1.3集合的基本运算11题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.3 集合的基本运算11题型分类 一、并集 【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？ “x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示． 【思考2】集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？ 不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和． 二、交集 【特别提醒】 交集有下列运算性质：A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅。 三、全集 1.定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 2.记法：全集通常记作 U. 【思考】全集一定是实数集R吗？ 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式， 全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 四、补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 【特别提醒】 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②表示一个集合，且()⊆U； ③是U中不属于A的所有元素组成的集合，即＝{x|x∈U，且x∉A}． (4)若x∈U，则x∈A或x∈，二者必居其一． 五、运算律 (1) 交换律 ，； (2) 结合律 ，； (3) 分配律 ，； (4) 德摩根律 ，. （一） 并集的运算 1、求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 2、集合并集运算应注意： (1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，然后将集合化简，再按定义求解． (2)求解时要注意集合元素的互异性这一属性的应用，重复的元素只能算一个． (3)无限集进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到． 题型1：求两个集合的并集 1-1．（2024高二下·浙江宁波·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024高一下·浙江·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 1-3．（2024·北京顺义·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型2：利用并集运算求参数 2-1．（2024高二下·江西景德镇·期中）设集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2-2．（2024高三·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数m的取值范围是 ． 2-3．（2024高一上·山西晋中·阶段练习）已知，，，若，则实数的取值所成的集合是　　 A． B． C． D． （二） 交集的运算 1、求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　 2、求集合A∩B的步骤： (1)搞清集合A，B的代表元素是什么； (2)把所求交集的集合用集合符号表示出来； (3)把集合A，B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素，则所求交集为∅) 题型3：求两个集合的交集 3-1．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高二下·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3-3．（2024高一上·云南红河·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3-4．（2024·河北承德·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型4：利用交集运算求参数 4-1．（2024·山东济宁·二模）已知集合，，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 4-2．（2024高二下·甘肃兰州·期末）已知集合．若，则 ． 4-3．（2024·陕西商洛·三模）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （三） 补集的基本运算 求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法． (2)两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 题型5：求两个集合的补集 5-1．（2024高一·全国·专题练习）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 5-2．（2024高二下·贵州·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 5-3．（2024·安徽合肥·一模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 5-4．（2024高三上·海南·期末）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 题型6：利用补集运算求参数 6-1．（2024高二下·山东滨州·阶段练习）设集合，，，则集合B＝ ． 6-2．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）设全集，集合，，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．2 D．0或2 6-3．（2024·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （四） 集合交、并、补集的综合运算 1、解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 2、涉及“B⊆A”或“且A≠∅”的问题，一定要分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论，其中B＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视． 3、求解含参数的集合运算问题首先要借助数轴的直观性求参数的范围，再者还要注意参数的端点值是否能够取到. 题型7：利用集合的交并补运算求集合 7-1．（2024·天津南开·二模）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 7-2．（2024·天津南开）已知集合，，求，，，. 7-3．（2024·天津）设集合，，，则 A． B． C． D． 题型8：利用集合的交并补集运算求参数范围 8-1．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，. (1)若，求； (2)已知，求实数的取值范围. 8-2．（2024高三上·山西·阶段练习）设集合或，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 8-3．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，. (1)若，求； (2)已知，求实数的取值范围. （五） Venn图的应用及集合的新定义问题 1、韦恩图的应用 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解． 2、集合新定义问题的求解思路 (1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在； (2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件． 题型9：韦恩图的应用 9-1．（2024高一上·四川泸州·期末）设全集及集合与，则如图阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 9-2．（2024高一下·湖北黄冈·期中）设集合，，则图阴影区域表示的集合是（    ） A． B． C． D． 9-3．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合，，且，都是全集的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 题型10：容斥原理 10-1．（2024高一上·浙江台州·阶段练习）某高中学生运动会，某班名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有人，参加径赛的有人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（    ） A． B． C． D． 10-2．（2024高一上·山东临沂·期末）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10-3．（2024高三·云南昆明·阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（    ） A．70％ B．56％ C．40％ D．30％ 题型11：集合新定义问题 11-1．（2024高一上·湖南·期中）已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为，对所有非空子集，这些和的总和为（    ） A． B． C． D． 11-2．（2024高一上·湖北恩施·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 11-3．（2024高三·江苏·学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11-4．（2024高二下·山西临汾·期末）对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为 ，的“大和数”为 ． 一、单选题 1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知集合，，，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合，且M，N都是全集U的子集，则如图的韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ）    A．B． C． D． 3．（2024高二下·湖南·期中）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 6．（2024高三下·湖南·阶段练习）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江·模拟预测）已知实数集，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二下·天津河北·期末）设全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024·山东烟台·二模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 10．（2024高二下·浙江温州·学业考试）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024高二下·北京海淀·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·辽宁大连·三模）已知集合，满足，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024·天津）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024高二下·广西·期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．（2024·四川成都·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024高一上·江西景德镇·期中）集合，，则（    ） A． B． C． D． 17．（2024高三上·辽宁沈阳·期中）设全集，集合，则（    ） A． B．2 C． D． 18．（2024高三·全国·专题练习）如图，是全集，，，是的三个子集，则图中阴影部分表示（    ）    A． B． C． D． 19．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 20．（2024·安徽芜湖·模拟预测）设全集，若集合，，则（    ） A． B． C． D． 21．（2024·北京房山·二模）已知集合，集合，则（　　） A． B． C． D． 22．（2024·四川成都·模拟预测）若集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 23．（2024·四川攀枝花·三模）设集合，，则（     ） A． B． C． D． 24．（2024·浙江·二模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 25．（2024高一上·上海嘉定·阶段练习）若集合，，且，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 26．（2024·全国·三模）如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（    ） A． B． C． D． 27．（2024高一上·江西景德镇·期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（    ）名 A．7 B．8 C．9 D．10 28．（2024高一上·四川绵阳·期末）如果全集，，则 A． B． C． D． 29．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 30．（2024·河北沧州·模拟预测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 31．（2024·北京西城·二模）有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 二、多选题 32．（2024·北京西城）已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是（　　） A．A∩B＝ B．A∪B＝{x|－2≤x≤3} C．A∪＝{x|x≤－1或x＞2} D．A∩＝{x|2＜x≤3} 33．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）非空集合G关于运算满足：（1）对任意a，，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”.现给出下列集合和运算，其中G关于运算为“融洽集”的是（    ） A．，为实数的乘法 B．，为整数的加法 C．，为整数的乘法 D．，为多项式的加法 34．（2024高一下·四川南充·阶段练习）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 35．（2024高一·全国·课后作业）（多选）满足的集合可能是 A． B． C． D． 36．（2024高一上·贵州遵义·期末）（多选题）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（    ） A．0 B． C． D．2 37．（2024高三上·江苏连云港·阶段练习）设集合，则 （    ） A． B． C． D． 38．（2024高一上·全国·单元测试）已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的是（　　） A． ={1} B． ={1,2,3,4,5,6} C． ={1,2,4,6} D．={3,5} 39．（广东省东莞市东莞高级中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题）设，，若，则实数的值可以是（　　） A．0 B． C． D．2 三、填空题 40．（2024高一上·全国·课后作业）已知集合，． （1）若，实数的取值范围是 ． （2）若，实数的取值范围是 ． （3）若，实数的取值范围是 ． 41．（2024高二下·陕西榆林·期末）已知集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 42．（2024高一上·北京海淀·期中）已知，若，则实数的取值集合是 . 43．（2024高一上·宁夏·阶段练习）已知集合，，若，则实数m的取值范围 44．（2024·上海松江·模拟预测）已知集合}，，则 ． 45．（2024高二上·上海金山·期末）已知集合，，若，则实数a的值为 ． 四、解答题 46．（2024高一上·陕西渭南·期中）已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 47．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）在①；②这二个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题. 问题：已知集合. (1)当时，求； (2)若__________，求实数的取值范围. 48．（2024高三·全国·课后作业）已知全集为，集合，，若，求实数a的取值范围. 49．（2024高一上·重庆·期末）已知，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 50．（2024高一上·山东临沂·期末）已知集合， (1)当时，求； (2)若______求实数的取值范围.①，②③从这三个条件选一个填入横线处，并求的取值范围. 51．（2024高一下·江西南昌·期中）已知全集为，集合，． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 52．（2024高一上·北京昌平·期末）已知全集，或，. (1)当时，求，，； (2)若，求实数a的取值范围. 53．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）设集合. (1)讨论集合与的关系； (2)若，且，求实数的值. 54．（2024高一上·浙江·期中）已知集合，．请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围． 55．（2024高一上·河南·阶段练习）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 56．（2024高一上·上海杨浦·期中）已知集合，，其中. （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围. 57．（2024高一·全国·课后作业）设集合，，或． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 58．（2024高一上·辽宁辽阳·期中）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 59．（2024高一下·四川乐山·阶段练习）设全集，集合，. (1)若，求， (2)若，求实数的取值范围. 60．（2024高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 61．（2024高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若且，求实数a的值． 62．（2024高一上·陕西西安·期中）设集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 63．（2024高一上·贵州毕节·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求a的取值集合. 64．（2024高一上·陕西安康·阶段练习）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.3 集合的基本运算11题型分类 一、并集 【思考1】“x∈A或x∈B”包含哪几种情况？ “x∈A或x∈B”这一条件包括下列三种情况：x∈A，但x∉B；x∈B，但x∉A；x∈A，且x∈B.用Venn图表示如图所示． 【思考2】集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数和？ 不等于，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和． 二、交集 【特别提醒】 交集有下列运算性质：A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩∅＝∅。 三、全集 1.定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． 2.记法：全集通常记作 U. 【思考】全集一定是实数集R吗？ 全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式， 全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 四、补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 【特别提醒】 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围． (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的． (3)符号∁UA有三层意思： ①A是U的子集，即A⊆U； ②表示一个集合，且()⊆U； ③是U中不属于A的所有元素组成的集合，即＝{x|x∈U，且x∉A}． (4)若x∈U，则x∈A或x∈，二者必居其一． 五、运算律 (1) 交换律 ，； (2) 结合律 ，； (3) 分配律 ，； (4) 德摩根律 ，. （一） 并集的运算 1、求集合并集的方法 (1)两集合用列举法给出：①依定义，直接观察求并集；②借助Venn图写并集． (2)两集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助数轴，求出并集． (3)一个集合用描述法，另一个用列举法：①直接观察，找出并集；②借助图形，观察写出并集． 2、集合并集运算应注意： (1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，然后将集合化简，再按定义求解． (2)求解时要注意集合元素的互异性这一属性的应用，重复的元素只能算一个． (3)无限集进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到． 题型1：求两个集合的并集 1-1．（2024高二下·浙江宁波·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 1-2．（2024高一下·浙江·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集即可得出答案. 【详解】集合，， 则 故选：D. 1-3．（2024·北京顺义·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集的运算，计算即可得出答案. 【详解】根据并集的运算可知，. 故选：A. 题型2：利用并集运算求参数 2-1．（2024高二下·江西景德镇·期中）设集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，所以， 当，即时，，符合题意； 当时， 则，解得， 综上所述实数的取值范围为. 故选：C. 2-2．（2024高三·全国·课后作业）已知集合，，且，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则. 当时，即当时，，满足题意； 当时，即当时，， 由可得，解得，此时. 综上所述，. 故答案为：. 2-3．（2024高一上·山西晋中·阶段练习）已知，，，若，则实数的取值所成的集合是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，可得，，，．对分类讨论即可得出． 【详解】，，，，． 时，，满足条件． 时，，或， 解得或． 综上可得：实数的取值所成的集合是，1，． 故选：D （二） 交集的运算 1、求两个集合的交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可． (2)对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍．　 2、求集合A∩B的步骤： (1)搞清集合A，B的代表元素是什么； (2)把所求交集的集合用集合符号表示出来； (3)把集合A，B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素，则所求交集为∅) 题型3：求两个集合的交集 3-1．（2024高三上·江西赣州·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合，再结合集合的交集运算法则进行计算即可. 【详解】由题意得，，， 所以 故选：B 3-2．（2024高二下·四川成都·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的交集运算求解. 【详解】，，则. 故选：C 3-3．（2024高一上·云南红河·期末）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】由题意可得：. 故选：A 3-4．（2024·河北承德·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件列举法表示出集合B，由交集的定义即可求出. 【详解】集合，， . 故选：A 题型4：利用交集运算求参数 4-1．（2024·山东济宁·二模）已知集合，，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据得出或，分别求出的值，并检验是否满足集合中元素的互异性，即可得出的值． 【详解】因为， 所以或， 当时，即， 则，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，满足题意， 所以， 故选：D． 4-2．（2024高二下·甘肃兰州·期末）已知集合．若，则 ． 【答案】 【分析】根据交集的定义，结合集合中元素的互异性进行求解即可. 【详解】当时，，此时不满足集合中元素的互异性，所以（舍）； 当时，可得（舍）， 此时，，满足条件，所以． 故答案为： 4-3．（2024·陕西商洛·三模）已知集合，，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】有集合间的关系建立不等式组求出即可. 【详解】由，得，易知集合非空， 则， 解得． 故选：B. （三） 补集的基本运算 求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法． (2)两种处理技巧： ①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解． 题型5：求两个集合的补集 5-1．（2024高一·全国·专题练习）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合A，然后根据补集的定义即可求解. 【详解】根据集合的定义，绝对值的意义可知，逐一带入到中， 只有符合，于是，所以. 故选：D. 5-2．（2024高二下·贵州·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】利用补集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，故或. 故选：B. 5-3．（2024·安徽合肥·一模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两集合中的元素特征可知，集合分别表示的是的奇数倍和整数倍，根据补集运算可知表示的应是的偶数倍. 【详解】由题意可知，，可知集合表示的是的奇数倍， 而由可知，集合表示的是的整数倍， 即，所以. 故选：B 5-4．（2024高三上·海南·期末）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用补集定义即可求出结果. 【详解】， ， . 故选:C. 题型6：利用补集运算求参数 6-1．（2024高二下·山东滨州·阶段练习）设集合，，，则集合B＝ ． 【答案】 【分析】首先由和求出全集，再根据，即可求出． 【详解】因为，， 所以， 又因为， 所以， 故答案为：． 6-2．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）设全集，集合，，则实数的值为（    ） A．0 B．-1 C．2 D．0或2 【答案】A 【分析】利用给定条件，结合元素的互异性直接列式计算作答. 【详解】由集合知，，即，而，全集， 因此，，解得，经验证满足条件， 所以实数的值为0. 故选：A 6-3．（2024·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由集合，， 因为，可得. 故选：B. （四） 集合交、并、补集的综合运算 1、解决集合交、并、补运算的技巧 （1）如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解. （2）如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 2、涉及“B⊆A”或“且A≠∅”的问题，一定要分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论，其中B＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视． 3、求解含参数的集合运算问题首先要借助数轴的直观性求参数的范围，再者还要注意参数的端点值是否能够取到. 题型7：利用集合的交并补运算求集合 7-1．（2024·天津南开·二模）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合运算的定义计算． 【详解】由已知，， 所以， 故选：B． 7-2．（2024·天津南开）已知集合，，求，，，. 【答案】答案见解析. 【分析】直接利用集合的交、并、补运算即可求解 【详解】因为，， 所以,所以； 因为，， 所以,所以； 因为，， 所以，所以； 因为，， 所以，所以. 7-3．（2024·天津）设集合，，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，选A． 题型8：利用集合的交并补集运算求参数范围 8-1．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，. (1)若，求； (2)已知，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据并集定义直接求解即可； （2）根据补集定义可得，由交集结果可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）当时，，又， 或. （2）由题意知：或， ，，解得：， 即实数的取值范围为. 8-2．（2024高三上·山西·阶段练习）设集合或，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先求出，根据，可求得结果. 【详解】由集合或，得，又集合且，则2或，即或. 故选：B. 8-3．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，. (1)若，求； (2)已知，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得. （2）先求得，然后根据列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】（1），解得. 因为，所以， 又因为，所以． （2）依题意，或， 由于，所以，解得， 所以的取值范围为． （五） Venn图的应用及集合的新定义问题 1、韦恩图的应用 韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解． 2、集合新定义问题的求解思路 (1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在； (2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件． 题型9：韦恩图的应用 9-1．（2024高一上·四川泸州·期末）设全集及集合与，则如图阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合并集，补集的定义即可判断． 【详解】依题意图中阴影部分所表示的集合为． 故选：D． 9-2．（2024高一下·湖北黄冈·期中）设集合，，则图阴影区域表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用交集的定义即可求解. 【详解】由题意可知，图阴影区域表示的集合是, 所以. 故选：A. 9-3．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合，，且，都是全集的子集，则下图韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意图中阴影部分表示的集合为，根据交集、补集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以，图中阴影部分表示的集合为， 所以. 故选：C 题型10：容斥原理 10-1．（2024高一上·浙江台州·阶段练习）某高中学生运动会，某班名学生中有一半的学生没有参加比赛，参加比赛的同学中，参加田赛的有人，参加径赛的有人，则田赛和径赛都参加的学生人数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合Venn图即可求解. 【详解】由题可得参加比赛的学生共有30人， 设参加田赛的学生为集合A，参加径赛的学生为集合， 则，，， 如图，因为， 所以田赛和径赛都参加的学生人数为. 故选：C. 10-2．（2024高一上·山东临沂·期末）我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用表示有限集合中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有三类，那么，.某校初一四班学生46人，寒假参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？（教材阅读与思考改编）（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中解出即可. 【详解】设集合{参加足球队的学生}， 集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则， 设三项都参加的有人，即，， 所以由 即， 解得， 三项都参加的有4人， 故选：C. 10-3．（2024高三·云南昆明·阶段练习）某班一个课外调查小组调查了该班同学对物理和历史两门学科的兴趣爱好情况，其中该班同学对物理或历史感兴趣的同学占90％，对物理感兴趣的占56％，对历史感兴趣的占74％，则既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例是（    ） A．70％ B．56％ C．40％ D．30％ 【答案】C 【分析】根据公式列方程求解即可. 【详解】对物理感兴趣的同学占56％，对历史感兴趣的同学占74％， 这两组的比例数据都包含了既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学的比例， 设既对物理感兴趣又对历史感兴趣的同学占该班学生总数的比例为x， 则对物理或历史感兴趣的同学的比例是56％＋74％－x， 所以56％＋74％－x＝90％， 解得％， 故选：C. 题型11：集合新定义问题 11-1．（2024高一上·湖南·期中）已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘再求和，例如，则可求得和为，对所有非空子集，这些和的总和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出集合的非空子集个数，然后结合新定义计算结果所出现的情况，把结果相加 【详解】因为元素，，，，，在集合的所有非空子集中分别出现次， 则对的所有非空子集中元素执行乘再求和， 则这些和的总和是． 故选：B. 11-2．（2024高一上·湖北恩施·阶段练习）定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案. 【详解】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故. 故选：D. 11-3．（2024高三·江苏·学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】计算，得到元素个数. 【详解】，则，则中元素的个数为 故选：C 11-4．（2024高二下·山西临汾·期末）对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为 ，的“大和数”为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求出集合中所有元素之和即为“小和数”；将集合的个子集，分为与，其中，，且无重复，则与的“小和数”之和为的“小和数”，即可求解. 【详解】根据题意，的“小和数”为， 集合共有11个元素，则一共有个子集， 对于任意一个子集，总能找到一个子集，使得，， 且无重复，则与的“小和数”之和为的“小和数”， 这样的子集对共有个， 其中当时，，则子集对有， 则的“大和数”为. 故答案为：； 一、单选题 1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知集合，，，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据并集的结果，分类讨论当、时集合A、B的情况，即可求解. 【详解】， 当即时，，不符合题意； 当即时，，此时. 所以. 故选：B. 2．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合，且M，N都是全集U的子集，则如图的韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ）    A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据韦恩图可得阴影部分表示，进而即得. 【详解】由韦恩图可知阴影部分表示， ∵， ∴． 故选：C. 3．（2024高二下·湖南·期中）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的交并补运算即可求解. 【详解】全集为U，集合，，,图中阴影部分表示是去掉的部分，故表示的集合是． 故选：D． 4．（2024·全国·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由补集的定义求出，，再由交集的定义即可求解. 【详解】因为，， ，， 故=. 故选：D. 5．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知，若，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据并集的知识求得. 【详解】由于，所以， 此时，满足. 故选：C 6．（2024高三下·湖南·阶段练习）已知集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集和交集的定义求解即可. 【详解】由题可得，则. 故选：C. 7．（2024·浙江·模拟预测）已知实数集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由交集，补集的运算，代入计算即可得到结果. 【详解】由题意可得，，所以； 故选：B. 8．（2024高二下·天津河北·期末）设全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的运算法则求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以， 故选：C. 9．（2024·山东烟台·二模）已知集合，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合，再利用集合的运算即可求出结果. 【详解】因为，由，解得，即，又，所以， 故选：B. 10．（2024高二下·浙江温州·学业考试）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由交集定义可得答案. 【详解】由题，. 故选：B 11．（2024高二下·北京海淀·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为集合，，则. 故选：B. 12．（2024·辽宁大连·三模）已知集合，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的包含关系判定即可. 【详解】集合与集合的关系不能用元素与集合的关系来表示，故C、D错误，而说明中元素都在集合中，故. 故选：B. 13．（2024·天津）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对集合B求补集，应用集合的并运算求结果； 【详解】由，而， 所以. 故选：A 14．（2024高二下·广西·期中）已知集合，，则中的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据集合的并运算即可求解. 【详解】由题设，所以，故其中元素共有4个． 故选：B 15．（2024·四川成都·模拟预测）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的定义计算可得. 【详解】因为，又， 所以. 故选：C 16．（2024高一上·江西景德镇·期中）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的运算可得答案. 【详解】因为，，所以. 故选：B. 17．（2024高三上·辽宁沈阳·期中）设全集，集合，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可确定，求得m的值，检验后确定答案. 【详解】由题意全集，集合， 可得，解得或， 当时，，则不合题意， 时，， ，符合题意，故， 故选：B. 18．（2024高三·全国·专题练习）如图，是全集，，，是的三个子集，则图中阴影部分表示（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据集合的运算判断各选项对应的区域，由此判断结论. 【详解】如图所示，对于A，对应的是区域1； 对于B，对应的是区域2； 对于C，对应的是区域3； 对于D，对应的是区域4． 故选：B．    19．（2024·辽宁朝阳·模拟预测）设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出集合、，图中阴影部分为，根据并集、补集的定义计算可得. 【详解】由，解得或，所以， 由，解得或，所以， 所以，又，则图中阴影部分为. 故选：D 20．（2024·安徽芜湖·模拟预测）设全集，若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将集合化简，然后结合集合的运算即可得到结果. 【详解】因为，即，且， 则，所以. 故选:C 21．（2024·北京房山·二模）已知集合，集合，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，将集合B化简，然后结合集合的交集与并集运算，即可得到结果. 【解答】因为集合，集合， 所以，故AC均错误； ，故B正确，D错误． 故选：B． 22．（2024·四川成都·模拟预测）若集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合并集概念课直接得到. 【详解】， 故选：D. 23．（2024·四川攀枝花·三模）设集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，根据交集的定义求解即可. 【详解】因为， 所以，又， 所以. 故选：C. 24．（2024·浙江·二模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得集合，根据集合的交集运算可得答案. 【详解】由题意得，， 故， 故选：C 25．（2024高一上·上海嘉定·阶段练习）若集合，，且，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】利用，讨论三种情况，分别求得的值即可． 【详解】 ；  ；   当时， 当时， 当时， 故的值是0；1； 故选：C． 【点睛】本题主要考查集合的运算以及集合的子集，考查了分类讨论的数学思想方法，属于基础题． 26．（2024·全国·三模）如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，求出集合、、，即可得集合. 【详解】由韦恩图可知，， 因为，， 则，，因此，. 故选：D. 27．（2024高一上·江西景德镇·期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（    ）名 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生. 【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人， 因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名， 只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人. 故选：D.    28．（2024高一上·四川绵阳·期末）如果全集，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定集合U，然后求解补集即可. 【详解】由题意可得：，结合补集的定义可知. 本题选择C选项. 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，补集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 29．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析集合M、N，得到，再对四个选项一一判断. 【详解】， . 因为可以表示偶数，列举出为，而可以表示全部整数. 所以 对于A：.故A错误； 对于B、C：.故B正确；C错误； 对于D：.故D错误. 故选：B 30．（2024·河北沧州·模拟预测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出集合，再利用并集的定义即可求解. 【详解】由题意可知，又， 所以． 故选：D． 31．（2024·北京西城·二模）有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】通过设出只持有股票的人数和只同时持有了和股票的人数，表达出持有不同股票的人数，通过持股的总人数即可求出只持有股票的股民人数. 【详解】由题意， 设只持有股票的人数为， 则持有股票还持有其它殸票的人数为 (图中的和 )， ∵只持有一支股票的人中, 有一半没持有或股票, ∴只持有了和股票的人数和为 (图中部分) . 假设只同时持有了和股票的人数为, ∴, 即， 则的取值可能是, 与之对应的值为, ∵没持有股票的股民中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍 ∴，即， ∴时满足题意，此时, ∴只持有股票的股民人数是, 故选：A.    【点睛】本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有股票的人数，利用韦恩图结合条件即得. 二、多选题 32．（2024·北京西城）已知集合A＝{x|－1＜x≤3}，集合B＝{x||x|≤2}，则下列关系式正确的是（　　） A．A∩B＝ B．A∪B＝{x|－2≤x≤3} C．A∪＝{x|x≤－1或x＞2} D．A∩＝{x|2＜x≤3} 【答案】BD 【分析】先化简集合，利用交集计算判断选项A，利用并集计算判断选项B，利用补集和并集判断选项C，利用补集和交集计算判断选项D. 【详解】因为A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}， 所以A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1＜x≤2}，故A错误； A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故B正确； 因为＝{x|x＜－2或x＞2}，所以A∪＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x＜－2或x＞2}＝{x|x＜－2或x＞－1}，故C错误； A∩＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x＜－2或x＞2}＝{x|2＜x≤3}，故D正确. 故选：BD. 33．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）非空集合G关于运算满足：（1）对任意a，，都有；（2）存在，使得对一切，都有，则称G关于运算为“融洽集”.现给出下列集合和运算，其中G关于运算为“融洽集”的是（    ） A．，为实数的乘法 B．，为整数的加法 C．，为整数的乘法 D．，为多项式的加法 【答案】AB 【分析】根据是关于运算⊕为“融洽集”的定义，逐一分析四个集合及运算是否满足定义，可得答案． 【详解】对于，，为实数的乘法满足（1），且存在满足（2），故是关于运算⊕的融洽集，正确， 对于，非负整数，为整数的加法满足（1），且存在满足（2），故是关于运算⊕的融洽集，正确， 对于，偶数，为整数的乘法，若存在满足（2），则为奇数，与已知矛盾，故不是关于运算⊕的融洽集，错误， 对于，，为多项式的加法．两个二次三项式的和不一定是二次三项式，不满足（1），故不是关于运算⊕的融洽集，错误， 故选：． 34．（2024高一下·四川南充·阶段练习）已知全集，集合，则使成立的实数m的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据和分类讨论，求出m的取值范围，再判断选项即可. 【详解】①当时，令，得，此时符合题意； ②当时，，得， 则或， 因为，所以或， 解得或， 因为，所以. 综上，m的取值范围为或， 故选：BC 35．（2024高一·全国·课后作业）（多选）满足的集合可能是 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分析，集合中一定含有元素5，可能含有1、3，根据情况选出答案即可 【详解】由知，，且中至少有1个元素5，故选ABD. 【点睛】本题考查根据集合的并集结果求出某一集合的方法，抓住集合的互异性快速锁定元素5集合中必须含有元素是解题关键 36．（2024高一上·贵州遵义·期末）（多选题）设全集U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}．＝{x|ax－1＝0}，则实数a的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【分析】首先求集合，再结合补集的定义，讨论和两种情况，求实数的取值范围. 【详解】U＝{3，5}，若a＝0，则，此时A＝U； 若a≠0，则＝. 此时＝3或＝5， ∴a＝或a＝. 综上a的值为0或或. 故选：ABC 37．（2024高三上·江苏连云港·阶段练习）设集合，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】 对A，由，等式不成立即可判断； 对BCD，当为奇数时，令，则；当为偶数时，令，则即可判断 【详解】， 对A，由，等式不成立，故，A错； 对BCD，当为奇数时，可令，则；当为偶数时，可令，则. 故，且，BD对C错； 故选：BD 38．（2024高一上·全国·单元测试）已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合P={1,3,5}，Q={1,2,4}，则下列结论正确的是（　　） A． ={1} B． ={1,2,3,4,5,6} C． ={1,2,4,6} D．={3,5} 【答案】ACD 【分析】根据集全的交并补运算求解. 【详解】∵P={1,3,5}，Q={1,2,4}， ∴={1}，={1,2,3,4,5}. 又={2,4,6}，={3,5,6}， ∴={1,2,4,6}， ={3,5}. 故选：ACD. 39．（广东省东莞市东莞高级中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题）设，，若，则实数的值可以是（　　） A．0 B． C． D．2 【答案】ABC 【分析】根据题意可以得到，进而讨论和两种情况，最后得到答案. 【详解】由题意，，因为，所以， 若，则，满足题意； 若，则，因为，所以或，则或. 综上：或或. 故选：ABC. 三、填空题 40．（2024高一上·全国·课后作业）已知集合，． （1）若，实数的取值范围是 ． （2）若，实数的取值范围是 ． （3）若，实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】①根据集合间的运算求实数的取值范围；②利用取反思想，先求时，实数的取值范围，再求补集即可；③利用集合间的关系，即可得出答案. 【详解】①若，得，所以实数a的取值范围是； ②因为，即，所以，所以若，则， 则实数a的取值范围是； ③若，即，所以， 则实数a的取值范围是. 故答案为：①；②；③. 41．（2024高二下·陕西榆林·期末）已知集合，，若，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由条件根据补集的定义求，再根据子集的定义列不等式求a的取值范围． 【详解】因为， 所以或， 又，， 所以， 所以a的取值范围为. 故答案为：. 42．（2024高一上·北京海淀·期中）已知，若，则实数的取值集合是 . 【答案】 【解析】根据，得到方程没有正实数解，然后分和两种情况讨论求解. 【详解】， ∴方程没有正实数解， 故集合有两种情况： ①若，则，则； ②若，则方程有两个非正数解，且0不是其解，则有：，解得. 综上所述，， 所以实数的取值范围是. 43．（2024高一上·宁夏·阶段练习）已知集合，，若，则实数m的取值范围 【答案】 【分析】由得到，然后分B为空集和不是空集讨论，当B不是空集时利用端点值的关系列不等式求解． 【详解】解：，， 由， ， 当时，满足， 此时， ； 当时， ， 则， 解得． 综上，． 故答案为：． 44．（2024·上海松江·模拟预测）已知集合}，，则 ． 【答案】 【分析】由集合的并集的定义求解即可. 【详解】因为集合}，， 则. 故答案为： 45．（2024高二上·上海金山·期末）已知集合，，若，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】根据交集和空集的定义以及方程的联立即可求解. 【详解】联立， 解得， 若， 则， 所以. ①当 时，两个集合的条件都变为，因此交集不为空集. ②当 时，两个集合的条件都变为和，所以交集为空集. 故答案为：. 四、解答题 46．（2024高一上·陕西渭南·期中）已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由已知结合集合补集的运算即可求解； (2)由，则，然后对是否为空集进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）， . （2）由得，， 当时，由，可得，即； 当时，由，且， 可得，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 47．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）在①；②这二个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题. 问题：已知集合. (1)当时，求； (2)若__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，根据并集概念求解答案； （2）根据并集或交集结果得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，集合，所以； （2）若选择①，则， 因为，所以，又， 所以，解得，所以实数的取值范围是 若选择②， 因为，所以，又 所以或，解得或， 所以实数的取值范围是或 48．（2024高三·全国·课后作业）已知全集为，集合，，若，求实数a的取值范围. 【答案】. 【分析】由可得，由此列出不等式求出的取值范围． 【详解】若，则， ∵，， ∴，解得， ∴实数的取值范围是. 49．（2024高一上·重庆·期末）已知，集合，. (1)当时，求，； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据集合的交并运算求解； （2）求出，根据列出应满足的条件. 【详解】（1）当时，，，； （2），，， ∴. 50．（2024高一上·山东临沂·期末）已知集合， (1)当时，求； (2)若______求实数的取值范围.①，②③从这三个条件选一个填入横线处，并求的取值范围. 【答案】(1)； (2)无论选哪个条件，的取值范围都是. 【分析】（1）根据集合交集的定义进行求解即可； （2）根据集合并集、交集、补集的运算性质进行求解即可. 【详解】（1）当时，，， 因此 （2）若选①：， 因为，所以，因此， 当时，，因为，， 所以有，故的取值范围为； 当时，，因为，， 所以有，而，所以不符合题意， 故的取值范围为. 若选②：， 因为，所以，因此， 当时，，因为，， 所以有，故的取值范围为； 当时，，因为，， 所以有，而，所以不符合题意， 故的取值范围为. 若选③： 因为，所以，因此， 当时，，因为，， 所以有，故的取值范围为； 当时，，因为，， 所以有，而，所以不符合题意， 故的取值范围为. 51．（2024高一下·江西南昌·期中）已知全集为，集合，． (1)求； (2)若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式可得集合，即可求得； （2）根据集合间的关系，列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）解不等式，解得， 所以， 所以； （2）由（1）得， 又， 则或，解得或， 即. 52．（2024高一上·北京昌平·期末）已知全集，或，. (1)当时，求，，； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，或， (2)或 【分析】（1）代入，再根据交，并，补的定义求解即可； （2）由得到，根据集合的关系可得实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，或， ，又， ，或，； （2）若，则， 或， 或. 53．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）设集合. (1)讨论集合与的关系； (2)若，且，求实数的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）解方程得到，分两种情况，得到的关系； （2）根据交集结果得到，分类讨论，求出实数的值. 【详解】（1）， 当时，； 当时，，是的真子集. （2）当时，因为，所以，所以. 当时，解得（舍去）或，此时，符合题意. 当时，解得，此时符合题意. 综上，或. 54．（2024高一上·浙江·期中）已知集合，．请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)条件选择见解析，. 【分析】(1)取化简，化简A，再根据交集的定义求； (2)若选①，由可得，讨论的正负，由条件列不等式求a的取值范围；若选②，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围；若选③，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围. 【详解】（1）由题意得，． 当时，， ∴； （2）选择①． ∵，∴， 当时，，不满足，舍去； 当时，，要使，则，解得； 当时，，此时，不满足，舍去． 综上，实数的取值范围为． 选择② ∵，∴， 当时，，不满足，舍去； 当时，，要使，则，解得； 当时，，此时，不满足，舍去． 综上，实数的取值范围为． 选择③ ∵，∴， 当时，，不满足，舍去； 当时，，要使，则，解得； 当时，，此时，不满足，舍去． 综上，实数的取值范围为． 55．（2024高一上·河南·阶段练习）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）化简集合A，B根据集合交并补运算即可（2）分，两种情况讨论即可求解. 【详解】(1)当时，, 所以, (2)若，即，则, 若，则解得, 综上:. 【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算，分类讨论的思想，属于中档题. 56．（2024高一上·上海杨浦·期中）已知集合，，其中. （1）若，求的值； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1），或； （2）或或或. 【分析】先求得集合中元素的可能取值. （1）根据，判断出是集合的元素，由此求得的值，进而求得集合，由此确定的值. （2）根据为空集、单元素集、双元素集进行分类讨论，由此确定的取值范围. 【详解】由，解得或. （1）当，所以是集合的元素，所以，解得，所以.若，此时，符合.若，此时，符合.故，或. （2）由于， 当时，由判别式得，解得，此时. 当为单元素集时，由判别式得，解得或.当时，，要使，则.当时，，，要使，则. 当为双元素集时，由（1）知，. 综上所述，的取值范围为或或或. 【点睛】本小题主要考查根据集合交集和并集的情况求参数，考查一元二次方程根的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 57．（2024高一·全国·课后作业）设集合，，或． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合交集的性质，可得两集合之间的关系，分类讨论是否为空集，列出不等式，可得答案； （2）由题意，明确交集中的唯一的整数，结合这个整数，列出不等式，可得答案. 【详解】（1）因为，所以． ①当时，由，得，解得； ②当，即时，成立． 综上，实数m的取值范围是． （2）因为中只有一个整数，所以，且，解得， 所以实数m的取值范围是． 58．（2024高一上·辽宁辽阳·期中）已知集合，． (1)当时，求，； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）代入得到，计算或，再计算交集和并集得到答案. （2）将转换为，根据集合的包含关系转化为不等关系计算得到答案. 【详解】（1）当时，，， 故， 或，故. （2），故，需满足，解得，即. 59．（2024高一下·四川乐山·阶段练习）设全集，集合，. (1)若，求， (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；或 (2) 【分析】（1）先代入化简集合，再利用集合的交并补运算即可得到结果； （2）先由得到，再分类讨论与两种情况，结合数轴法即可得到所求. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，， 所以，或， 故或. （2）因为，所以， 因为，， 所以当时，，解得，此时； 当时，， 由数轴法得，解得，故； 综上：，即. 60．（2024高一上·重庆沙坪坝·期中）已知，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若 ，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)条件选择见解析， 【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）选①，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选②，分析可知，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据可得出关于的等式，综合可得出集合； 选③，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，求得，根据，可得出关于的等式，综合可得出集合. 【详解】（1）解：当时，， 又因为，故. （2）解：若选①，当时，，则，满足， 当时，，若，则或，解得或. 综上所述，； 若选②，，则. 当时，，满足； 当时，，因为，则或，解得或. 综上所述，； 若选③，当时，，满足； 当时，则，因为，则或，解得或. 综上所述，. 61．（2024高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若且，求实数a的值． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由方程有实数解，结合判别式得出实数a的取值范围； （2）由得出或，进而得出实数a的值． 【详解】（1）由题意得方程有实数解， ，得， 实数的取值范围是； （2）∵， ， 或， 则或. 62．（2024高一上·陕西西安·期中）设集合. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1），求得，由并集的定义求解即可. （2）根据得到，讨论，，，四种情况分别计算得到答案. 【详解】（1）当时，， 又 所以. （2）， 当时，，即； 当时，利用韦达定理得到，解得； 当时，利用韦达定理得到，无解； 当时， 根据韦达定理得到 ，解得 ； 综上，实数a的取值范围是： 63．（2024高一上·贵州毕节·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求a的取值集合. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）化简集合A,B，直接根据交集运算求解； （2）讨论判别式，求出集合B，检验是否满足即可求解. 【详解】（1）当时，. 因为， 所以. （2）因为，所以. 当时，解得，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，， 则解得. 综上，a的取值集合是或. 64．（2024高一上·陕西安康·阶段练习）已知集合，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若集合中仅有一个整数元素，求． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出集合A，得到补集，题意得到，即可求解； （2）集合中仅有一个整数元素，由于集合中只有两个整数元素：和0，分两种情况，集合中仅有一个整数元素，和仅有一个整数元素0两种情况，求出的取值范围，再结合，分，与三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）集合， ，从而， ∵，， ，解得， 实数的取值范围为； （2）由（1）知：，， 集合中仅有一个整数元素，由于集合A中只有两个整数元素：和0， 若集合中仅有一个整数元素，则，解得：， 若集合中仅有一个整数元素0，则，解得：， ， 当时，，，则； 当时，，，则； 当时，，，则； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$