21.2.1配方法　同步练习　2024—-2025学年人教版九年级数学上册

第02课 配方法 SHAPE \* MERGEFORMAT 课程标准 （1）能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一元二次方程. （2）能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程. （3）体会“降次”的数学思想. （4）知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会用配方法解一元二次方程. （5）通过配方进一步体会“降次”的转化思想. SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点01 直接开方法 1、直接开平方法的解读 开平方 解读 若 则 解一元二次方程的基本思想是“降次”,通过“降次”把一元二次方程转化为 . 直接开平方法的实质就是把一个一元二次方程通过“降次”即 ,转化为两个一元一次方程。 2、方程x2=p的根的情况 p的取值 方程x2=p的根的情况 【注意】 （1）用直接开平方法解一元二次方程时,要把方程化成左边是含未知数的 ，右边是非负数的形式，开方的结果要注意取正、负两种情况. （2）对于形如 的关于x的一元二次方程，要运用整体思想，直接开平方，得 ，即 ； （3）当一元二次方程的二次项系数不为1时,一般先根据等式的性质,将二次项系数化为1,再配方求解. （4）所有有实数解的一元二次方程都可以用配方法进行求解。 知识点02 配方法 1、配方法的目的： 对于无法进行直接开方的方程，转化为可以直接开方的形式： 2、配方法的依据： 完全平方公式： 【配方五步法】 1、移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数. 2、化1:方程的两边同除以 ,把二次项系数化为1. 3、配方:在方程的两边同时加上 ,化成(x+m)2=n的形式. 4、开方:若n≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程,若n<0,则原方程 . 5、求解:解所得到的一元一次方程,得出原方程的解. 步骤 示例 解释 1、移 移项得： 将常数项移到等号的右侧 2、化 二次项系数化为1： 利用等式的性质，等式两边同乘以二次项系数 3、配 配方得： 利用等式的性质，在等式两边同时加上 4、开 开方得： 根据开平方的定义，进行开方 5、解 两个平方根一个取正，一个取负，解出方程 知识点03 配方法的应用 配方法的应用是基于 ，当要说明一个二次多项式的值为非负数，可用配方法进行说明； 举例： 证明： 的值恒为正； 第一步 将二次项系数作为公因数提出来 第二步 在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数 第三步 将前三项因式分解，剩余常数放到括号外 SHAPE \* MERGEFORMAT 考法01 直接开方法 【例题1】解方程 【即学即练1】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为(　　) A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0 【即学即练2】方程 的根是______________． 考法02 配方法 【例题2】用配方法解方程 时，配方结果正确的是（       ） A． B． C． D． 【即学即练1】用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（       ）． A． B． C． D． 【即学即练2】解方程： （用配方法） 考法03 配方法的应用 【例题3】对于任意实数x，多项式x2-5x+8的值是一个（ ） A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定 【即学即练1】多项式 的最小值为（       ） A． B． C． D． 【即学即练2】已知 （ 为任意实数），则 的大小关系为（　　　） A． B． C． D．不能确定 SHAPE \* MERGEFORMAT 题组A 基础过关练 1．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝___． 2．一元二次方程（x+1）2＝4的解为_____． 3．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为(     ) A．x= B．x＝±1 C． . D． 4．用适当的正数填空： （1） _____=(x-_____)2； （2）x2-______x+16=(x-____)2； （3） (x＋____)2； （4） ______=(x-____)2． 5．一元二次方程 配方后可变形为（       ） A． B． C． D． 6．将一元二次方程 化成 （a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ） A． ，21 B． ，11 C．4，21 D． ，69 7．解下列方程． （1） （2） 8．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0． 题组B 能力提升练 1．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（        ） A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2 2．已知三角形三边长为a、b、c，且满足 ， ， ，则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 3．已知 , ,（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（       ） A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定 4．代数式 的最小值是（       ） A．10 B．9 C．19 D．11 5．若把代数式 化为 的形式，其中 、 为常数，则 ______． 6． 题组C 培优拔尖练 1．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为【 】 A．0 B．1 C．﹣1 D．i 2．关于代数式 ，有以下几种说法， ①当 时，则 的值为-4. ②若 值为2，则 . ③若 ，则 存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 3．阅读材料:若 ，求m、n的值. 解: ， ， ， . 根据你的观察，探究下面的问题: （1）已知 ，求 的值. （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求边c的最大值. （3）若已知 ，求 的值. 4．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　； （2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值； （3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小． 第02课 配方法 SHAPE \* MERGEFORMAT 课程标准 （1）能根据平方根的意义解形如x2=p及ax2+c=0的一元二次方程. （2）能运用开平方法解形如(mx+n)2=p(p≥0)的方程. （3）体会“降次”的数学思想. （4）知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，会用配方法解一元二次方程. （5）通过配方进一步体会“降次”的转化思想. SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点01 直接开方法 1、直接开平方法的解读 开平方 解读 若 则 解一元二次方程的基本思想是“降次”,通过“降次”把一元二次方程转化为一元一次方程. 直接开平方法的实质就是把一个一元二次方程通过“降次”即开平方,转化为两个一元一次方程。 2、方程x2=p的根的情况 p的取值 方程x2=p的根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 【注意】 （1）用直接开平方法解一元二次方程时,要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，开方的结果要注意取正、负两种情况. （2）对于形如 的关于x的一元二次方程，要运用整体思想，直接开平方，得 ，即 ； （3）当一元二次方程的二次项系数不为1时,一般先根据等式的性质,将二次项系数化为1,再配方求解. （4）所有有实数解的一元二次方程都可以用配方法进行求解。 知识点02 配方法 1、配方法的目的： 对于无法进行直接开方的方程，转化为可以直接开方的形式： 2、配方法的依据： 完全平方公式： 【配方五步法】 1、移项:使方程的左边为二次项和一次项,右边为常数. 2、化1:方程的两边同除以二次项系数,把二次项系数化为1. 3、配方:在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方,化成(x+m)2=n的形式. 4、开方:若n≥0,则两边直接开平方得到一元一次方程,若n<0,则原方程无解. 5、求解:解所得到的一元一次方程,得出原方程的解. 步骤 示例 解释 1、移 移项得： 将常数项移到等号的右侧 2、化 二次项系数化为1： 利用等式的性质，等式两边同乘以二次项系数 3、配 配方得： 利用等式的性质，在等式两边同时加上 一次项系数一半的平方 4、开 开方得： 根据开平方的定义，进行开方 5、解 或 即 两个平方根一个取正，一个取负，解出方程 知识点03 配方法的应用 配方法的应用是基于 ，当要说明一个二次多项式的值为非负数，可用配方法进行说明； 举例： 证明： 的值恒为正； 第一步 将二次项系数作为公因数提出来 第二步 在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去这个数 第三步 将前三项因式分解，剩余常数放到括号外 SHAPE \* MERGEFORMAT 考法01 直接开方法 【例题1】解方程 【答案】 ， 【解析】 ， 【即学即练1】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为(　　) A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0 【答案】C 【解析】 解：要利用直接开平方法解一元二次方程，先将一元二次方程进行变形，变形为等号左边是数的平方或完全平方形式，等号右边为常数，且当常数要大于或等于0时，方程有实数解，因为选项C，移项后变形为 ，根据平方根的性质，此时方程无解， 故选：C 【即学即练2】方程 的根是______________． 【答案】 ， 【解析】 解：两边开平方：3x+2=x-1或3x+2=1-x ∴ ， 考法02 配方法 【例题2】用配方法解方程 时，配方结果正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 移项得： ， 配方得： ，即 故选：A． 【即学即练1】用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（       ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 解： ， 移项得 ， 二次项系数化1的 ， 配方得 ， 即 ， 故选：A． 【即学即练2】解方程： （用配方法） 【答案】 ， ； 【解析】 解： ∴ ， 考法03 配方法的应用 【例题3】对于任意实数x，多项式x2-5x+8的值是一个（ ） A．非负数 B．正数 C．负数 D．无法确定 【答案】B 【解析】 x2-5x+8=x2-5x+ + =（x- ）2+ ， 任意实数的平方都是非负数，其最小值是0， 所以（x- ）2+ 的最小值是 ， 故多项式x2-5x+8的值是一个正数， 故选B． 【即学即练1】多项式 的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51 =x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15 =(x﹣2y)2+12(x﹣2y)+36+(x+y)2+15 =(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15 ∵(x﹣2y+6)2≥0，(x+y)2≥0， ∴(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15≥15． 故选：C． 【即学即练2】已知 （ 为任意实数），则 的大小关系为（　　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解析】 根据题意，得 ＝ ， ∵ ∴ ∴ ， 故选B． SHAPE \* MERGEFORMAT 题组A 基础过关练 1．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a＝___． 【答案】−1 【解析】 解：把x＝0代入（a−1）x2−2x＋a2−1＝0得a2−1＝0， 解得a＝±1， ∵a−1≠0， ∴a＝−1． 故答案为：−1． 2．一元二次方程（x+1）2＝4的解为_____． 【答案】x1=1，x2=-3 【解析】 解：（x+1）2＝4， x+1＝±2， 解得：x1=1，x2=-3， 故答案为x1=1，x2=-3. 3．若2x+1与2x-1互为倒数，则实数x为(     ) A．x= B．x＝±1 C． . D． 【答案】C 【解析】 解：根据2x+1与2x﹣1互为倒数，列方程得：（2x+1）（2x﹣1）=1； 整理得：4x2﹣1=1，移项得：4x2=2，系数化为1得：x2= ； 开方得：x=± ． 故选C． 4．用适当的正数填空： （1） _____=(x-_____)2； （2）x2-______x+16=(x-____)2； （3） (x＋____)2； （4） ______=(x-____)2． 【答案】（1）4；2；（2）8；4；（3） ；（4） ； 【解析】 解：（1） 故答案为：4；2； （2）x2-8x+16=(x-4)2 故答案为：8；4； （3） (x＋ )2 故答案为： ； （4） EMBED Equation.DSMT4 =(x- )2 故答案为： ； ． 5．一元二次方程 配方后可变形为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ， ， ， 故选C． 6．将一元二次方程 化成 （a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（   ） A． ，21 B． ，11 C．4，21 D． ，69 【答案】A 【解析】 解： 移项得 ， 配方得 ， 即 ， ∴a=-4，b=21． 故选：A 7．解下列方程． （1） （2） 【答案】（1） ， ；（2） ， 【解析】 （1）∵ ， ， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． ∴ ∴ ， ． （2）∵ ∴ ∴ ∴ ； 即： ， ． 8．解方程：2x2﹣4x﹣1＝0． 【答案】x1= ，x2= ． 【解析】 解：∵2x2﹣4x﹣1=0， ∴2x2﹣4x=1， 则x2﹣2x= ， ∴x2﹣2x+1= ，即（x﹣1）2= ， 则x﹣1=± ， ∴x1= ，x2= ． 题组B 能力提升练 1．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（        ） A．x1=-6，x2=-1 B．x1=0，x2=5 C．x1=-3，x2=5 D．x1=-6，x2=2 【答案】B 【解析】 解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h± ， 而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2， 所以-h- =-3，-h+ =2， 方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h± ， 所以x1=3-3=0，x2=3+2=5． 故选：B． 2．已知三角形三边长为a、b、c，且满足 ， ， ，则此三角形的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【解析】 解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A． 3．已知 , ,（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（       ） A．P＞Q B．P=Q C．P＜Q D．不能确定 【答案】C 【解析】 解：∵ = = = ∴ 故选：C． 4．代数式 的最小值是（       ） A．10 B．9 C．19 D．11 【答案】A 【解析】 解： ∵ ∴代数式 的最小值是10． 故选：A． 5．若把代数式 化为 的形式，其中 、 为常数，则 ______． 【答案】-7 【解析】 x −4x−5=x −4x+4−4−5 =(x−2) −9， 所以m=2，k=−9， 所以m+k=2−9=−7. 故答案为-7 6． 【答案】 【解析】 两边开方得：2（x﹣1）＝±（x+2），∴2（x﹣1）＝x+2，2（x﹣1）＝-（x+2），∴x1=4，x2=0． 题组C 培优拔尖练 1．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2=﹣1（即方程x2=﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i=i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为【 】 A．0 B．1 C．﹣1 D．i 【答案】D 【解析】 由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1， 可发现4次一循环，一个循环内的和为0， ∵2013÷4=503…1，∴i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013=i． 故选D． 2．关于代数式 ，有以下几种说法， ①当 时，则 的值为-4. ②若 值为2，则 . ③若 ，则 存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（　　） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】C 【解析】 解：①当 时， ． 故①正确； ②若 值为2， 则 ， ∴a2+2a+1=2a+4， ∴a2=3， ∴ ． 故②错误； ③若a＞-2，则a+2＞0， ∴ = = = ≥0． ∴若a＞-2，则 存在最小值且最小值为0． 故③正确． 综上，正确的有①③． 故选：C． 3．阅读材料:若 ，求m、n的值. 解: ， ， ， . 根据你的观察，探究下面的问题: （1）已知 ，求 的值. （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求边c的最大值. （3）若已知 ，求 的值. 【答案】（1）2（2）6（3）7 【解析】 （1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0 ∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0 ∴（x+y）2+（y+1）2=0 ∴x+y=0y+1=0 解得：x=1，y=﹣1 ∴x﹣y=2； （2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0 ∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0 ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0 ∴a﹣3=0，b﹣4=0 解得：a=3，b=4 ∵三角形两边之和＞第三边 ∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6； （3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7． 故答案为7． 4．“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题： （1）填空：x2﹣4x+5＝（x　 　）2+　 　； （2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值； （3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小． 【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x2﹣1＞2x﹣3 【解析】 解：（1）x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1， 故答案为：-2，1； （2）x2﹣4x+y2+2y+5＝0， （x﹣2）2+（y+1）2＝0， 则x﹣2＝0，y+1＝0， 解得x＝2，y＝﹣1， 则x+y＝2﹣1＝1； （3）x2﹣1﹣（2x﹣3） =x2﹣2x+2 =（x﹣1）2+1， ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2+1＞0， ∴x2﹣1＞2x﹣3． 目标导航 知识精讲 能力拓展 分层提分 目标导航 知识精讲 能力拓展 分层提分 $$