7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章　复数 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.掌握复数的加法、减法运算法则. 2.了解复数加法、减法运算的几何意义. 3.能够利用复数的加法、减法运算法则及几何意义解决问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　复数的加、减运算 1.复数加法、减法的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则有: z1+z2=(a+bi)+(c+di)=　　　　　　　　;  z1-z2=(a+bi)-(c+di)=　　　　　　　　.  2.复数加法的运算律 设z1,z2,z3∈C,则有: 交换律:z1+z2=　　　　　;  结合律:(z1+z2)+z3=　　　　　.  (a+c)+(b+d)i (a-c)+(b-d)i z2+z1 z1+(z2+z3) 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)两个复数进行加法或减法运算后结果可能是实数.(　　) (2)实数加法的运算律在复数范围内仍适用.(　　) (3)复数z1-z2=z1+ .(　　) 2.(1)若z1=-2+4i,z2=3-2i,则z1+z2=　　　　.  (2)[苏教版教材例题](1-3i)-(2+5i)+(-4+9i)=　　　　.  √ √ × 1+2i -5+i 解析 (1)z1+z2=(-2+4i)+(3-2i)=1+2i. (2)原式=(1-2-4)+(-3-5+9)i=-5+i. 知识点2　复数加法、减法的几何意义 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)两个复数的和对应的向量即为这两个复数对应向量的和.(　　) (2)两个复数的差对应的向量即为这两个复数对应向量的差. (　　) 2.两个复数的差的模的几何意义是什么? √ √ 提示 根据复数减法的几何意义易知两个复数的差的模即为这两个复数在复平面内所对应的两点间的距离. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　复数的加、减运算 【例1】 (1)计算(2+4i)+(3-4i); (2)计算(-3-4i)+(2+i)-(1-5i); (3)已知复数z满足z+1-3i=5-2i,求z. 解 (1)原式=(2+3)+(4-4)i=5. (2)原式=(-3+2-1)+(-4+1+5)i=-2+2i. (3)(方法一)设z=x+yi(x,y∈R), 因为z+1-3i=5-2i, 所以x+yi+(1-3i)=5-2i, 即x+1=5且y-3=-2,解得x=4,y=1,所以z=4+i. (方法二)因为z+1-3i=5-2i, 所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i. 规律方法　复数加、减运算的方法技巧 (1)可把复数运算类比实数运算,若有括号,先计算括号里面的;若没有括号,可以从左到右依次进行. (2)当利用交换律、结合律抵消掉某些项的实部或虚部时,可以利用运算律简化运算,注意正负号法则与实数相同,不能弄错. 变式训练1(1)计算(-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=　　　　.  -2-4i 解析 (-4-6i)-(3+2i)+(5+4i)=(-4-3+5)+(-6-2+4)i=-2-4i. (2)设m∈R,复数 +(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,若z1+z2是虚数,求m的取值范围.   ∵z1+z2是虚数, ∴m2-2m-15≠0,且m+2≠0. ∴m≠5,且m≠-3,且m≠-2,m∈R, 即m的取值范围为(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,5)∪(5,+∞). 探究点二　复数加、减运算的几何意义 规律方法　用复数加、减运算的几何意义解题的策略 向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用向量加法“首尾相接”和向量减法“指向被减向量”的特点,在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量 对应的复数是zB-zA(终点对应的复数减去起点对应的复数). 变式训练2如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应复数 0,3+2i,-2+4i.求: 探究点三　复数模的最值(或范围)问题 【例3】 (1)[2023河南开封月考]设复数z=a+bi(a,b∈R),1≤|z|≤2,则|z+1|的取值范围是　　　　　.  [0,3] 解析 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知, 1≤|z|≤2表示如图所示的圆环,而|z+1|表示复数z的对应点A(a,b)与复数z1=-1的对应点B(-1,0)之间的距离,即圆环内及圆环边界上的点到点B的距离d.由图易知当A与B重合时,dmin=0,当点A与点C(2,0)重合时,dmax=3,∴0≤|z+1|≤3. (2)若复数z满足|z+ +i|≤1,求|z|的最大值和最小值. 变式探究(1)若本例(2)条件改为“设复数z满足|z-3-4i|=1”,求|z|的最大值. 解 因为|z-3-4i|=1,所以复数z在复平面内所对应的点在以C(3,4)为圆心,半径为1的圆上,由几何性质得|z|的最大值是 (2)若本例(2)条件改为已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i为虚数单位)的最小值. 解 因为|z|=1且z∈C,作图如图, 所以|z-2-2i|的几何意义为以O为圆心的单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离,所以|z-2-2i|的最小值为|OP|-1=2 -1. 规律方法　复数模的问题的求解策略 |z1-z2|表示复平面内z1,z2对应的两点间的距离.利用此性质,可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题,从而进行数形结合,把复数问题转化为几何图形问题求解. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)复数代数形式的加、减运算法则. (2)复数加、减法的几何意义. (3)复平面上两点间的距离公式. 2.方法归纳:类比、数形结合. 3.常见误区:忽略模的几何意义. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]若复数z1=-2+i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应点所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 解析 z1-z2=(-2+i)-(1+2i)=(-2-1)+(i-2i)=-3-i,故z1-z2对应点的坐标为(-3,-1)在第三象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.[探究点三]设复数z满足z+3-i=-1+i,则|z|=(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.2+4i B.-2+4i C.-4+2i D.4-2i D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.[探究点三]如果复数z满足|z+2i|+|z-2i|=4,那么|z+i+1|的最小值是(　　) A 解析 设复数-2i,2i,-(1+i)在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+2i|+|z-2i|=4,|Z1Z2|=4,所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2,如图所示,问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值.因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0,则Z3与Z0的距离即为所求的最小值,|Z0Z3|=1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.[探究点一]若复数z1=3+4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于第 　　　　象限.  一 解析 ∵z1=3+4i,z2=-2+3i, ∴z1-z2=(3+4i)-(-2+3i)=5+i, ∴z1-z2在复平面内对应的点的坐标为(5,1),位于第一象限. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.[探究点一]计算: (1)(1+2i)+(7-11i)-(5+6i); (2)5i-[(6+8i)-(-1+3i)]; (3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R). 解 (1)(1+2i)+(7-11i)-(5+6i)=(1+7-5)+(2-11-6)i=3-15i. (2)5i-[(6+8i)-(-1+3i)]=5i-(7+5i)=-7. (3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i(a,b∈R). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 级 关键能力提升练 8.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则(　　) A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1 C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.若|z|+z=3+i,则z=(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.若|z+3i|=|z+4-i|,则|z|+|z-2|的最小值为(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD,则 等于(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选题)已知复数z满足|z|=1,则|z-1-i|的可能取值有(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 BC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 三 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)实数a的值; (2)以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.设分别与复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)对应,则=(a,b),=(c,d).由平面向量的坐标运算法则,得=(a+c,b+d). 这说明两个向量的和就是与复数(a+c)+(b+d)i对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量的加法来进行,这就是复数加法的几何意义. 2.设分别与复数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R)对应,则=(a,b),=(c,d).由平面向量的坐标运算法则,得=(a-c,b-d). 这说明两个向量的差就是与复数(a-c)+(b-d)i对应的向量.因此,复数的减法可以按照向量的减法来进行,这就是复数减法的几何意义. z1= 解 ∵z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i, ∴z1+z2=(-2)+[(m-15)+m(m-3)]i=+(m2-2m-15)i. 【例2】 已知平行四边形ABCD中,对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于点O.求: (1)对应的复数; (2)对应的复数; (3)△AOB的面积. 解 (1)因为四边形ABCD是平行四边形, 所以,于是, 而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,即对应的复数是-2+2i. (2)因为, 而(3+2i)-(-2+2i)=5, 即对应的复数是5. (3)因为=-=(-,-2),=(,0),即=(-,-2),=(,0), 于是=-,而||=,||=,所以·cos∠AOB=-, 因此cos∠AOB=-,故sin∠AOB=, 故S△AOB=|||sin∠AOB=, 即△AOB面积为. (1)向量对应的复数; (2)向量对应的复数; (3)向量对应的复数. 解 (1)因为=-,所以向量对应的复数为-3-2i. (2)因为,所以向量对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. (3)因为,所以向量对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i. 解 复数z在复平面内对应的点Z的轨迹是以(-,-1)为圆心,1为半径的圆面(包括边界),如图所示,||==2. 所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1. +1=6. 2.[探究点一]复数z1=2-i,z2=-2i,则z1+z2等于(　　) A.0 B.I C.i D.i 解析 z1+z2=2+-+2i=i. A.5 B.2 C.4 D.5 解析 ∵z=-4+2i,∴|z|==2.故选B. 4.[探究点二]在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是(　　) 解析 依题意有,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即对应的复数为4-2i,故选D. A.1 B. C.2 D. 解析 设z=x+yi(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i, 所以|z-i|==1, 则x2+(y-1)2=1.故选C. A.1-i B.1+i C.+i D.-+i 解析 设复数z=x+yi(x,y∈R), 依题意有+x+yi=3+i, 因此解得故z=+i. A.2 B.2 C. D. || A.5 B. C. D. 解析 如图,设D(x,y),F为▱ABCD的对角线的交点,则点F的坐标为2,, 所以 所以点D对应的复数为z=3+3i, 所以=(3,3)-(1,0)=(2,3), 所以||=. 解析 复数z满足|z|=1,则|z-1-i|的几何意义是以原点为圆心的单位圆上的点与复平面上的点(1,1)的距离,所以最大值为原点与(1,1)的距离加半径,即+1=+1,最小值为原点与(1,1)的距离减去半径,即-1=-1,所以|z-1-i|的取值范围为[-1,+1],故1,2满足题意,0,3不满足.故选BC. 13.复数z1=-2mi,z2=-m+m2i,若z1+z2>0,则实数m=　　　　　,对应的点位于第　　　　　象限.  解析 z1+z2=(-2mi)+(-m+m2i)=(-m)+(m2-2m)i. ∵z1+z2>0,∴z1+z2为实数且大于0. ∴解得m=2. ∴z2=-2+4i,=-2-4i, 对应点为(-2,-4),位于第三象限. 14.已知O为坐标原点,向量分别对应复数z1,z2,且 z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i(a∈R),+z2是实数.求: 解 (1)由z1=+(10-a2)i,得-(10-a2)i,则+z2=+[(a2-10)+(2a-5)]i的虚部为0,∴a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3. 又a+5≠0,∴a=3. (2)由(1)可得z1=+i,z2=-1+i,则=,1,=(-1,1), 则||=,||=, ∴cos<>=, ∴sin<>=, ∴以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的面积S=||||sin<>=. 15.已知复数z1=+aia∈R且a≥-,若复数z=z1-|z1|+1-i在复平面内所对应的点在第二象限,求实数a的取值范围. 解 因为z1=+ai,所以|z1|==|a+1|. 又a≥-,所以|a+1|=a+1, 所以z=+ai-(a+1)+1-i=-a+(a-1)i. 因为z=z1-|z1|+1-i在复平面内所对应的点在第二象限, 所以解得a>1+, 所以实数a的取值范围为(1+,+∞). 16.已知复数z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,α,β均为锐角,且|z1-z2|=. (1)求cos(α+β)的值; (2)若cos α=,求cos β的值. 解 (1)因为复数z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β, 所以z1-z2=(cos α-cos β)+i(sin α+sin β). 所以|z1-z2|= = =. 因为|z1-z2|=,所以,解得cos(α+β)=. (2)因为α,β均为锐角,所以0<α+β<π, 所以sin(α+β)=. 因为α为锐角,cos α=,所以sin α=. 所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=. $$