1.2集合间的基本关系8题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.2 集合间的基本关系8题型分类 一、子集、真子集、集合相等的相关概念 1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA) 【思考】任何两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． 【特别提醒】 符号“∈”与“⊆”的区别：符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 二、空集 1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为. 2.规定：空集是任何集合的子集． 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： （1）空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集． 【思考】{0}与∅表示同一集合吗？ 提示：{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅. 三、集合关系的性质 1.任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. 2.对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC. 3.若A⊆B，A≠B，则AB. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 四、Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观． (2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合． （一） 集合间的关系判断 1、集合与集合之间的关系判断是通过两个集合间的元素是否相同，注意跟集合与元素之间的属于关系进行区分，通过集合的列举、描述、图示法等进行判断. 2、判断集合关系的方法. （1）观察法：一一列举观察. （2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. （3）数形结合法：利用数轴或Venn图. 提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系. 题型1：判断集合间的关系 1-1．（2024高一·江苏·假期作业）设集合，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 1-2．（2024·北京东城·二模）已知集合，，则（    ） A．⫋ B． C． D． 1-3．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 1-4．（2024高一·全国·单元测试）设集合，，则集合与的关系是 ． （二） 子集、真子集 1、求集合子集、真子集个数的3个步骤 2、子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 题型2：求集合的子集、真子集 2-1．（2024高一·江苏·课后作业）设A＝{1，2}，B＝{x|x⊆A}若用列举法表示，则集合B是 . 2-2．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）已知集合的所有非空真子集的元素之和为2023，则 . 2-3．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合的所有真子集为 ． 2-4．（2024高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集． 题型3：根据集合中的元素的个数求子集、真子集的个数 3-1．（2024·陕西咸阳·三模）设集合，则集合A的真子集个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 3-2．（2024高一上·全国·课后作业）集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 3-3．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，则集合的真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 3-4．（2024高三·全国·对口高考）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（    ） A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 3-5．（2024·河南开封·三模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 题型4：根据子集、真子集个数求参数 4-1．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是 . 4-2．（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）若集合恰有1个真子集，则的取值是（    ） A．-1 B． C． D．或 4-3．（2024·四川内江·三模）若集合有6个非空真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （三） 集合的相等与空集 1、两集合相等常见考法及解法： (1)若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形． (2)若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两集合相等． (3)证明集合A与B相等的常用思路是“证A⊆B且B⊆A”． 2、集合与集合之间的关系，元素与集合之间的关系是用不同的符号表示的，特别注意空集是不含有任何元素的集合，且规定∅⊆∅. 3、求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时，应考虑该集合为空集的特殊情况，因此本题求解的易错之处是忽视集合B为空集的特殊情况而导致漏解．本题若改为A⊆B时，则不需要考虑集合B为空集的特殊情况． 题型5：判断集合相等 5-1．（2024高一上·贵州安顺·期末）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 5-2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列集合，，，中，有一个与众不同的集合是（    ）． A． B． C． D． 5-3．（2024高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 题型6：利用集合相等求参数 6-1．（2024高一上·广东江门·期末）设，，，若P=Q，则 . 6-2．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知集合，，若，则等于（    ） A．1或2 B．或 C．2 D．1 6-3．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，．若，求实数的值； 题型7：空集及其应用 7-1．（2024高一·全国·课后作业）已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝∅，则实数m的取值范围是 . 7-2．（2024高二上·上海闵行·开学考试）不等式组的解集为，则实数的取值范围是 . 7-3．（2024高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 7-4．（2024高一上·全国·课后作业）下列集合中，结果是空集的是(    ) A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1} C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1} 7-5．（山西省朔州市平鲁区李林中学2023-2024学年高一（平行班）上学期月考一数学试题）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7-6．（2024高一·上海·专题练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 （四） 利用集合的关系求参数问题 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 题型8：利用集合的包含关系求参数问题 8-1．（2024高一下·上海宝山·期中）已知集合，且，则实数a的值是 ． 8-2．（2024高二上·广东梅州·期末）已知集合 （1）当时，求实数的值； （2）当时，求实数的取值范围. 8-3．（2024·吉林·模拟预测）已知集合，若，则实数（    ） A．或1 B．0或1 C．1 D． 8-4．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，若，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024高一上·福建福州·期中）已知集合，则下列关系中，正确的是（     ）. A． B． C． D． 2．（2024·宁夏银川·二模）下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·全国·课后作业）下列集合中为的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·云南德宏·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合，那么，若，则 5．（2024高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．（2024高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2024高一上·河南南阳·阶段练习）下列四个命题： ①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集； ③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2024·江苏南京·二模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 9．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2024·全国）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 11．（辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题）集合或，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2024高三下·北京海淀·开学考试）集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2024高一上·贵州遵义·期末）已知集合且，则集合A的子集的个数为（    ） A．15 B．16 C．31 D．32 14．（2024·山东济南·一模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（2024高一下·湖北孝感·开学考试）下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（    ） A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤ 16．（2024高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知集合，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知集合，集合.若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 18．（2024高三下·湖南岳阳·阶段练习）已知集合，且，则实数（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．0 19．（2024高一上·重庆九龙坡·阶段练习）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（    ） A． B． C． D．与互不包含 20．（2024高一上·上海杨浦·期末）设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．（2024高一上·上海徐汇·期中）设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是（    ） A．对任意a，是的子集，对任意的b，不是的子集 B．对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集 C．存在a，使得不是的真子集，对任意的b，是的子集 D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集 22．（2024·上海普陀·一模）设集合，，若⊆，则对应的实数对有 A．对 B．对 C．对 D．对 二、多选题 23．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．A 24．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为（　　） A．－3 B．－2 C．0 D．3 25．（2024高一上·四川泸州·期末）给出下列四个结论，其中正确的结论有（    ） A． B．若，则 C．集合是无限集 D．集合的子集共有4个 26．（2024·广东肇庆·三模）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若时，则或 27．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 28．（2024高一上·河北保定·期中）若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则xy，，且当 时，，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是（    ） A．整数集是“紧密集合” B．实数集是“紧密集合” C．“紧密集合”可以是有限集 D．若集合A是“紧密集合”，且x，，则 三、填空题 29．（2024高一上·湖北武汉·期末）已知集合没有非空真子集，则实数a构成的集合为 . 30．（2024高三·全国·专题练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围 ． 31．（2024高一·全国·课后作业）已知集合或，，若，则实数的取值范围是 ． 32．（2024高一上·湖南湘西·阶段练习）已知集合，，若，则实数m的取值构成的集合为___________. 33．（2024高一·全国·专题练习）已知集合M满足则集合M的个数为 ． 34．（2024高一上·河南信阳·阶段练习）已知集合有且仅有两个子集，则的取值集合为 . 35．（2024高三·全国·专题练习）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，则实数a的取值范围是 ． 36．（2024高一上·广西玉林·期中）设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是 (写成集合形式). 37．（2024·上海普陀·一模）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为 . 38．（2024高一上·江苏·专题练习）已知集合，且，则实数m的取值范围是 . 四、解答题 39．（2024高一·上海·课后作业）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 40．（2024高一上·安徽芜湖·阶段练习）若集合，，且，求实数m的值. 41．（2024高一·全国·课后作业）已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 42．（2024高一上·山西太原·阶段练习）已知集合，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 43．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数a的取值范围． 44．（2024高一上·福建·阶段练习）已知集合. (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围. 45．（2024高一·全国·课后作业）设集合，，且． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求实数的值． 46．（2024高一上·江苏苏州·开学考试）已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－<x≤2}．若B⊆A，求实数a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.2 集合间的基本关系8题型分类 一、子集、真子集、集合相等的相关概念 1、子集：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)． 2、真子集：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA) 【思考】任何两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． 【特别提醒】 符号“∈”与“⊆”的区别：符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 二、空集 1.定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为. 2.规定：空集是任何集合的子集． 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： （1）空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集． 【思考】{0}与∅表示同一集合吗？ 提示：{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅. 三、集合关系的性质 1.任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A. 2.对于集合A，B，C，①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC. 3.若A⊆B，A≠B，则AB. 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 四、Venn图的优点及其表示 (1)优点：形象直观． (2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合． （一） 集合间的关系判断 1、集合与集合之间的关系判断是通过两个集合间的元素是否相同，注意跟集合与元素之间的属于关系进行区分，通过集合的列举、描述、图示法等进行判断. 2、判断集合关系的方法. （1）观察法：一一列举观察. （2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. （3）数形结合法：利用数轴或Venn图. 提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系. 题型1：判断集合间的关系 1-1．（2024高一·江苏·假期作业）设集合，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合与集合间的关系可得出结论. 【详解】因为，，则. 故选：D. 1-2．（2024·北京东城·二模）已知集合，，则（    ） A．⫋ B． C． D． 【答案】A 【分析】用列举法写出集合A，利用集合间的基本关系判断． 【详解】，，则⫋. 故选：A. 1-3．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，，，则M、N、P的关系满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将集合M、N、P化简成统一形式，然后判断即可． 【详解】， ， ， 所以. 故选：B． 1-4．（2024高一·全国·单元测试）设集合，，则集合与的关系是 ． 【答案】 【分析】先由题意得到，由，而，即可得出结果. 【详解】因为， ， 显然，而， 所以中元素都属于，而中元素， 所以. 【点睛】本题主要考查集合包含关系的判定，熟记集合间的基本关系即可，属于常考题型. （二） 子集、真子集 1、求集合子集、真子集个数的3个步骤 2、子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 题型2：求集合的子集、真子集 2-1．（2024高一·江苏·课后作业）设A＝{1，2}，B＝{x|x⊆A}若用列举法表示，则集合B是 . 【答案】{∅，{1}，{2}，{1,2}} 【解析】由集合A及集合B中元素与A的关系知B是由A集合的子集构成的集合，应用列举法写出集合B即可. 【详解】由题意得，A＝{1,2}，B＝{x|x⊆A}， 则集合B中的元素是集合A的子集：∅，{1}，{2}，{1,2}， 所以集合B＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}， 故答案为：{∅，{1}，{2}，{1,2}}. 2-2．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）已知集合的所有非空真子集的元素之和为2023，则 . 【答案】 【分析】写出集合的非空真子集，得到，求出. 【详解】因为集合的所有非空真子集为： ， ， 所以有. 故答案为：289 2-3．（24-25高一上·上海·随堂练习）集合的所有真子集为 ． 【答案】，， 【分析】根据真子集的定义写出集合的所有真子集即可． 【详解】解：集合的所有真子集为：，，， 故答案为：，，． 2-4．（2024高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集． 【答案】，，，． 【分析】解集合A中的方程，得到集合A，由子集的定义写出所有子集. 【详解】当时，， 集合A的所有子集有，，，． 题型3：根据集合中的元素的个数求子集、真子集的个数 3-1．（2024·陕西咸阳·三模）设集合，则集合A的真子集个数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】由题意列举出集合中的元素，再用真子集个数公式（为集合中元素个数）计算即可． 【详解】因为， 所以， 所以集合A的真子集个数是， 故选：B． 3-2．（2024高一上·全国·课后作业）集合，则的子集的个数为（    ） A．4 B．8 C．15 D．16 【答案】D 【分析】先求出，再找出中6的正约数，可确定集合，进而得到答案． 【详解】集合，, ， 故有个子集. 故选：D． 3-3．（2024高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，则集合的真子集个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】先求出集合中包含的元素个数，再求真子集个数. 【详解】集合， 所以集合的真子集个数为：. 故选：B. 3-4．（2024高三·全国·对口高考）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（    ） A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 【答案】C 【分析】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可. 【详解】由，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素， 依次有以下可能：七种可能. 故选：C 3-5．（2024·河南开封·三模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据题意得到集合，然后根据集合中元素的个数求集合的真子集个数即可. 【详解】由题意得，所以集合的真子集个数为. 故选：C. 题型4：根据子集、真子集个数求参数 4-1．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是 . 【答案】/0.5 【分析】根据的子集个数，得到元素个数，分和讨论，进而得到实数m的取值范围. 【详解】由有4个子集，所以中有2个元素， 所以，所以 ， 所以满足，或， 综上，实数的取值范围为，或， 故答案为： 4-2．（2024高一上·江苏镇江·阶段练习）若集合恰有1个真子集，则的取值是（    ） A．-1 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得集合有且只有一个元素，然后分与讨论，即可得到结果. 【详解】因为集合恰有1个真子集，则集合有且只有一个元素， 当时，即，则，符合题意； 当时，即，则关于的方程只有一个实数解， 则，解得； 综上所述，或. 故选：D 4-3．（2024·四川内江·三模）若集合有6个非空真子集，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出集合中元素，再列出不等式求解即得. 【详解】由集合有6个非空真子集，得集合中有3个元素，为， 因此，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A （三） 集合的相等与空集 1、两集合相等常见考法及解法： (1)若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形． (2)若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两集合相等． (3)证明集合A与B相等的常用思路是“证A⊆B且B⊆A”． 2、集合与集合之间的关系，元素与集合之间的关系是用不同的符号表示的，特别注意空集是不含有任何元素的集合，且规定∅⊆∅. 3、求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时，应考虑该集合为空集的特殊情况，因此本题求解的易错之处是忽视集合B为空集的特殊情况而导致漏解．本题若改为A⊆B时，则不需要考虑集合B为空集的特殊情况． 题型5：判断集合相等 5-1．（2024高一上·贵州安顺·期末）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合元素的性质及集合相等定义判断即可. 【详解】对AD，两集合的元素类型不一致，则，AD错； 对B，由集合元素的无序性可知，，B对； 对C，两集合的唯一元素不相等，则，C错； 故选：B 5-2．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列集合，，，中，有一个与众不同的集合是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程求出各集合，即可得出结论. 【详解】易知，，， 只有B表示，其它A、C、D均表示，B与众不同． 故选：B 5-3．（2024高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由集合的定义，依次对集合判断，从而确定集合是否相等即可. 【详解】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合； B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合； C选项，与都表示直线上的所有点，故是同一集合； D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合； 故选：C. 题型6：利用集合相等求参数 6-1．（2024高一上·广东江门·期末）设，，，若P=Q，则 . 【答案】-2 【分析】由集合相等的定义，计算集合内的元素. 【详解】，，若P=Q，则有，. 故答案为：-2. 6-2．（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知集合，，若，则等于（    ） A．1或2 B．或 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据两个集合相等的知识列方程，结合集合元素的互异性求得的值. 【详解】解：因为，所以，解得或. 当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确. 经检验可知符合. 故选：C 【点睛】本小题主要考查集合相等的知识，考查集合元素的互异性，是基础题. 6-3．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，．若，求实数的值； 【答案】 【分析】由一元二次不等式的解法与集合相等的概念求解， 【详解】由已知得 ， 解得； 题型7：空集及其应用 7-1．（2024高一·全国·课后作业）已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝∅，则实数m的取值范围是 . 【答案】m≥1 【详解】∵M＝∅，∴2m≥m＋1，∴m≥1. 故答案为m≥1 7-2．（2024高二上·上海闵行·开学考试）不等式组的解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分两种情况讨论，分别检验是否满足条件，从而得出结论． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ①当时，由求得；由，求得，故不等式组的解集为，故不满足条件； ②当时，由求得；由，求得， 若，即时，不等式组的解集为，满足条件； 若，即时，不等式组的解集为，不满足条件， 综上可得实数的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查不等式组的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 7-3．（2024高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解. 【详解】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 7-4．（2024高一上·全国·课后作业）下列集合中，结果是空集的是(    ) A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1} C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1} 【答案】D 【分析】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断. 【详解】A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集； C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数， 即：{x|x>6且x<1}=. 故选：D 7-5．（山西省朔州市平鲁区李林中学2023-2024学年高一（平行班）上学期月考一数学试题）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误. 【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误； ②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确； ③空集是任意集合的子集，故，正确； ④空集没有任何元素，故，错误； ⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误； ⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误； ∴②③正确. 故选：B. 7-6．（2024高一·上海·专题练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】利用集合相等的概念可判定①，③，④；利用集合之间的包含关系可判定②，⑤，利用元素与集合的关系可判定⑥. 【详解】①正确，集合中元素具有无序性； ②正确，任何集合是自身的子集； ③错误，表示空集，而表示的是含这个元素的集合，所以不成立. ④错误，表示空集，而表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以不成立； ⑤正确，空集是任何非空集合的真子集； ⑥正确，由元素与集合的关系知，． 故选：C. （四） 利用集合的关系求参数问题 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 题型8：利用集合的包含关系求参数问题 8-1．（2024高一下·上海宝山·期中）已知集合，且，则实数a的值是 ． 【答案】-3 【分析】根据得出是方程的解，将代入方程中进行计算，即可得出结果. 【详解】因为，，， 所以是方程的解， 即，解得. 经检验，符合题意，所以. 故答案为：. 8-2．（2024高二上·广东梅州·期末）已知集合 （1）当时，求实数的值； （2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【详解】分析：利用一元二次不等式的解法，化简集合化简集合（1）利用集合相等的定义可得结果；（2）利用子集的定义可得结果. 详解：由，可得， 所以 由可得， 集合 （1）因为，所以； （2）因为，所以， 即实数的范围是. 点睛：本题主要考查集合相等与集合子集的定义，意在考查对基本概念掌握与理解的熟练程度. 8-3．（2024·吉林·模拟预测）已知集合，若，则实数（    ） A．或1 B．0或1 C．1 D． 【答案】B 【分析】先求得合，再分和，两种情况讨论，结合题意，即可求解. 【详解】解：由集合， 对于方程， 当时，此时方程无解，可得集合，满足； 当时，解得，要使得，则满足，可得， 所以实数的值为或. 故选：B. 8-4．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，若，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程解的情况，结合子集关系，即可分类讨论求解. 【详解】由于，故时，则且， 若中只有一个元素， ①中的方程为一元二次方程，则，此时,不合题意，舍去； ②中的方程为一元一次方程，则，则，则，此时不符合，舍去， 当时，则符合题意， 综上可知：或， 故选：D. 一、单选题 1．（2024高一上·福建福州·期中）已知集合，则下列关系中，正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意写出集合中的具体元素，然后利用元素与集合、集合与集合之间的关系逐项进行验证即可求解. 【详解】因为集合， 对于A，因为，故选项A错误； 对于B，是一个集合，且，故选项B错误； 对于C，因为集合，所以集合与集合不存在包含关系，故选项C错误； 对于D，因为集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故选项D正确， 故选：D. 2．（2024·宁夏银川·二模）下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于A：集合为点集，含有元素，集合含有两个元素，， 所以不包含于，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以，故D正确； 故选：A 3．（2024高一上·全国·课后作业）下列集合中为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意； 对于D中，不等式，解得，，不符合题意. 故选：C. 4．（2024高一上·云南德宏·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合，那么，若，则 【答案】D 【解析】根据集合的相关概念，逐项判断，即可得出结果 【详解】A选项，空集是其本身的子集，A错； B选项，空集是任一非空集合的真子集，B错； C选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C错； D选项，若，则中元素都在中，中没有的元素，则中也没有；故D正确. 故选：D. 5．（2024高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据空集的性质判断即可. 【详解】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错. 故选：A. 6．（2024高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【详解】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 7．（2024高一上·河南南阳·阶段练习）下列四个命题： ①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集； ③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集． 其中正确命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据空集的定义和性质判断即可. 【详解】因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0. 答案：A. 8．（2024·江苏南京·二模）集合的子集个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】确定，再计算子集个数得到答案. 【详解】，故子集个数为. 故选：B 9．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）已知集合满足，那么这样的集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，利用列举法计数即可. 【详解】∵，∴要确定集合M,只需确定1和4是否放置在其中， 共有4种情况，， 故选：D 10．（2024·全国）设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 11．（辽宁省朝阳市建平县实验中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题）集合或，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围． 【详解】， ①当时，即无解，此时，满足题意． ②当时，即有解， 当时，可得， 要使，则需要，解得． 当时，可得， 要使，则需要，解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 12．（2024高三下·北京海淀·开学考试）集合或，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、和三种情况讨论，分别求出集合，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围. 【详解】因为或，， 当时，此时，符合题意； 当时， 若则，因为， 所以，解得，又，所以， 若则，因为， 所以，解得，又，所以， 综上可得，即实数的取值范围是. 故选：C 13．（2024高一上·贵州遵义·期末）已知集合且，则集合A的子集的个数为（    ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】D 【分析】先求出集合中元素的个数，再利用含有个元素的集合的子集个数为，即可求出结果. 【详解】因为且，可知，集合中含有5个元素，所以集合的子集个数为. 故选：D. 14．（2024·山东济南·一模）已知集合，，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据定义域求出，由得到a的取值范围. 【详解】由题意得，解得，故， 因为，所以. 故选：A 15．（2024高一下·湖北孝感·开学考试）下面五个式子中：①；②；③；④；⑤，正确的有（    ） A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤ 【答案】C 【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐一判断即可. 【详解】解：①中，是集合中的一个元素，，所以①错误； ②中，空集是任一集合的子集，所以②正确； ③中，是的子集，，所以③错误； ④中，任何集合是其本身的子集，所以④正确； ⑤中，是的元素，所以⑤正确. 故选：C. 16．（2024高一上·安徽阜阳·阶段练习）已知集合，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合间的包含关系，结合数轴法即可得解. 【详解】因为，， 所以由数轴法可知. 故选：C． 17．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知集合，集合.若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据是的子集列方程，由此求得的取值集合. 【详解】由于，所以， 所以实数m的取值集合为. 故选：C 18．（2024高三下·湖南岳阳·阶段练习）已知集合，且，则实数（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．0 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系可得：，解之即可求解. 【详解】因为集合，且， 所以，且，则，解得：， 故选：. 19．（2024高一上·重庆九龙坡·阶段练习）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（    ） A． B． C． D．与互不包含 【答案】C 【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系. 【详解】对于集合，当时，，当时，，所以. 故选：C. 20．（2024高一上·上海杨浦·期末）设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解绝对值不等式得到集合，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解. 【详解】集合， 或 又，所以或 即或，即 所以的取值范围为 故选：D 21．（2024高一上·上海徐汇·期中）设集合，，，，其中a，，下列说法正确的是（    ） A．对任意a，是的子集，对任意的b，不是的子集 B．对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集 C．存在a，使得不是的真子集，对任意的b，是的子集 D．存在a，使得不是的子集，存在b，使得是的子集 【答案】B 【分析】结合参数取值情况，根据集合间元素的关系确定子集关系是否成立，即可判断. 【详解】解：对于集合， 可得当，即，可得，即有，可得对任意a，是的子集； 当时，，，可得是的子集； 当时，，且，可得不是的子集； 综上有，对任意a，是的子集，存在b，使得是的子集. 故选：B. 22．（2024·上海普陀·一模）设集合，，若⊆，则对应的实数对有 A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】D 【解析】先解出，再讨论包含关系（注意集合元素互异性），解出数对． 【详解】解：因为集合， 所以，， 因为，，，， 所以，或，或， ①当时，即，，，此时可知，，，成立，即，； ②当时，即，，，此时可知，，，成立，即，； ③当时，则或 当时，即，，，此时可知，，，成立，即，； 当时，即，，，此时可知，，，成立，即，； 综上所述：，，或，，或，，或，，共4对． 故选：． 【点睛】本题考查集合关系，综合集合元素互异性，属于基础题． 二、多选题 23．（2024高一·全国·专题练习）已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D．A 【答案】CD 【分析】根据已知集合判断两个集合间关系判断选项即可. 【详解】因为集合，所以根据子集及真子集的定义可知A . 故选：CD. 24．（2024高三·全国·专题练习）已知集合A＝，B＝{x|ax＋1＝0}，且B⊆A，则实数a的取值可能为（　　） A．－3 B．－2 C．0 D．3 【答案】BCD 【分析】由题得B＝，，，，再分四种情况讨论得解. 【详解】由题知B⊆A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝. 所以B＝，，，. 当 B＝时，此种情况不可能，所以舍去； 当B＝时，，解得a＝3； 当B＝时，，解得a＝－2； 当B＝时，a＝0. 综上可得实数a的可能取值为3，0，－2. 故选：BCD. 25．（2024高一上·四川泸州·期末）给出下列四个结论，其中正确的结论有（    ） A． B．若，则 C．集合是无限集 D．集合的子集共有4个 【答案】BCD 【分析】根据已知条件，结合空集、子集的定义，以及，的含义，即可求解． 【详解】对于A：是指不含任何元素的集合，故A错误； 对于B：若，则，故B正确； 对于C：有理数有无数个，则集合是无限集，故C正确； 对于D：集合元素个数为2个， 故集合的子集共有个，故D正确． 故选：BCD． 26．（2024·广东肇庆·三模）已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若时，则或 【答案】ABC 【分析】求出集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念求解判断． 【详解】，若，则，且，故A正确. 时，，故D不正确. 若，则且，解得，故B正确. 当时，，解得或，故C正确. 故选：ABC． 27．（2024高一上·福建泉州·阶段练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】BCD 【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值. 【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素， 当时，，所以，所以，满足要求； 当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求， 故选：BCD. 28．（2024高一上·河北保定·期中）若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若，则xy，，且当 时，，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是（    ） A．整数集是“紧密集合” B．实数集是“紧密集合” C．“紧密集合”可以是有限集 D．若集合A是“紧密集合”，且x，，则 【答案】BC 【解析】根据“紧密集合”具有的性质逐一排除即可. 【详解】A选项：若，，而，故整数集不是“紧密集合”，A错误； B选项：根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确； C选项：集合是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确； D选项：集合是“紧密集合”，当，时，，D错误． 故选：BC. 【点睛】新定义题目的关键在于正确理解定义，从题意入手. 三、填空题 29．（2024高一上·湖北武汉·期末）已知集合没有非空真子集，则实数a构成的集合为 . 【答案】 【分析】根据题意可得集合中元素的个数为1或0个，再分情况讨论即可，注意这种情况. 【详解】解：因为集合没有非空真子集， 所以集合中元素的个数为1或0个， 当集合中元素的个数为1个时， 若，则有，解得，符合题意， 若，则有，解得， 当集合中元素的个数为0个时， 则，解得， 综上或， 即实数a构成的集合为. 故答案为：. 30．（2024高三·全国·专题练习）已知集合或，，若，则实数的取值范围 ． 【答案】或 【分析】根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围. 【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示， 或 要使，只需或，解得或． 所以实数的取值范围或. 故答案为：或 31．（2024高一·全国·课后作业）已知集合或，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，结合得出关于实数的不等式组，解出即可得出实数的取值范围. 【详解】当时，，即，满足要求； 当时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或， 解得或．    综上，实数的取值范围为或. 故答案为或. 【点睛】本题考查利用集合包含关系求参数，解题时要对含参数的集合分空集和非空集合两种情况讨论，结合包含关系列不等式（组）进行求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 32．（2024高一上·湖南湘西·阶段练习）已知集合，，若，则实数m的取值构成的集合为___________. 【答案】 【分析】先化简集合M，然后再根据N⊆M，求出m的值，即可求解． 【详解】∵集合， ∴集合， ∵，， ∴，或，或三种情况， 当时，可得； 当时，∵，∴，∴； 当，，∴； ∴实数m的取值构成的集合为， 故答案为： 33．（2024高一·全国·专题练习）已知集合M满足则集合M的个数为 ． 【答案】7 【分析】直接根据集合的关系列举出集合即可得结果. 【详解】因为， 所以可以为：，，，，，， 共计7个， 故答案为：7. 34．（2024高一上·河南信阳·阶段练习）已知集合有且仅有两个子集，则的取值集合为 . 【答案】 【分析】根据题意集合A有一个元素，考虑和两种情况，计算得到答案即可. 【详解】由题意，集合有且仅有两个子集，则集合只有一个元素， 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得或， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意. 综上所述，的取值集合为. 故答案为：. 35．（2024高三·全国·专题练习）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】a<－4或a>2 【分析】按集合A为空集和不是空集两种情况去讨论即可求得实数a的取值范围. 【详解】①当a>3即2a>a＋3时，A＝，满足；. ②当a3即2aa＋3时，若， 则有，解得a<－4或2<a≤3 综上，实数a的取值范围是a<－4或a>2. 故答案为：a<－4或a>2 36．（2024高一上·广西玉林·期中）设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是 (写成集合形式). 【答案】 【分析】由知，集合B为A的非空子集或空集，列出满足的包含关系，求得k的范围. 【详解】由知，集合B为A的非空子集或空集， 即或， 解得或 故答案为： 37．（2024·上海普陀·一模）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为 . 【答案】 【分析】对集合中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合的个数，综合可得结果. 【详解】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种， 若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况， 若集合中只含个偶数，共种情况； 若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况； 若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况. 因为是的偶子集，分以下几种情况讨论： 若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为； 若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种； 若集合中的元素是个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种； 若集合中的元素为个奇数个偶数，共种. 综上所述，满足条件的集合的个数为. 故答案为：. 38．（2024高一上·江苏·专题练习）已知集合，且，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】分B为空集和不是空集两种情况，根据集合建的包含关系得到不等式（组）求解. 【详解】解：分两种情况考虑： ①若B不为空集，可得：， 解得：， ， 且， 解得：，所以, ②若B为空集，符合题意，可得：， 解得：. 综上，实数m的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 39．（2024高一·上海·课后作业）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 40．（2024高一上·安徽芜湖·阶段练习）若集合，，且，求实数m的值. 【答案】或或 【分析】分和两种情况讨论，结合已知即可得解. 【详解】， 当时，， 当时，， 因为，所以或， 所以或， 综上所述，或或. 41．（2024高一·全国·课后作业）已知集合． (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题意，由，分类讨论当和两种情况，解不等式即可得出实数的取值范围； （2）根据题意，由，得出，解不等式即可求实数的取值范围． 【详解】（1）解：由题可知，，， ①若，则，即； ②若，则，解得：； 综合①②，得实数的取值范围是． （2）解：已知，，， 则，解得：， 所以实数的取值范围是． 42．（2024高一上·山西太原·阶段练习）已知集合，. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）由题，集合最多两个元素，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，即可求解； （2）分类讨论：为空集，单元素集合，两个元素的集合三种情况分别求解即可. 【详解】（1）由题集合最多两个元素，，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，，即，由根与系数的关系，，解得：； （2）由题，中最多两个元素，对于方程 当集合时： ，即时，方程无解，，符合题意； 当集合中只有一个元素时： ，即时，方程的解为，，符合题意； 当中有两个元素时： ，即时，方程有两个不同实根，集合有两个元素， 此时则，所以集合中的方程两根为，由根与系数的关系，，解得：； 综上所述：或. 【点睛】此题考查通过集合的包含关系求参数的取值，集合是方程的解集，在进行分类讨论时应以集合中元素个数为分类标准方可做到不重不漏. 43．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数a的取值范围． 【答案】或 【分析】根据题意分和讨论，在时分集合为单元素集和双元素集两种讨论即可. 【详解】由题意知，若，则，解得， 若， ，解得或， 当时，则方程为，解得，此时，不合题意，舍去， 当时，则方程为，解得，，不合题意，舍去， 当，即，解得或，则由题意知， 则1,4为方程两根，根据韦达定理得， 综上所述的范围是或. 44．（2024高一上·福建·阶段练习）已知集合. (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)分为空集和不为空集两种情况分别求解，最后再求并集即可； (2)，则是的子集，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）①若，则，即，此时； ②若，则，解得. 综合①②，得实数的取值范围是. （2）（2）若，则，解得， 所以实数的取值范围是. 45．（2024高一·全国·课后作业）设集合，，且． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求实数的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先化简集合，再利用集合交集的定义求解即可； （2）利用集合交集的定义结合集合元素的互异性求解即可. 【详解】（1）由解得，所以， 因为，所以是集合中元素， 所以将代入得，解得，. （2）因为，由（1）得是集合中元素， 当即时，此时符合题意； 当时，①，此时符合题意； ②，此时不满足集合元素的互异性，舍去； 综上或. 46．（2024高一上·江苏苏州·开学考试）已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－<x≤2}．若B⊆A，求实数a的取值范围． 【答案】实数a的取值范围. 【分析】对a是否为零进行讨论，分别满足B⊆A列关系，即解得参数范围. 【详解】解：时，A＝R，B＝{x|－<x≤2}，满足B⊆A，符合题意； 时，，因为B⊆A，所以，解得， 时，，因为B⊆A，所以，解得， 故综上可知，实数a的取值范围为. 【点睛】本题考查了集合之间的子集关系，属于中档题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$