精品解析：宁夏石嘴山市平罗县平罗中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷

平罗中学2023-2024学年第二学期期末考试 高二数学（普） 满分：150分 考试时长：120分钟 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由解析式中根号下为非负数，分母不为零，解不等式即可求得结果. 【详解】根据函数解析式可得，解得； 所以该函数的定义域为. 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得，将中的元素代入中，可求结. 【详解】由，将集合中的元素代入中， 可得. 故选：D 3. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标．现抽检一批毛绒玩具，测得的色差和色度数据如表所示： 色差x 21 23 25 27 色度y m 18 19 20 根据表中数据可得色度关于色差的经验回归方程为，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】首先由表示出样本中心点，再代入经验回归方程，计算可得. 【详解】由题可得， ， 因为经验回归直线必过样本中心点， 所以，解得. 故选：B． 4. 2024年3月28日小米最新款汽车SU7发布之后，甲、乙两人利用周末时间去附近的小米汽车专卖店免费体验，若当天到场一共10名体验者，由于场地和车辆有限，现要从这10名体验者中选出4人来免费体验，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”，然后使用条件概率公式计算即可. 【详解】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”. 由于一共有10名体验者，而要从中选出4名，故. 而从10名体验者选出4名时，如果甲和乙被选中，则剩余2个被选中的人可从甲和乙之外的8名体验者中任意选择2名， 故选取方式有种，从而. 故，A正确. 故选：A. 5. 下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】对两函数的定义域、值域、对应关系分别进行逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，易知的定义域为，而的定义域为， 两函数定义域不同，可知A错误； 对于B，显然的定义域为， 而函数的定义域为，两函数定义域不同，可知B错误； 对于C，两函数定义域均为，但的值域为， 而的值域为，两函数值域不同，即C错误； 对于D，易知与的定义域、值域、对应关系均相同，即D正确. 故选：D 6. “”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据⫋，利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】解：因为⫋， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：C 7. 已知随机变量，正数，满足，则的最小值为（ ） A 2 B. C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由结合正态曲线的对称性可得，所以，化简后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】由，可得正态曲线的对称轴为， 又， ∴． ∴（当且仅当，时，等号成立）． 所以的最小值为 故选：B． 8. 已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求导后根据已知条件可判断在上递减，从而可判断出的大小. 【详解】令，则， 因为， 所以， 所以在上递减， 因为，所以， 所以， 所以， 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2—4分，有多选错选的得0分.） 9. 下列说法中，正确的命题是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 B. C. 用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好 D. 随机变量服从两点分布，且，设，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据回归分析，期望、方差的性质，结合两点分布的定义，依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A选项，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，正确； 对于B选项，，，故B选项错误； 对于C选项，残差平方和越小的模型拟效果越好，故C选项正确； 对于D选项，因为随机变量服从两点分布，且，所以， 因为，所以，故D选项正确. 故选：ACD 10. 已知函数，关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 有两个不等实根 D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由分段函数定义计算函数值判断A，分类讨论求函数的最大值判断B，解方程判断C，解不等式判断D． 【详解】，，A正确； 时，，时，是减函数，，所以无最大值，B错； 当时，由可得，解得，时，由可得，解得，所以有两个不等实根，C正确； 时，由得，时，由，， 综上解为，D正确． 故选：ACD． 11. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 第7项和第8项的二项式系数相等 B. 奇数项的二项式系数和为1024 C. 含项系数为165 D. 展开式中不含常数项 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据二项式系数即可求解A，根据二项式系数和的性质即可求解B，利用通项，即可求解CD. 【详解】的展开式中共12项， 第7项和第8项的二项式系数分别为,不相等，A错误； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，为，B正确； 设其通项为，则， 令，则，故含项的系数为，C正确， 令，由于,故不存在，使得，故展开式中不含常数项，D正确， 故选：BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 小明上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则他在上班的路上恰好遇到2次绿灯的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由独立重复试验的概率公式及对立事件的概率公式求解. 【详解】恰好遇到2次绿灯的概率为. 故答案为： 13. 若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为命题：“，”为假命题， 所以“，” 为真命题，即恒成立， 所以，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 14. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．，，，…为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，____________；令，为数列的前n项和，则____________． 【答案】 ①. ②. 12 【解析】 【分析】由题意可得的边长，进而可得周长及，进而可得，即可得出答案． 【详解】由题意得， 则，，，， ， ， 前项和， 故， 故答案为：，12 四、解答题（本大题共5小题，共77分，其中第15题满分13分，第16-17题每题满分15分，第18-19题每题满分17分，每道题目应给出必要的解答过程） 15. 我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题.2021年8月20日，全国人民代表大会常务委员会会议表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女．随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了200位育龄妇女，结果如下表． 一线 非一线 总计 愿生 60 y 100 不愿生 x 20 100 总计 140 60 200 （1）求x和y的值． （2）分析调查数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为“生育意愿”与“城市级别”有关联？ 参考公式：， 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）认为“生育意愿”与“城市级别”有关联 【解析】 【分析】（1）根据题中数据分析求解即可； （2）根据列联表求，并与临界值对比分析即可. 【小问1详解】 由题意得，； 【小问2详解】 零假设：“生育意愿”与“城市级别”没有关联， 因为， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以可以认为“生育意愿”与“城市级别”有关联. 16. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 【答案】（1）； （2）的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 .【解析】 【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出； （2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望． 【小问1详解】 设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为 ． 【小问2详解】 依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 044 0.34 006 期望. 17. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系求数列的通项公式； （2）利用“错位相减法”求数列的前项的和. 【小问1详解】 当时，. 当时，，用代替，可得：. 两式相减得：， 又， 所以 是以3为首项3为公比的等比数列，所以 . 【小问2详解】 ， 所以： 两式相减得：， 所以： . 18. 在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=2，四边形ABCD是边长为2的菱形， ，E是AD的中点． （1）求证：BE⊥平面PAD； （2）求平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，分别求出平面平面PAB与平面PBC的一个法向量，根据向量的夹角公式即可求得答案. 【小问1详解】 证明：由PA=PD=2，E是AD的中点，得PE⊥AD， 因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，且PE⊂平面PAD， 所以PE⊥平面ABCD，又BE⊂平面ABCD， 所以PE⊥BE， 又因为四边形ABCD是边长为2的夌形，，AE=1， 则,故, 所以BE⊥AD， 又PE∩AD=E，且PE，AD⊂平面PAD， 所以BE⊥平面PAD； 【小问2详解】 由（1）可知EA，EB，EP两两垂直， 以E为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 所， 设平面PAB的一个法向量为， 则，即 ,令z=1，可得， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即 ,令c=1，可得， 故平面PBC的一个法向量为， 故， 所以平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值为． 19. 已知函数. （1）当时，求函数极值； （2）讨论在区间上单调性； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极大值，无极小值 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，由导函数的正负确定函数单调性，即可根据极值点定义求解， （2）求导，分类讨论导函数的正负即可求解， （3）构造函数，利用导数求解函数的最值即可求解，或者利用对数运算，结合换元法将不等式转化为，设，求导求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时，， 求导得，由，得， 由，得，由，得， 因此在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 由， 在时，， 若，,即在区间上单调递增； 若，,即在区间上单调递减； 若，令，令， 可知在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：时，在区间上单调递增； 时，在区间上单调递减； 时，在上单调递增， 在上单调递减. 【小问3详解】 方法1： 根据题意可知， ， 设， 则， 令， 则定义域上单调递增，易知， 即，使得， 即时，，故，此时单调递减， 时，，，此时单调递增， 则， ，即. 方法2：由， ， 设，则， 设，则， 当单调递减； 当单调递增； . 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平罗中学2023-2024学年第二学期期末考试 高二数学（普） 满分：150分 考试时长：120分钟 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 函数的定义域是（ ） A B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣重要指标．现抽检一批毛绒玩具，测得的色差和色度数据如表所示： 色差x 21 23 25 27 色度y m 18 19 20 根据表中数据可得色度关于色差的经验回归方程为，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 4. 2024年3月28日小米最新款汽车SU7发布之后，甲、乙两人利用周末时间去附近的小米汽车专卖店免费体验，若当天到场一共10名体验者，由于场地和车辆有限，现要从这10名体验者中选出4人来免费体验，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（ ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 6. “”是“”的（   ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知随机变量，正数，满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 9 8. 已知是定义在上的函数的导函数，且，则，，的大小关系为（ ） A B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2—4分，有多选错选的得0分.） 9. 下列说法中，正确命题是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 B. C. 用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好 D. 随机变量服从两点分布，且，设，则 10. 已知函数，关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 有两个不等实根 D. 的解集为 11. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 第7项和第8项的二项式系数相等 B. 奇数项的二项式系数和为1024 C. 含项的系数为165 D. 展开式中不含常数项 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 小明上班的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则他在上班的路上恰好遇到2次绿灯的概率为_______. 13. 若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为______. 14. 如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．，，，…为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，____________；令，为数列的前n项和，则____________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，其中第15题满分13分，第16-17题每题满分15分，第18-19题每题满分17分，每道题目应给出必要的解答过程） 15. 我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题.2021年8月20日，全国人民代表大会常务委员会会议表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女．随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了200位育龄妇女，结果如下表． 一线 非一线 总计 愿生 60 y 100 不愿生 x 20 100 总计 140 60 200 （1）求x和y的值． （2）分析调查数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为“生育意愿”与“城市级别”有关联？ 参考公式：， 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16. 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 17. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 18. 在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=2，四边形ABCD是边长为2的菱形， ，E是AD的中点． （1）求证：BE⊥平面PAD； （2）求平面PAB与平面PBC所成锐二面角的余弦值． 19. 已知函数. （1）当时，求函数极值； （2）讨论在区间上单调性； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $