第十三章 轴对称学案-2023-2024学年人教版数学八年级上册

第十三章 轴对称 1 轴对称 【课前导学】 1.在下列各电视台的台标图案中(不考虑颜色)，是轴对称图形的是( ) 2.“羊”字象征着美好和吉祥，下图都与“羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列图案中，有且只有三条对称轴的是( ) 【课中训练】 看图推理，看看哪位同学最聪明 下面一个应该是什么形状？ 【课后练习】 1.下面给出的这幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，指出他的对称轴，并找出两对对称点. 2.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线 l 对称. △ABC___△A′B′C′，BC＝____，∠ABC＝________，BM＝____，∠APN＝____，l__________CC′. 3.一辆汽车的车牌在水中的倒影如图所示，你能确定该车车牌的号码吗？ 4.一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把2＋3＝8变成一个真正的等式”，很长时间没人答出. 小兰仅仅拿出了一面镜子，就很快解决了这道题目，你知道她是怎样做的吗？ 【学习评价】 自我评价： 老师评价： 等 级： 评 语： 2 线段的垂直平分线的性质（1） 【课前导学】 1.如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC＝7cm，那么ED＝___cm. 2.如图，ED垂直平分AC，垂足为D，AB＝13，BC＝10，则△BEC的周长____. 3.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AB于E，交AC于D，CD:BD＝2:5，AC＝35，则 AD＝_____. 4.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AB于E，交AC于D，CD＝DE，则∠A＝____. 【课中训练】 1.如图，在△ABC中，已知AC＝27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长. 2.如图,已知△ABC,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC 于点 F,连接EF 交AD 于点 G. (1)求证:AD 垂直平分EF; (2)若AB+AC=10,DE=3,求△ABC的面积. 【课后练习】 1.如图，在△ABC中，AB，AC边的垂直平分线交BC于E，F，垂足分别为M，N，若△ABC周长为18cm，且AB:BC:CA＝2:4:3，求△AEF的周长. 2.如图，E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA ED⊥OB，垂足分别为C、D. 求证：OE是CD的垂直平分线. 3.如图, 在△ABC 中,∠ACB = 90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB交AB于点E,连接CE. (1)若∠BAC=50°,求∠EDA 的度数. (2)求证：直线AD 是线段CE的垂直平分线. 【学习评价】 自我评价： 老师评价： 等 级： 评 语： 3 线段的垂直平分线的性质（2） 【课前导学】 1.为了扶持某地区的农业发展，市政府决定兴修水利.如图，在一河流的同一侧有两个村A、B，现要在河边建一蓄水闸门便于往两村输水进行农业灌溉，要求这一蓄水闸门到两村的距离相等，你能帮助确定蓄水闸门的位置吗？ 2.某地准备建立一个希望小学以支援贫困地区的教育，要求希望小学的位置到已知三个村庄A、B、C的距离相等，你能帮助当地村民确定希望小学的位置吗？ 3.如图，在公路MN和公路PQ之间有两个村庄A、B，现要修建一座仓库，使仓库到两条公路和两村庄的距离分别相等，请在图上画出仓库应建在何处，并说明理由(只保留作图痕迹，不写作法). 【课中训练】 1.给出以下四个结论，其中正确的有( ) ①如果两条线段互相垂直且平分，那么这两条线段互为对称轴 ②若两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形一定全等 ③线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等 ④若P为∠AOB平分线上的点，C、D分别是OA与OB上的点，则PC＝PD A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 2.求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 【课后练习】 1.下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是( ) A.等边三角形 B.正方形 C.正六边形 D.圆 2.下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是( ) 3.下图中有阴影的四边形与哪些四边形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？ 5.如图，在△ABC中，AB＝BC＝6cm，AC＝4cm. (1)作BC的垂直平分线MN，垂足为N，交AB于点M. (2)在(1)的条件下，连接MC，求△AMC的周长. 6.已知：如图，△ABC的边AB＝8cm，AC＝4cm， ∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于D点，过D点的直线DE⊥AB，DF⊥AC交AC的延长线于F. (1)求证：AE＝AF.(2)求证：BE＝CF.(3)求AE的长. 【学习评价】 自我评价： 老师评价： 等 级： 评 语： 4 画轴对称图形 【课前导学】 1.如图1，△ABC与△A1B1C1关于直线l对称，将 △A1B1C1向右平移得到△A2B2C2.由此得到下列判断： ①AB∥A2B2.②∠A＝∠A2.③AB＝A2B2.其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 图1 图2 2.如图2，在3×3的方格图中，再将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，方法有( ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 3.如图，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是( ) 【课中训练】 在艺术字中，有些汉字是轴对称的，你能猜一猜下列是哪些字的一半吗？ 【课后练习】 1.如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC. (1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1. (2)在(1)问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C 的面积. 2.如图，是4×4的正方形网络，其中已有3个小方格涂成了黑色.现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使所有黑色小方格组成的图形成为轴对称图形，问：满足条件的白色小方格有几个？ 3.用四块如图(1)所示的瓷砖拼成一个正方形图案.如图(2)，拼成一个轴对称图形，请你在图(3)和图(4)中各给出两种不同的拼法，且均为轴对称图形. 4.如图，等边三角形ABC的边长为3cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，使点A落在A′处，且点A′在△ABC外部，求阴影部分图形的周长. 5如图，将标号为A、B、C、D的正方形沿图中的虚线剪开后，得到标号为P、Q、M、N的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系，填空：A与____对应.B与____对应.C与____对应.D与____对应. 【学习评价】 自我评价： 老师评价： 等 级： 评 语： 5 用坐标表示轴对称 【课前导学】 若点P(－2,3)与点Q关于x轴对称，则Q点的坐标是( ) A.(－2,3) B.(2,3) C.(－2,－3) D.(2,－3) 2.点M(1,2)关于y轴对称的点的坐标是( ) A.(－1,2) B.(－1,－2) C.(1,－2) D.(2,－1) 3.将点A(3,2)沿x轴向左平移4个单位长度得到点 A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是( ) A.(－3,2) B.(－1,2) C.(1,2) D.(1,－2) 4.已知点P关于x轴的对称点为(a,－2)，关于y轴的对称点为(1,b)，那么点P的坐标为( ) A.(a,－b) B.(b,－a) C.(－2,1) D.(－1,2) 5.将平面直角坐标系内某个图形的各个点的横坐标都乘－1，纵坐标不变，所得图形与原图形的关系是( ) A.关于x轴对称 B.关于y轴对称 C.图形向左平移 D.图形向下平移 【课中训练】 1.点A(－3,5)关于x轴对称的点的坐标是________，关于y轴对称的点的坐标是_________. 2.点B(5,－3)关于x轴对称的点的坐标是________，关于y轴对称的点的坐标是_________. 3.若P(a,3－b)，Q(5,2)关于x轴对称，则a＝____，b＝_____. 4.若M(3,2)，N(5－a,b)关于y轴对称，则a＝____，b＝_____. 5.横坐标不变，纵坐标分别乘以－1，则所得图形与原图形关于________对称. 6.已知点P(3,－1)关于y轴的对称点Q的坐标是 (a＋b,1－b)，则ab的值为_______. 【课后练习】 1.在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示. (1)请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′.(其中A′、B′、C′分别是A、B、C的对应点) (2)直接写出A′、B′、C′三点的坐标：A′(_______)、B′(_______)、C′(_______). 2.如图，在直角坐标系中，A(－l，5)，B(－3，0)， C(－4，3). (1)在直角坐标系中作出△ABC关于y轴对称的 △A′B′C′，并相应写出△A′B′C′三个顶点的坐标. (2)在(1)的基础上，作出△A′B′C′关于x轴对称的△A″B″C″，并相应写出△A″B″C″三个顶点的坐标. 3.若点C(－2，－3)关于x轴的对称点为A，关于y轴的对称点为B，求△ABC的面积. 4.设点P(2m－3，3－m)关于y轴的对称点在第二象限，试确定整数m的值. 【学习评价】 自我评价： 老师评价： 等 级： 评 语： 6 等腰三角形（1） 【课前导学】 1.等腰三角形的对称轴是( ) A.顶角的平分线 B.底边上的中线 C.底边上的高 D.底边上的高所在的直线 2.等腰三角形的一个角等于20°，则另外两个内角分别为( ) A.20°、140° B.20°、140°或80°、80° C.80°、80° D.20°、80° 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，则下列判断正确的是( ) A.∠A＝∠B B.∠A＝∠ACD C.∠A＝∠DCB D.∠A＝2∠BCD 4.等腰三角形中，AB长是BC长2倍，三角形的周长是40，则AB的长为( ) A.20 B.16 C.20或16 D.18 【课中训练】 1.已知等腰三角形的周长为13，其一边长为3，则其它两边长分别为_______. 2.等腰三角形的一个内角为80°，则它的其余各角的度数分别为___________________. 3.如图，AB∥CD，点E在BC上，CD＝CE，∠D＝70°，则∠B＝____. 4.如图，点D在AC上，AB＝BD＝CD, ∠C＝40°，则∠ABD＝_____. 5.如图，是一钢架，∠AOB＝10°，为使钢架更加坚固，需在内部添加一些钢管EF、FM、MH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管____根. 【课后练习】 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD是角平分线，E在BC上，且BD＝BE. 求∠DEC的度数. 2.如图，房屋的顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB＝AC. 求顶架上∠B，∠C，∠BAD， ∠CAD的度数. 3.已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝EC.求证：AB＝AC. 4.如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，求∠A的度数. 【学习评价】 自我评价： 老师评价： 等 级： 评 语： 7 等腰三角形（2） 【课前导学】 1.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，其中能判定 △ABC是等腰三角形的是( ) A.∠A＝55°，∠B＝65° B.∠A＝75°，∠B＝30° C.∠A＝40°，∠B＝80° D.∠A＝60°，∠B＝50° 2.小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形，其中两条较长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.在如图所示的三角形中，AB＝AC，其中能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 【课中训练】 1.在△ABC中，(1)若∠B＝∠C，AB＝6cm，则 AC＝___cm. (2)若∠A＝40°，∠C＝70°，则△ABC是__________. (3)若三个外角之比为3:2:3，则△ABC是_______________. 2.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝4cm，则BC＝___cm. 3.如图3，△ABC中，AD⊥BC于点D.请你添加一个条件，确定△ABC是等腰三角形，你添加的条件是____________(除AB＝AC外). 4.如图4，在正方形ABCD所在平面内，找一点P，使△PAB，△PBC，△PCD，△PAD均为等腰三角形，这样点P有___个. 图3 图4 【课后练习】 1.如图，已知BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E. 求证：△BED是等腰三角形. 2.如图，一艘船从A处出发，以18节的速度向正北航行，经过10时到达B处. 分别从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝42°，∠NBC＝84°. 求B处到灯塔C的距离. 5.已知：如图(1)，等腰三角形的一个内角为锐角α，腰为a，求作这个等腰三角形. 6.已知：如图(2)，等腰三角形的一个内角为钝角α，腰为a，求作这个等腰三角形. 7.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE相交于点O，给出下列4个条件： ① ∠EBO＝∠DCO. ② ∠BEO＝∠CDO. ③ BE＝CD. ④ OB＝OC. (1)上述4个条件中，应用哪两个条件可以判断 △ABC是等腰三角形？(用序号写出所有满足的情形) (2)选择(1)中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形. 8．如图1．点E在BC的延长线上，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠EAD，AB=AC，AD=AE，连接CD，交AE于点F． （1）求证：∠DCE＝∠BAC； （2）当∠BAC=∠EAD=30°，AD⊥AB时，如图2，延长DC，AB交于点G，求证：△ACF是等腰三角形； （3）在（2）的条件下，是否还存在除△ABC，△ADE和△ACF以外的等腰三角形，如果存在，试将它们全都写出来． 【学习评价】 自我评价： 老师评价： 等 级： 评 语： 8 等边三角形（1） 【课前导学】 1.下列推理中，错误的是( ) A.因为∠A＝∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形 B.因为AB＝AC且∠B＝∠C，所以△ABC是等边三角形 C.因为∠A＝∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形 D.因为AB＝AC，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形 2.如图2，等边三角形ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC＝( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 3.如图3，在面积为 的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是( ) A. B. C. D. SHAPE \* MERGEFORMAT 图2 图3 【课中训练】 1.有一个角是60°的____________是等边三角形. 2.等边三角形是轴对称图形，它有___条对称轴. 3.△ABC是等边三角形，且AB＝5，则这个三角形的周长是____. 4.如图，△ABC是周长为6的等边三角形，BD为中线，且BD＝a，E为BC延长线上一点，CE＝CD，则△BDE的周长为_______. 5.如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′，EB′分别交AC于点F，G，若∠ADF＝80°，则∠EGC的度数为____. 6.△ABC为等边三角形，且DE⊥BC，垂足为D，EF⊥AC，垂足为E，FD⊥AB，垂足为F，则△DEF是等边三角形吗？为什么？ 【课后练习】 1.如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且点E在BC上. 求证：AE＝CD. 2.如图，D为等边△ABC的边AC上一点，且 ∠1＝∠2，CE＝BD，试判断△ADE的形状，并证明 你的结论. 3.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论． 4.如图，△ABC是等边三角形，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OM∥AB，ON∥AC.求证：BM＝MN＝CN. 5.如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F. (1)求证：AN＝BM. (2)求证：△CEF是等边三角形. 【学习评价】 自我评价： 老师评价： 等 级： 评 语： 9 等边三角形（2） 【课前导学】 1.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( ) A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7 2.如图，是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图. 其中AB，CD分别表示一楼，二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( ) A.3m B.4m C.5m D.6m 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足为D，交BC于E，AE平分∠BAC，那么下列关系式中不成立的是( ) A.∠B＝∠CAE B.∠DEA＝∠CEA C.AB＝2AC D. AC＝2EC 【课中训练】 1.已知一个三角形的三个内角的比是1∶2∶3，最短边为5cm，则最长边为____cm. 2.如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，若AD＝3cm，则AB＝____cm，BE＝____cm. 3.如图，∠BAC＝30°，AM是∠BAC的平分线，过点M作ME∥BA交AC于点E，作MD⊥BA，垂足为D，ME＝10cm，则MD＝____cm. 4.将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若AB＝16cm，则阴影部分的面积是____cm2. 【课后练习】 1.等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AM长为15cm，求BC的长. 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F. 求证：BF＝2CF. 4.如图，某船于上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°方向，该船以每小时10海里的速度向东航行到C处，再观测海岛B在北偏东30°方向，航行到D处，观测到海岛B在北偏西30°方向，当轮船到达C处时恰与海岛B相距20海里，请你确定轮船到达C处和D处的时间. 【学习评价】 自我评价： 老师评价： 等 级： 评 语： 10 最短路径问题 【课前导学】 1.如图，在平面直角坐标系中，点A(－2，4)， B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点 B的距离之和最小，则点P的坐标是( ) A.(－2，0) B.(4，0) C.(2，0) D.(0，0) 【课中训练】 如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的村庄，汽车从A出发向B行驶. (1)当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M、N的距离相等？ (2)当汽车行驶到哪个位置时，到M、N两村庄的距离之和最短？ (3)若M、N两村庄分别是位于公路AB的同一侧，则汽车行驶到哪个位置时，到M、N两村庄的距离之和最短？ 【课后练习】 1.如图，已知甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时，甲站在∠AOB内的点P处，乙站在OA上，丙站在OB上. 游戏规则： 甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑到终点P处.如果甲、乙、丙三人速度相同，试作图求出乙、丙必须站在何处，他们比赛所用时间最短. 2. 甲、乙、丙、丁四人做接力游戏，开始时，甲和乙分别站在∠AOB内的点P与点Q处，丙站在OA上，丁站在OB上.游戏规则：甲将接力棒传给乙，乙将接力棒传给丙，乙将接力棒传给丁，最后丁跑到终点P处.如果甲、乙、丙、丁四人速度相同，试作图求出丙、丁必须站在何处，他们比赛所用时间最短. 3.如图，已知点A(－3，1)和点B(－2，4)，在 x 轴和 y 轴上分别找出点M，N，使四边形AMNB的周长最小. 4.如图，如果A，B两地之间有两条平行的河流，现要在河上分别建一座桥，且建的桥都是与河岸垂直的. 桥建在何处才能使从A到B的路径最短？(保留作图痕迹，不写作法) 5.如图，已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数. 【学习评价】 自我评价： 老师评价： 等 级： 评 语： 11 轴对称小结与复习 考点一 轴对称及轴对称图形 例1 在下列“禁止行人通行、注意危险、禁止非机动车通行、限速20”四个交通标志图中，为轴对称图形的是( ) 针对训练 1.在等腰三角形、圆、长方形、正方形、直角三角形中，一定是轴对称图形的有( )个 A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为_____. 考点二 关于坐标轴对称的点的坐标 例2 按要求完成作图： (1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1. (2)在x轴上找出点P，使PA＋PC最小，并直接写出P点的坐标. 针对训练 3.在直角坐标系中，点P(a，2)与点A(－3，m)关于x轴对称，则a，m的值分别为( ) A.3，－2 B.－3，－2 C.3，2 D.－3，2 考点三 线段垂直平分线的性质和判定 例3 在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使得BD＝DE，已知AB＋BD＝DC. 求证：点E在线段AC的垂直平分线上. 针对训练 4.如图：△ABC中，MN是AC的垂直平分线，若CM＝5cm， △ABC的周长是22cm，则△ABN的周长是______. 考点四 等腰三角形的性质和判定 例4 如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M. 求证：M是BE的中点. 例5 等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求该等腰三角形的顶角的度数. 针对训练 5.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分 ∠ABC，DE∥BC，则图中的等腰三角形共有____个. 6.如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1，EB1分别交边AC于M、H点，若∠ADM＝50°，则∠CEH的度数为_____. 7.如图，在△ABC中，AD是角平分线，AC＝AB＋BD. 求证：∠B＝2∠C. 8.在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠DCE＝β. (1)如图①，点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明理由. (2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是________，请说明理由. (3)当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图③中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是______. 【学习评价】 自我评价： 老师评价： 等 级： 评 语： 人教版八年级上册 58 $$