7.2.2 复数的乘、除运算课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第七章　复数 7.2.2　复数的乘、除运算 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.掌握复数乘、除运算的法则,理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 2.掌握虚数单位i幂值的周期性,能进行有关的运算. 3.能在复数范围内解有关方程问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　复数的乘法及其运算律 1.复数乘法的运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=　　　　 　　　.  2.复数乘法的运算律 对于任意z1,z2,z3∈C,有 交换律 z1z2=　　　  结合律 (z1z2)z3=　　　  乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=　　 　  (ac-bd)+(ad+bc)i z2z1　 z1(z2z3) z1z2+z1z3 名师点睛 1.复数的乘法与多项式的乘法类似,注意有一点不同,即必须在所得结果中把i2换成-1,再把实部、虚部分别合并.  2.两个复数的积仍为复数,可推广,任意多个复数的积仍然是一个复数. 3.重要性质:z =|z|2. 过关自诊 1.怎样进行复数的乘法运算? 2.in(n∈N*)有什么规律? 3.[苏教版教材例题]计算(-2-i)(3-2i)·(-1+3i). 提示 两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要将所得结果中的i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.三个或三个以上的复数相乘,可按照从左到右的顺序或利用结合律运算. 提示 i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n∈N*),即in(n∈N*)是以4为周期的. 解 原式=(-8+i)(-1+3i)=5-25i. 知识点2　复数的除法 在进行复数除法运算时,通常先把(a+bi)÷(c+di)写成 的形式,再把分子与分母都乘分母的共轭复数　　　　　,化简可得(a+bi)÷(c+di) =　　　　　+　　　　　(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).  c-di 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)复数的加、减、乘、除混合运算法则是先算乘、除,后算加、减.(　　) (2)在进行两个复数除法运算时通常先要写成分式形式.(　　) 2.两个复数在进行除法运算时需要注意哪些方面? √ √ × 提示 (1)两个复数进行除法运算时通常先要写成分式形式;(2)最终结果要化成a+bi的形式. 知识点3　复数范围内一元二次方程的解法 1.在复数范围内,任何实系数一元二次方程都是有根的,当实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ<0时,其求根公式 为　　　　　　　　　　　.  2.若复系数方程有实数根,通常将这个根设出,代入方程,利用复数的运算以及复数相等的充要条件进行求解. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)方程x2=1的解是x=i.(　　) (2)在复数范围内解实系数一元二次方程可以类比实数范围内解一元二次方程,利用求根公式求解.(　　) × × 2.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R,且a≠0),如何求它的实根? 提示 ①求出判别式Δ=b2-4ac的值,判断根的情况,若Δ>0,方程有两个不相等的实根; 若Δ=0,方程有两个相等的实根;若Δ<0,方程无实根. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　复数的乘法与除法运算 角度1　复数的乘法运算 【例1】 计算下列各题: (1)(1-2i)(3+6i); (2)(5-2i)2; (3)(1+i)(1-i)+(-1+i); 解 (1)(1-2i)(3+6i)=3+6i-6i+12=15. (2)(5-2i)2=52-2×5×2i+(2i)2=25-20i-4=21-20i. (3)(1+i)(1-i)+(-1+i)=1-i2+(-1+i)=2-1+i=1+i. 规律方法　复数乘法运算的步骤 按照多项式的乘法法则展开→将i2换成-1→合并实部和虚部,化为a+bi的形式 变式训练1(1)计算:(1-i)2-(2-3i)·(2+3i)等于(　　) A.2i-13 B.13+2i C.13-2i D.-13-2i D 解析 原式=1+i2-2i-(4-9i2)=-2i-4-9=-13-2i.故选D. (2)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,1) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(-1,+∞) B 角度2　复数的除法运算 【例2】 (1)若复数z满足z(2-i)=11+7i(i为虚数单位),则z为(　　) A.3+5i B.3-5i C.-3+5i D.-3-5i A -2+i 规律方法　复数除法运算的技巧 (1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似. (2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部要完全分开的形式. 变式训练2(1)在复平面内,复数 的对应点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B 探究点二　i幂值的周期性及其应用 【例3】 [2023湖北襄阳月考]已知(2-i)z=i2 023(i为虚数单位),则z=　　　　　.  规律方法　利用i幂值的周期性解题的技巧 (1)熟记i的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时,相应的幂值分别为1,i,-1,-i. (2)对于n∈N*,有in+in+1+in+2+in+3=0. A.0 B.2i C.-2i D.4i A 探究点三　与复数有关的方程问题 【例4】 在复数范围内解关于x的方程x2+6x+10=0. 解 (方法一)因为x2+6x+10=x2+6x+9+1=(x+3)2+1=0,所以(x+3)2=-1, 又因为i2=-1,所以(x+3)2=i2, 所以x+3=±i,即x=-3±i. (方法二)因为Δ=62-4×10×1=-4<0, 规律方法　与复数有关的方程问题,一般是利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化进行求解,一元二次方程一类问题中,根与系数的关系仍适用. 变式训练4已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)有实数根b,求实数a,b的值. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)复数的乘法及运算律. (2)复数的除法运算. (3)在复数范围内解方程. (4)i的运算性质. 2.方法归纳:分母实数化、配方法、求根公式法. 3.常见误区:分母实数化时忽视i2=-1造成运算错误. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 1.已知复数 ,则复数z的虚部是(　　) A.2i B.-2i C.2 D.-2 D ∴复数z的虚部是-2. 故选D. 1 2 3 4 5 6 2.m∈R,i为虚数单位,若(m+i)(2-3i)=5-i,则m的值为(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 A 1 2 3 4 5 6 A.3 B.4 C.8 D.16 B 解析 当n=1时,x=i2+i-2=-1+(-1)=-2,当n=2时,x=i4+i-4=1+1=2,当n=3时,x=i6+i-6=-2,当n=4时,x=i8+i-8=2,因此A= ,故A有4个子集. 1 2 3 4 5 6 4.(多选题)已知i是虚数单位,若复数z满足z(3-i)=3+i, 是复数z的共轭复数,则下列说法正确的是(　　) ACD 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 4 5 6 i (3)复数=z1.(　　) 3.[苏教版教材例题]计算. 解 (方法1)设=x+yi(x,y∈R),则(3-4i)(x+yi)=2-i, 即(3x+4y)+(3y-4x)i=2-i,所以解得 因此i. (方法2)i. x= ②当Δ=b2-4ac≥0时,方程的两根为x=. (4)-ii(1+i). (4)-i(1+i)=-+i(1+i) =-i(1+i)=-+i=-i. 解析 (1-i)(a+i)=a+i-ai-i2=(a+1)+(1-a)i, 由题意知即a<-1.故选B. 解析 z==3+5i. (2)计算:=　　　　　.  解析 原式==-2+i. 解析 z=i,所以i,所以的虚部是. 解析 =-1+2i,对应的点的坐标为(-1,2),位于第二象限. 故选B. (2)已知复数z=(i为虚数单位),其共轭复数为,则的虚部是　　　　.  i　 解析 由in(n∈N*)的计算规律,可得i2 023=i505×4+3=-i, 所以z=i. 变式训练3i为虚数单位,等于(　　) 解析 =-i,=i,=-i,=i,∴=0. 所以方程的根为x==-3±i. 解 ∵b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(a∈R)的实根,∴(b2-6b+9)+(a-b)i=0,故解得a=b=3. z= 解析 ∵z==-1-2i, 解析 由(m+i)(2-3i)=(2m+3)+(2-3m)i=5-i, 得 解得m=1. 3.若A=,则集合A的子集的个数为(　　) A.z的虚部是 B.=-i C.|z|=1 D.复数z在复平面上对应的点在第一象限 解析 原式化简得z=i,虚部为,选项A正确; i,选项B错误; |z|==1,选项C正确; z在复平面上对应的点为,在第一象限,选项D正确, 故选ACD. 解析 把i代入方程,得ai2+bi+1=0, 即a+b+1+a+bi=0, 所以 即解得 5.已知i是实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的一个根,则a=　　　　　,b=　　　　　.  - (2)i. 6.已知复数z1=2-3i,z2=.求: (1)z1z2;(2). 解 z2==1-3i. (1)z1z2=(2-3i)(1-3i)=-7-9i. $$