精品解析：广东省茂名市电白区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

广东省茂名市电白区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 （时间:120分钟，满分:150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，其40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简的结果等于（ ） A. B. C. D. 2. 式子的值等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，且，则实数 A. B. C. D. 8 4. 函数的最小值和周期分别是（ ） A. B. C. D. 5. 以下区间中，使关于的不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，，其面积为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，则（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标为 B. 当时，与的夹角为锐角 C. 当时，、可作为平面内的一组基底 D. 当时，在方向上的投影向量为 10. 函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 11. 设，其中，则: A. 相邻两个最高点之间的距离是 B. C. 的单调递增区间是 D. 的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于轴对称. 三、填空题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 12. 已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为__________. 13. 如图，在直角坐标系中，已知圆是以原点为圆心，半径长为4的圆，一个质点在圆上，以为始点，沿逆时针方向匀速运动，每秒转一圈，则该质点的纵坐标关于时间（单位:秒）的函数解析式是__________. 14. 如图，在平行四边形ABCD中，与相交于.若，则AB的长为__________. 四、解答题:本题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，点D在边BC上，且． （1）求； （2）求线段的长． 16. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 17. 已知角，，求下面式子的值: （1）； （2）； （3）. 18. 如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，根据规划在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求． （1）当时，求线段的长度； （2）问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远） 19. 定义非零向量，若函数解析式满足，则称为向量的“件生函数”，向量为函数的“源向量”． （1）已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数k的取值范围； （2）已知点满足，向量的“伴生函数”在时取得最大值，当点A运动时，求的取值范围； （3）已知向量的“件生函数”在时的取值为．若中，，点O为该三角形的外心，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省茂名市电白区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题 （时间:120分钟，满分:150分） 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，其40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的三角形法则，即可求解. 【详解】根据向量的三角形法则，可得. 故选：B. 2. 式子的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式，即可求解. 【详解】. 故选：D 3. 已知向量，且，则实数 A. B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】由，可知，，得. 故选：D 4. 函数的最小值和周期分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式，化简函数，再求函数的最值和周期. 【详解】， ， 所以函数的最小值为，周期为. 故选：B 5. 以下区间中，使关于的不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先化简函数，再根据选项，求的范围，即可判断正负. 【详解】， A.，，此时，，故A正确； B. ，，此时，，故B错误； C. ，，此时，有正数，负数和零，故C错误； D.，，此时，有正数，负数和零，故D错误. 故选：A 6. 在中，若，，其面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由面积公式求出，再由余弦定理求出，最后利用正弦定理可得出答案. 【详解】由面积公式， 由余弦定理有， 由正弦定理有. 故选：B. 7. 已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的平移、伸缩变换可以得出函数关系． 【详解】由图1可知，，所以，所以， 图2可看成由图1向右平移1个单位长度，得， 再将所有点的横坐标变为原来的一半,纵坐标不变，得. 故选：D． 8. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标运算得出，两边平方利用二倍角公式可得，再由余弦的两角和的展开式计算可得答案. 【详解】由得 两边平方， ， 又，， . 故选：B. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知向量，，则（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标为 B. 当时，与的夹角为锐角 C. 当时，、可作为平面内的一组基底 D. 当时，在方向上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据与方向相同的单位向量为可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断B选项；判断出、不共线，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A，与方向相同的单位向量为，故A错误； 对于B，当时，，，， 所以，与的夹角为锐角，故B正确； 对于C，当时，，，则，则与不平行， 、可作为平面内的一组基底，故C正确； 对于D，设与的夹角为，则在方向的投影向量为， 当时，，，，， 所以，故D错误． 故选：BC. 10. 函数的图像与直线（为常数）的交点可能有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】ABD 【解析】 【分析】画出函数，的图象，再利用数形结合判断交点个数. 【详解】首先画出函数，的图象， 当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有3个交点；当时，有1个交点；当时，有0个交点. 故选：ABD 11. 设，其中，则: A. 相邻两个最高点之间的距离是 B. C. 的单调递增区间是 D. 的图象向左平移个单位长度得到的函数图象关于轴对称. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简得，根据最值结合周期性判断A；根据的值域即可判断B;由正弦函数的单调性即可判断C；平移之后函数为偶函数即可判断D. 【详解】由题意可得：， 且，所以的最小正周期为. 对于A，相邻两个最高点之间的距离是，故A正确； 对于B，因为，所以的值域为，所以，故B错误； 对于C，当时，令，解得， 此时的单调递增区间为，， 当时，令，，解得，， 此时的单调递增区间是，，故C错误； 对于D，的图象向左平移个单位长度得到的函数， 显然为偶函数，图象关于轴对称，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用辅助角公式，将的解析式转化为的形式，同时注意的符号性，从而得解. 三、填空题:本题共3小题，每小题6分，共18分. 12. 已知点，点在线段AB上，且，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意转化为，再根据坐标表示向量，即可求解. 【详解】设，因为点在线段AB上，且， 即，所以， 即，解得：，， 即点的坐标为. 故答案为： 13. 如图，在直角坐标系中，已知圆是以原点为圆心，半径长为4的圆，一个质点在圆上，以为始点，沿逆时针方向匀速运动，每秒转一圈，则该质点的纵坐标关于时间（单位:秒）的函数解析式是__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意设，，根据周期求出，再读出初相与，即可得解. 【详解】依题意设，， 由于每秒转一圈，故最小正周期为，则， 由于圆半径为，故，又初相为，故， 所以. 故答案为： 14. 如图，在平行四边形ABCD中，与相交于.若，则AB的长为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】先以为基底表示，再利用向量的数量积把转化为关于的方程，即可求得的长， 【详解】在平行四边形中，是的中点，，与相交于O． 设， 则 由，可得 则，解之得，则 则 又，则，解之得，即的长为4. 故答案为：4 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用不同的途径，用基底表示向量. 四、解答题:本题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，点D在边BC上，且． （1）求； （2）求线段的长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理求解即可； （2）先利用同角关系求，在中利用正弦定理即可求解． 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得， 又， ； 【小问2详解】 因为，所以， ， 由，可得， 在中根据正弦定理得： ， 又，，， 所以． 16. 已知向量和，且，求： （1）的值 （2）的值 （3）的夹角的余弦值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 ， 17. 已知角，，求下面式子的值: （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系计算可得； （2）首先求出，再由两角和的正切公式计算可得； （3）由两角和的正切公式计算可得. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 所以； 【小问3详解】 因为，， 所以. 18. 如图，经过村庄A有两条夹角为的公路，根据规划在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求． （1）当时，求线段的长度； （2）问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远） 【答案】（1） （2）设计时，工厂产生的噪声对居民影响最小 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可得，结合直角三角形的性质运算求解；（2）在中，利用正弦定理进行边化角可得，在中，利用余弦定理结合三角恒等变换整理可得，以为整体结合正弦函数求的最大值. 【小问1详解】 因为且， 故，故， 故，则 【小问2详解】 设，由题意， 在中，由正弦定理，所以 在中，由余弦定理可得： ， 又由（1）可得，所以， 当且仅当，即时，取得最大值，工厂产生的噪声对居民影响最小，此时 19. 定义非零向量，若函数解析式满足，则称为向量的“件生函数”，向量为函数的“源向量”． （1）已知向量为函数的“源向量”，若方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数k的取值范围； （2）已知点满足，向量的“伴生函数”在时取得最大值，当点A运动时，求的取值范围； （3）已知向量的“件生函数”在时的取值为．若中，，点O为该三角形的外心，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题意得到方程，参变分离后，写出函数的解析式，画出函数图象，结合图象即可； （2）根据题中条件求得的值，继而求得，利用二倍角公式求得的表达式，换元后利用函数单调性即可求得取值范围； （3）根据条件可先求得，继而根据正弦定理可得角形外接圆半径，则，再根据向量的运算法则及数量积的定义化简所求，进一步分析即可. 【小问1详解】 因为向量为函数的“源向量”，所以， 则方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 所以在上有且仅有四个不相等的实数根， 令，， ①当时， ， ②当时，， 所以 其图象为： 结合，，， 故当在上有且仅有四个不相等的实数根时， k的取值范围为． 【小问2详解】 ，其中， 当，即时，取最大值， 故， 则， 令，由于，故， 即，则，解得， 所以，因为单调递增， 所以，所以的取值范围为； 【小问3详解】 由题意得，，则， 在三角形ABC中，，，因此， 设三角形ABC外接圆半径为R，根据正弦定理，，故， 所以， ， ，，， 代入得：， 所以当时，取得最大值3． 【点睛】关键点点睛：第1问的关键是参变分离，数形结合；第2问的关键是换元法构造函数；第3问的关键是利用正弦定理得到. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $