扇形面积的计算 【典例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径画半圆O，分别交BC，AC于点D，E． （1）求证：BD＝DE； （2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求阴影部分弓形的面积． 【即学即练2】如图，已知AB是⊙O的直径，C点是的一点，CE⊥AB于E，点D是的中点，AD交CE于点F，交BC于点G． （1）判断△FGC的形状，并证明； （2）若∠CAD＝30°，AB＝6． ①求CF的长； ②求阴影部分的面积． 考点03 组合图形的面积 【典例3】如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，以点B为圆心，AB为半径画弧，再以BC为直径画半圆．若AB＝4，则阴影部分的面积为 　　.（结果保留π） 【即学即练3】如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（　　） A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20 ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 2．为纪念北京奥运会成功举办，国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”．因为为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼!已知小敏大腿根部距脚尖90cm，即OA＝90cm，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（　　）cm． A． B． C．45π D． 3．已知一个扇形的面积是12π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（　　） A．24 B．36 C．12 D．6 4．如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点A旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有摩擦，则重物上升了（　　） A．5πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm 5．如图，⊙O的半径为3，BC是⊙O的弦，直径AD⊥BC，∠D＝30°，则的长为（　　） A． B．π C．2π D．3π 6．如图，AB是⊙O的直径，分别以点O，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于C，D，作直线CD交⊙O于点E，F．若AB＝12，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．27 7．已知扇形的圆心角为120°，它的半径为2，则扇形的面积为 　（计算结果保留π）． 8．若半径为8的扇形弧长为2π，则该扇形的圆心角度数为 　 　． 9．已知一个扇形的面积是12π，弧长是2π，则这个扇形的半径为 　 　． 10．一个扇形的面积为10π，弧长为4π，则此扇形的圆心角度数为 　 　． 11．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，当n＝2024时，则图中阴影部分的面积之和为 　 　cm2．（注：结果用含π的式子表示） 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以边AC，BC，AB为直径画圆．记两个月牙形图案ADCE和CGBF面积之和（图中阴影部分）为S1，△ABC的面积为S2，则S1　 　S2（填“＞”，“＝”或“＜”）． 13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一段圆弧经过格点A，B，C（网格中每个小正方形的边长为1）． （1）该图中圆弧所在圆的圆心D的坐标为 　 　； （2）根据（1）中的结论， ①填空：⊙D的半径是 　 　，∠ADC的度数是 　 　； ②求的长． 14．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，连接OC，CB，BE＝OF． （1）求证：OF∥BC； （2）求证：△AFO≌△CEB； （3）若BC＝6cm，求CD的值及阴影部分的面积． 题组B 能力提升练 15．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以A为圆心，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD的长为30cm，则扇面的面积为（　　） A．375πcm2 B．450πcm2 C．600πcm2 D．750πcm2 16．某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以正△ABC的三个顶点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧得到的图形）．若已知AB＝5，则此莱洛三角形的周长为（　　） A．6π B． C．5π D． 17．如图，AB为半⊙O的直径，点D，E为半圆弧的三等分点，AB＝6，则阴影部分的面积为（　　） A．π B．π C．π D．6π 18．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知AC＝10，BC＝6，则线段AB扫过的图形面积为（　　） A．10π B． C． D． 19．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B，C均在小正方形的格点上（小正方形的顶点称为格点），则扇形AOC的周长为 　 　． 20．如图，在扇形AOB中，半径OA＝9，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则图中阴影部分的周长是 　 　． 21．如图，一根5m长的绳子，一端拴在90°的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动），求小羊在草地上可活动区域的面积．（结果保留π） 22．如图，AB为⊙O的弦，CD为⊙O的直径，AB与CD相交于点E，连接AC，BC，BD，过点B作BF⊥AC于点F． （1）求证：∠ABF＝∠BCD； （2）当∠BCD＝∠ACD时，求证：AB⊥CD； （3）在（2）的条件下，若AB＝6，∠ABD＝22.5°，求图中阴影部分的面积． 题组C 培优拔尖练 23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为（　　）cm． A． B． C． D．2π 24．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为（　　） A． B． C． D．6 25．如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为　　． 26．如图，矩形ABCD中，AB＝1，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点F，交BA的延长线于点E，若点F是弧CE的中点，则图中阴影部分的面积为 　 　． 27．如图，扇形AOB的圆心角是90°，半径为，点C是OB上一点，将△AOC沿AC边翻折，圆心O恰好落在弧AB上的点O′，则图中阴影部分的面积为 　 　． 28．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，OC⊥CE，连接AC． （1）求证：AC平分∠EAD； （2）若∠EAD＝60°，，求AD、AC与弧CD围成阴影面积部分的面积． 29．如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置． （1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积； （2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长． 30．如图①，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，AB＝CD，设⊙O的半径为r． （1）求证：DM＝BM； （2）若∠DMB＝100°，r＝1，求的长； （3）如图②，若AB⊥CD，＝120°，设MB＝a，求证：． ( 33 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17课 弧长及扇形的面积 ( 目标导航 ) 学习目标 1.经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程. 2.掌握弧长和扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题. ( 知识精讲 ) 知识点01 弧长公式 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为：l＝． 知识点02 扇形与弓形的面积公式 1.扇形的面积：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的扇形(弧长为l)面积的计算公式为：S扇形＝＝lR. 2.弓形的面积 (1)如图①，当弓形的弧小于半圆时，弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的差，即S弓形＝S扇形－S△OAB； (2)如图②，当弓形的弧大于半圆时，它的面积等于扇形面积与三角形面积的和，即S弓形＝S扇形＋S△OAB； (3)如图③，当弓形的弧是半圆时，它的面积是圆面积的一半，即S弓形＝S圆． ( 能力拓展 )考点01 弧长的计算 【典例1】如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点E，连结AD，已知AC＝BD． （1）求证：∠A＝∠D； （2）连结OC、OD，若AC⊥BD，⊙O的半径为2，求的长． 【思路点拨】（1）根据弧、弦之间的关系定理得到＝，进而得出＝，根据圆周角定理证明即可； （2）根据圆周角定理求出∠COD，根据弧长公式计算，得到答案． 【解析】（1）证明：∵AC＝BD， ∴＝， ∴﹣＝﹣， ∴＝， ∴∠A＝∠D； （2）解：∵AC⊥BD， ∴∠AED＝90°， ∴∠A＝∠ADE＝45°， ∴∠COD＝2∠A＝90°， ∵⊙O的半径为2， ∴． 【点睛】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键． 【即学即练1】如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，连结AC，AD． （1）求证：∠C＝∠BAD． （2）若∠C＝30°，OC＝3，求的长度． 【思路点拨】（1）根据垂径定理，圆周角定理即可得出结论； （2）根据垂径定理，证明AC＝CB，推出∠ACB＝60°，可得∠AOB＝120°，再利用弧长公式求解． 【解析】（1）证明：∵CD⊥AB，CD是直径， ∴＝， ∴∠ACD＝∠BAD； （2）解：如图，连接OA，OB，BC． ∵CD⊥AB，CD是直径， ∴＝， ∴CA＝CB， ∴∠ACD＝∠BCD＝30°， ∴∠ACB＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°， ∴的长＝＝2π． 【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握垂径定理、圆周角定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 考点02 扇形面积的计算 【典例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径画半圆O，分别交BC，AC于点D，E． （1）求证：BD＝DE； （2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求阴影部分弓形的面积． 【思路点拨】（1）连接AD，由圆周角定理可知∠ADB＝90°，根据等腰三角形的三线合一可知BD＝CD，再根据四点共圆可得∠DEC＝∠ABC，进而得到∠DEC＝∠ACB，则CD＝DE，以此即可证明BD＝DE； （2）易得△ABC为等边三角形，△AOE为等边三角形，则S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE，代入计算即可求解． 【解析】解：（1）如图，连接AD， ∵以腰AB为直径画半圆O， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， 又∵△ABC为等腰三角形， ∴BD＝CD，∠ABC＝∠ACB， ∵A、B、D、E四点共圆， ∴∠DEC＝∠ABC， ∴∠DEC＝∠ACB， ∴CD＝DE， ∴BD＝DE； （2）如图，连接OE，过点O作OF⊥AC于点F， ∵AB＝2， ∴OA＝OB＝1， ∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， 又∵OA＝OE， ∴△AOE为等边三角形， ∴∠AOE＝60°，OA＝AE＝1，OF＝， ∴S阴影＝S扇形AOE﹣S△AOE＝﹣＝． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、四点共圆、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，解题关键是：（1）根据直径所对圆周角为90°得到BD＝CD，再根据四点共圆性质即可解决问题；（2）熟练掌握扇形的面积公式． 【即学即练2】如图，已知AB是⊙O的直径，C点是的一点，CE⊥AB于E，点D是的中点，AD交CE于点F，交BC于点G． （1）判断△FGC的形状，并证明； （2）若∠CAD＝30°，AB＝6． ①求CF的长； ②求阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）结合已知条件，利用圆周角定理及等角的余角相等易证得∠AGC＝∠AFE，再利用对顶角相等及等角对等边即可证得结论； （2）①结合（1）中所求及已知条件，利用直角三角形性质易得AC＝3，然后利用三角函数求得CG的长度，从而得出CF的长度； ②连接OC，利用等边三角形的判定及性质求得∠AOC的度数及OE的长度，然后利用勾股定理求得CE的长度，最后利用扇形AOC的面积减去△AOC的面积进行计算即可． 【解析】解：（1）△CFG是等腰三角形，证明过程如下： 理由：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠AGC＝90°， ∵CE⊥AB， ∵∠AFE+∠BAD＝90°， ∵D为的中点， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠AGC＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠CFG， ∴∠CGF＝∠CFG， ∴CF＝CG， ∴△CFG是等腰三角形； （2）解：①∵∠BAD＝∠CAD＝30°， ∴∠BAC＝30°+30°＝60°， ∴∠ABC＝90°﹣60°＝30°， ∴AC＝AB＝×6＝3， ∵∠ACG＝90°， ∴tan∠CAD＝tan30°＝， ∴CF＝CG＝AC•tan30°＝3×＝； ②如图，连接OC， ∵∠OAC＝60°，OA＝OC， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°，OA＝OC＝3， ∵CE⊥AB， ∴OE＝AE＝OA＝， ∴CE＝＝， ∴S阴影＝S扇形AOC﹣S△AOC ＝﹣×3× ＝π﹣． 【点睛】本题考查圆与三角形性质的综合应用，圆的相关性质，三角函数，等边三角形的判定及性质，三角函数都是重要知识点，必须熟练掌握并应用． 考点03 组合图形的面积 【典例3】如图，在正方形ABCD中，BD为对角线，以点B为圆心，AB为半径画弧，再以BC为直径画半圆．若AB＝4，则阴影部分的面积为 　6﹣π　.（结果保留π） 【思路点拨】连接OB，根据正方形的性质可得△AOB是等腰直角三角形，根据面积差可得答案． 【解析】解：如图，连接OC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBD＝∠ABD＝45°， ∵BC是直径， ∴∠COB＝90°， ∴△COB是等腰直角三角形， ∵AB＝4， ∴OB＝OA＝2， ∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE+S扇形CBE﹣S半圆BOC+S弓形OB ＝×4×4﹣﹣×π×22+（×π×22﹣×2×2） ＝×4×4﹣2π+π﹣2 ＝8﹣π﹣2 ＝6﹣π． 故答案为：6﹣π． 【点睛】本题考查的是正方形和扇形面积计算，掌握正方形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【即学即练3】如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（　　） A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20 【思路点拨】根据矩形的性质可求出BD，再根据图形中各个部分面积之间的关系，即S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆进行计算即可． 【解析】解：如图，连接BD，则BD过点O， 在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5， ∴BD2＝AB2+AD2＝41， S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆 ＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2 ＝+20﹣ ＝20， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理，矩形的性质以及扇形面积的计算，掌握矩形的性质、勾股定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的前提． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．若扇形的半径为3，圆心角为60°，则此扇形的弧长是（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 【思路点拨】根据直接求解即可得到答案． 【解析】解：∵扇形的半径为3，圆心角为60°， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查考查扇形的弧长公式，正确记忆弧长公式是解题关键． 2．为纪念北京奥运会成功举办，国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”．因为为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼!已知小敏大腿根部距脚尖90cm，即OA＝90cm，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（　　）cm． A． B． C．45π D． 【思路点拨】根据弧长公式L＝，代入数据计算即可． 【解析】解；根据弧长公式L＝，n＝45°，r＝90代入公式得： L＝＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是关键． 3．已知一个扇形的面积是12π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（　　） A．24 B．36 C．12 D．6 【思路点拨】扇形面积公式为S＝，直接代值计算即可． 【解析】解：S＝，即12π＝， 解得r＝12． 故选：C． 【点睛】此题考查扇形的面积公式，S＝＝，解题关键是在不同已知条件下挑选合适的公式进行求解． 4．如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点A旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有摩擦，则重物上升了（　　） A．5πcm B．3πcm C．2πcm D．πcm 【思路点拨】利用弧长公式计算出108°的圆心角所对的弧长即可． 【解析】解：＝3π， 所以重物上升了3πcm． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长公式：记住弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）． 5．如图，⊙O的半径为3，BC是⊙O的弦，直径AD⊥BC，∠D＝30°，则的长为（　　） A． B．π C．2π D．3π 【思路点拨】连接OC，由垂径定理得出，得出∠AOB＝∠AOC，由圆周角定理得出∠AOC＝2∠D＝60°，得出∠BOC＝2∠AOC＝120°，再由弧长公式即可得出答案． 【解析】解：连接OC，如图所示： ∵直径AD⊥BC， ∴， ∴∠AOB＝∠AOC， ∵∠AOC＝2∠D＝60°， ∴∠BOC＝2∠AOC＝120°， ∴的长＝＝2π； 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系、垂径定理以及弧长公式等知识；熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键． 6．如图，AB是⊙O的直径，分别以点O，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于C，D，作直线CD交⊙O于点E，F．若AB＝12，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．27 【思路点拨】连接OE、OF、BE、BF，根据线段垂直平分线的性质求出OE＝BE，OF＝BF，结合圆的性质推出△OBE是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠BOE＝60°，同理∠BOF＝60°，则∠EOF＝120°，解直角三角形求得OP＝，EP＝OE＝3，即可得到EF＝6，再根据S阴影＝S扇形EOF﹣S△EOF求解即可． 【解析】解：如图，连接OE、OF、BE、BF， 由题意可知EF是OB的垂直平分线， ∴OE＝BE，OF＝BF． ∵EO＝FO， ∴EB＝EO＝BO， ∴△OBE是等边三角形， ∴∠BOE＝60°， 同理∠BOF＝60°， ∴∠EOF＝120°， ∵AB＝12， ∴OE＝OB＝OF＝6， ∴OP＝，EP＝OE＝3， ∴EF＝6， ∴S阴影＝S扇形EOF﹣S△EOF＝﹣＝12π﹣9， 故选：B． 【点睛】此题考查了扇形的面积，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 7．已知扇形的圆心角为120°，它的半径为2，则扇形的面积为 　（计算结果保留π）． 【思路点拨】利用扇形的面积公式计算即可． 【解析】解：S扇形＝＝π， 故答案为：π． 【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式． 8．若半径为8的扇形弧长为2π，则该扇形的圆心角度数为 　 　． 【思路点拨】利用弧长公式计算即可． 【解析】解：设圆心角为n°． 由题意，＝2π， 解得n＝45， ∴该扇形的圆心角度数为45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l＝． 9．已知一个扇形的面积是12π，弧长是2π，则这个扇形的半径为 　 　． 【思路点拨】根据扇形面积公式S＝lr，直接代入求解即可． 【解析】解：设这个扇形的半径为r， ∵一个扇形的面积是12π，弧长是2π， ∴12π＝×2πr， 解得r＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查扇形的面积公式，解题的关键是熟练掌握． 10．一个扇形的面积为10π，弧长为4π，则此扇形的圆心角度数为 　 　． 【思路点拨】设扇形的圆心角是n°，扇形面积公式求出R，再根据扇形面积公式求出n即可． 【解析】解：设扇形的圆心角是n°，半径为R， ∵扇形的面积为10π，弧长为4π， ∴＝10π， 解得：R＝5， ∴由扇形的面积公式得：＝10π， 解得：n＝144， 即扇形的圆心角是144°， 故答案为：144°． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式和弧长公式，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：圆心角是n°，半径为r的扇形的面积S＝． 11．如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以2cm为半径画圆，当n＝2024时，则图中阴影部分的面积之和为 　 　cm2．（注：结果用含π的式子表示） 【思路点拨】由题意得到各顶点的扇形圆心角之和即为n边形外角和，利用扇形面积公式计算即可求出阴影部分面积． 【解析】解：∵n边形的外角和为360°，半径为2cm， ∴S阴影＝＝4πcm2， 故答案为：4π． 【点睛】此题考查了扇形面积的计算，以及多边形的内角和与外角和，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以边AC，BC，AB为直径画圆．记两个月牙形图案ADCE和CGBF面积之和（图中阴影部分）为S1，△ABC的面积为S2，则S1　 　S2（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【思路点拨】根据题给图形可知：S1＝π（AC）2+π（BC）2﹣π（AB）2+S△ABC，S2＝S△ABC，在Rt△ABC中BC2+AC2＝AB2，继而即可得出答案． 【解析】解：在Rt△ABC中， ∵BC2+AC2＝AB2， ∴S1＝π（AC）2+π（BC）2﹣π（AB）2+S△ABC＝π（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABC， S2＝S△ABC． ∴S1＝S2． 故答案为：＝． 【点睛】本题考查扇形面积，勾股定理，根据题意得出阴影部分的面积与直角三角形三条边的关系是解答此题的关键． 13．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一段圆弧经过格点A，B，C（网格中每个小正方形的边长为1）． （1）该图中圆弧所在圆的圆心D的坐标为 　 　； （2）根据（1）中的结论， ①填空：⊙D的半径是 　 　，∠ADC的度数是 　 　； ②求的长． 【思路点拨】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心； （2）①根据勾股定理和勾股定理的逆定理可得答案；②由弧长公式代入计算即可． 【解析】解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心，如图所示， ∴圆心D的坐标为（2，﹣1）； 故答案为：（2，﹣1）； （2）①如图， 由平面直角坐标系得：A（0，3），D（2，﹣1），C（6，1）， ∴， ∴， ∵， 又∵，， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°， ②弧AC＝＝π， ∴弧AC的长是． 故答案为：①2，90°；②π． 【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理及其逆定理，弧长，解题的关键是熟知“弦的垂直平分线必过圆心”． 14．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，连接OC，CB，BE＝OF． （1）求证：OF∥BC； （2）求证：△AFO≌△CEB； （3）若BC＝6cm，求CD的值及阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）利用直径所对的圆周角等于90°，得到AC⊥BC，再利用OF⊥AC即可证明OF∥BC； （2）利用AB⊥CD，得到BC＝BD，进一步得到∠CAB＝∠BCD，再根据AAS即可证明三角形全等； （3）连接DO，由全等三角形的性质得到OA＝BC＝6cm，则可证明△OBC是等边三角形，得到∠COB＝60°，再推CD＝2CE，OE＝OB＝3cm，BC＝BD即可求出∠COD＝120°，，再根据阴影部分面积等于扇形COD的面积减去三角形COD的面积进行求解即可． 【解析】（1）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴AC⊥BC， 又∵OF⊥AC， ∴OF∥BC． （2）证明：∵AB⊥CD，AB为⊙O的直径， ∴BC＝BD， ∴∠CAB＝∠BCD， 在△AFO和△CEB中， ， ∴△AFO≌△CEB（AAS）． （3）解：连接DO， ∵△AFO≌△CEB， ∴OA＝BC＝6cm， ∴OB＝OC＝OA＝BC＝6cm， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠COB＝60°， ∵AB⊥CD， ∴CD＝2CE，OE＝OB＝3cm，BC＝BD． ∴∠COB＝∠DOB＝60°，， ∴∠COD＝120°，， ∴扇形COD的面积是：， △COD的面积是， ∴阴影部分的面积是：． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，全等三角形的判定及性质，垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式，圆周角定理等等，解题的关键是熟练掌握以上相关知识． 题组B 能力提升练 15．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以A为圆心，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD的长为30cm，则扇面的面积为（　　） A．375πcm2 B．450πcm2 C．600πcm2 D．750πcm2 【思路点拨】根据扇形的面积公式计算即可． 【解析】解：∵AB，AC夹角为120°，AB＝45cm，BD＝30cm， ∴AD＝AB﹣BD＝15（cm）， ∴S扇形DAE＝π•AD2，S扇形BAC＝π•AB2， ∴S扇面BDEC＝S扇形BAC﹣S扇形DAE＝π（AB2﹣AD2）＝600π（cm2）． 故选：C． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 16．某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以正△ABC的三个顶点A，B，C为圆心，AB长为半径画弧得到的图形）．若已知AB＝5，则此莱洛三角形的周长为（　　） A．6π B． C．5π D． 【思路点拨】根据弧长公式，利用莱洛三角形的周长＝3的长度进行计算． 【解析】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，BC＝AC＝AB＝5， ∴ 的长＝， ∴此莱洛三角形的周长＝π． 故选C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和弧长公式，注意：①等边三角形的三条边都相等，等边三角形的每个角都等于60°，②一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧的长度是． 17．如图，AB为半⊙O的直径，点D，E为半圆弧的三等分点，AB＝6，则阴影部分的面积为（　　） A．π B．π C．π D．6π 【思路点拨】由AB是半⊙O的直径，D、E是半圆的三等分点，易证得△AOD与△DOE是等边三角形，即可得OA＝AD＝DE＝OE，即可证得四边形OADE是菱形，则可得S△CDE＝S△COA，即可得S阴影＝S扇形AOD，然后利用扇形的面积求解公式，即可求得阴影部分的面积． 【解析】解：连接AD、OD、OE， ∵AB是半⊙O的直径，D、E是半圆的三等分点， ∴∠AOD＝∠DOE＝∠BOE＝60°， ∵OA＝OD＝OE， ∴△AOD与△DOE是等边三角形， ∴OA＝AD＝DE＝OE， ∴四边形OADE是菱形， ∴S△CDE＝S△COA， ∵半圆的半径为3， ∴S阴影＝S扇形AOD＝＝π． 故选：C． 【点睛】此题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质以及圆的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意熟记扇形面积公式，掌握数形结合思想的应用． 18．如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知AC＝10，BC＝6，则线段AB扫过的图形面积为（　　） A．10π B． C． D． 【思路点拨】由于将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，可见，阴影部分面积为扇形ACA′减扇形BCB′，分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【解析】解：如图： ； ； 则． 故选：D． 【点睛】本题考查扇形面积的计算；旋转的性质，正确记忆相关中水电费是解题关键． 19．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B，C均在小正方形的格点上（小正方形的顶点称为格点），则扇形AOC的周长为 　 　． 【思路点拨】连接AC，勾股定理求出OC，OA，AC的长，勾股定理逆定理，得到∠AOC＝90°，进而求出的长，即可． 【解析】解：连接AC， 由勾股定理，得：， ∴OA2+OC2＝20＝AC2， ∴∠AOC＝90°， ∴的长为：， ∴扇形AOC的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查弧长的计算，关键是勾股定理的应用． 20．如图，在扇形AOB中，半径OA＝9，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则图中阴影部分的周长是 　 　． 【思路点拨】连接OD，由折叠可知BD＝OB，即可证明△OBD是等边三角形，可得∠BOD＝60°，根据弧长公式即可求出的长，进而求出即可得答案， 【解析】解：如图，连接OD，由折叠可知BD＝OB， ∵OD＝OB， ∴OD＝OB＝BD， ∴△OBD为等边三角形， ∴∠BOD＝60°，BD＝OB＝OA＝9， ∵弧BD 的长为， ∴阴影部分的周长为：3π+9． 【点睛】本题考查折叠性质、等边三角形的判定与性质及弧长公式，根据折叠性质得到△OBD是等边三角形并熟记弧长公式是解题的关键． 21．如图，一根5m长的绳子，一端拴在90°的围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊（羊只能在草地上活动），求小羊在草地上可活动区域的面积．（结果保留π） 【思路点拨】小羊的最大活动区域是一个半径为5、圆心角为90°的大扇形和一个半径为1、圆心角为60°的小扇形的面积和．所以根据扇形的面积公式即可求得小羊的最大活动范围． 【解析】解：如图，大扇形的圆心角是90°，半径是5m． 所以大扇形的面积为×π×52＝（m2）， 小扇形的圆心角是180°﹣120°＝60°， 半径是5﹣4＝1（m）， 则小扇形的面积为×π×12＝（m2）． 所以小羊在草地上的可活动区域的面积为（m2）． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，本题的关键是从图中找到小羊的活动区域是由哪几个图形组成的，然后分别计算即可． 22．如图，AB为⊙O的弦，CD为⊙O的直径，AB与CD相交于点E，连接AC，BC，BD，过点B作BF⊥AC于点F． （1）求证：∠ABF＝∠BCD； （2）当∠BCD＝∠ACD时，求证：AB⊥CD； （3）在（2）的条件下，若AB＝6，∠ABD＝22.5°，求图中阴影部分的面积． 【思路点拨】（1）根据圆周角定理求出∠CBD＝∠CBF+∠DBF＝90°，∠ABD＝∠ACD，根据直角三角形的性质求出∠CBF+∠BCF＝90°，则∠BCF＝∠DBF，再根据角的和差即可得证； （2）根据圆周角、弧的关系求出＝，再根据垂径定理推理即可得证； （3）结合（2）求出CD⊥AB，OE＝BE＝3，OB＝3，再根据图中阴影部分的面积＝S扇形OBD﹣S△OBE求解即可． 【解析】（1）证明：∵CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝∠CBF+∠DBF＝90°， ∵BF⊥AC， ∴∠BFC＝90°， ∴∠CBF+∠BCF＝90°， ∴∠BCF＝∠DBF， 即∠BCD+∠ACD＝∠ABF+∠ABD， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴∠ABF＝∠BCD； （2）证明：∵∠BCD＝∠ACD， ∴＝， ∵CD为⊙O的直径， ∴AB⊥CD； （3）解：如图，连接OB， 由（2）知，＝，∠ABD＝22.5°， ∴∠BOD＝2∠ABD＝45°， ∵CD⊥AB，AB＝6， ∴BE＝AB＝3，∠EBO＝90°﹣45°＝45°＝∠BOD， ∴OE＝BE＝3， ∴OB＝BE＝3， ∴图中阴影部分的面积＝S扇形OBD﹣S△OBE＝﹣×3×3＝﹣． 【点睛】此题考查了扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理等知识，熟练运用扇形面积的计算、垂径定理、圆周角定理是解题的关键． 题组C 培优拔尖练 23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，则弧DE的长为（　　）cm． A． B． C． D．2π 【思路点拨】连接OE，OD，由等腰三角形的性质推出∠C＝∠ODB，得到OD∥AC，推出∠EOD＝∠AEO，由OE＝OA，∠OEA＝∠BAC＝50°，因此∠∠EOD＝∠BAC＝50°，由弧长公式即可求出的长． 【解析】解：连接OE，OD， ∵OD＝OB， ∴∠B＝∠ODB， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠C＝∠ODB， ∴OD∥AC， ∴∠EOD＝∠AEO， ∵OE＝OA， ∴∠OEA＝∠BAC＝50°， ∴∠EOD＝∠BAC＝50°， ∵OD＝AB＝×12＝6（cm）， ∴弧DE的长＝＝π（cm）． 故选：C． 【点睛】本题考查弧长的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由等腰三角形的性质推出OD∥AC，从而求出∠EOD的度数． 24．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点，以点A为圆心，AD为半径作弧交AB于点E，以点B为圆心，BF为半径作弧交BC于点G，则图中阴影部分面积的差S1﹣S2为（　　） A． B． C． D．6 【思路点拨】根据图形可以求得BF的长，然后根据图形即可求得S1﹣S2的值． 【解析】解：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，F是AB中点， ∴BF＝BG＝2， ∴S1＝S矩形ABCD﹣S扇形ADE﹣S扇形BGF+S2， ∴S1﹣S2＝4×3﹣＝12﹣， 故选：A． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 25．如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为　2π　． 【思路点拨】根据旋转的性质得S半圆AB＝S半圆A′B，∠ABA′＝45°，由于S阴影部分+S半圆AB＝S半圆A′B，+S扇形ABA′，则S阴影部分＝S扇形ABA′，然后根据扇形面积公式求解． 【解析】解：∵半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置， ∴S半圆AB＝S半圆A′B，∠ABA′＝45°， ∴S阴影部分+S半圆AB＝S半圆A′B，+S扇形ABA′， ∴S阴影部分＝S扇形ABA′＝＝2π． 故答案为2π． 【点睛】本题考查了扇形面积计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法． 26．如图，矩形ABCD中，AB＝1，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点F，交BA的延长线于点E，若点F是弧CE的中点，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【思路点拨】结合矩形的性质、圆的有关性质求出△ABF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出BE＝BC＝BF＝，再根据阴影FAE的面积＝S扇形BEF﹣S△ABF、阴影FDC的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABF﹣S扇形FBC，列式计算即可得解． 【解析】解：如图，连接BF， 在矩形ABCD中，AB＝1，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝BC， ∵点F是弧CE的中点， ∴∠ABF＝∠CBF＝45°， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴BF＝AB＝， ∴BE＝BC＝BF＝， ∴阴影FAE的面积＝S扇形BEF﹣S△ABF＝﹣×1×1＝π﹣， 阴影FDC的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABF﹣S扇形FBC＝1×﹣×1×1﹣＝﹣﹣π， 则图中阴影部分的面积为＝π﹣+（﹣﹣π）＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积计算，熟记扇形面积公式是解题的关键． 27．如图，扇形AOB的圆心角是90°，半径为，点C是OB上一点，将△AOC沿AC边翻折，圆心O恰好落在弧AB上的点O′，则图中阴影部分的面积为 　 　． 【思路点拨】连接OO′，则OO′＝OA＝，由折叠得OA＝O′A，则△OO′A是等边三角形，可求得∠OAO′＝60°，则∠OAC＝∠O′AC＝30°，根据勾股定理求出OC，即可由S阴影＝S扇形AOB﹣S△OBC﹣S△DBC求出阴影部分的面积． 【解析】解：连接OO′，则OO′＝OA＝， 由折叠得OA＝O′A， ∴OO′＝OA＝O′A， ∴∠OAO′＝60°， ∴∠OAC＝∠O′AC＝30°， ∵∠AOB＝90°， ∴OC＝AC， ∴AC＝2OC， 在Rt△AOC中，OC2+OA2＝AC2， ∴OC2+（）2＝4OC2， ∴OC＝1， ∴S△AOC＝S△AO′C＝＝， ∵S扇形AOB＝＝， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOC﹣S△AO′C＝﹣． 故答案为：﹣． 【点睛】此题重点考查轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、扇形的面积公式、根据转化思想求图形的面积等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 28．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，OC⊥CE，连接AC． （1）求证：AC平分∠EAD； （2）若∠EAD＝60°，，求AD、AC与弧CD围成阴影面积部分的面积． 【思路点拨】（1）先判断出OC∥AB，，再利用平行线的性质得出∠BAC＝∠ACO，，根据等边对等角得出∠CAD＝∠OCA，即可得出结论； （2）求出∠COD＝60°和AD＝4，再利用三角形和扇形面积公式计算即可． 【解析】（1）证明：∵CE⊥AB，OC⊥CE ∴OC∥AB， ∴∠BAC＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠CAD＝∠OCA， ∴∠BAC＝∠CAD， ∴AC平分∠EAD； （2）解：由（1）可知AC平分∠EAD， ∵∠EAD＝60°， ∴∠CAD＝30°， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∵AC＝2， ∴AD＝＝4，点C到AD的距离为， ∴OA＝OD＝2， ∵OC∥AB， ∴∠COD＝∠EAD＝60°， ∴AD、AC与弧CD围成阴影面积部分的面积：S△AOC+S扇形COD＝+＝+． 【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质、圆周角定理、扇形的面积公式，判断出OC∥AB是解本题的关键． 29．如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置． （1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积； （2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长． 【思路点拨】（1）根据旋转的性质得到△APB≌△CEB，则BP＝BE，∠ABP＝∠EBC；以B为圆心，BP画弧交AB于F点，如图，易得扇形BFP的面积＝扇形BEQ，则图形ECQ的面积＝图形AFP的面积，于是S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形PBE，然后根据扇形的面积公式计算即可； （2）连PE，利用△APB≌△CEB得到BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°，易得△PBE为等腰直角三角形，则∠BEP＝45°，PE＝4，则∠PEC＝135°﹣45°＝90°，然后在Rt△PEC中根据勾股定理计算即可得到PC的长． 【解析】解：（1）∵把△APB旋转到△CEB的位置， ∴△APB≌△CEB， ∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC， 以B为圆心，BP画弧交AB于F点，如图， ∴扇形BFP的面积＝扇形BEQ， ∴图形ECQ的面积＝图形AFP的面积， ∴S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形PBE＝﹣ ＝12π； （2）连PE， ∴△APB≌△CEB， ∴BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°， ∴△PBE为等腰直角三角形， ∴∠BEP＝45°，PE＝4， ∴∠PEC＝135°﹣45°＝90°， ∴PC＝＝＝9． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式：S＝（其中n为扇形的圆心角的度数，R为半径）．也考查了正方形和旋转的性质． 30．如图①，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于点M，AB＝CD，设⊙O的半径为r． （1）求证：DM＝BM； （2）若∠DMB＝100°，r＝1，求的长； （3）如图②，若AB⊥CD，＝120°，设MB＝a，求证：． 【思路点拨】（1）如图①，连接BD，根据已知条件得到＝，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）根据圆周角定理和弧长公式即可得到结论； （3）连接AC，BD，根据圆心角、弧、弦的性质得到＝，求得AC＝BD，根据等腰三角形的性质得到∠ADC＝∠BAD，根据勾股定理得到AM＝DM＝＝a，求得AD＝＝a，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【解析】（1）证明：如图①，连接BD， ∵AB＝CD， ∴＝， 即+＝+， ∴＝， ∴∠B＝∠D， ∴BM＝DM； （2）解：∵∠DMB＝100°，∠B＝∠D， ∴∠D＝×（180°﹣100°）＝40°， ∴∠BOC＝2∠D＝80°， ∴的长＝＝； （3）证明：连接AC，BD， ∵AB＝CD， ∴＝， ∴﹣＝﹣， 即＝， ∴AC＝BD， ∴∠ADC＝∠BAD， ∴AM＝DM， ∵∠AOD＝120°， ∴∠ABD＝60°， ∴∠BDM＝30°， ∴BD＝2BM＝2a， ∴AM＝DM＝＝a， ∴AD＝＝a， ∵AM＝DM，AO＝DO， ∴MO垂直平分AD， ∴∠AOH＝60°，AH＝AD＝a， ∴AH＝AO＝r， ∴a＝r， ∴＝． 【点睛】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． ( 33 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$