1.1集合的概念7题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.1集合的概念7题型分类 知识点1 元素与集合的概念 1.元素与集合的概念 (1)一般地，我们把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性. ①确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． ②互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． ③无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． (3)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 知识点2 元素与集合的关系 1.元素与集合的关系　 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合 的关系 属于 如果 是集合A中的元素，就说a属于A a∈A “a属于A” 不属于 如果不是集合A中的元素，就说a不属于A aA “a不属于A” 2.元素与集合的关系只能是属于或不属于，有且仅有一种情况成立. 知识点3 常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 知识点4 集合的表示方法 1列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}. 注：列举法表示的集合的结构： 2.描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}. 注：描述法表示的集合的结构： （一） 1、集合概念的理解 (1)含义:集合是一个原始的不加定义的数学术语，像初中学过的点、直线一样，只能描述性说明. (2)对象:集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的听到的、触摸到的想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. (3)整体:集合是一个整体，即暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 2、判断一组对象是否为集合的三依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关． 题型1：判断对象是否能构成集合 1-1．（2024高一上·贵州铜仁·阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有 （填序号）． ①所有的好人； ②平面上到原点的距离等于2的点； ③正三角形； ④比较小的正整数； ⑤满足不等式的的取值． 1-2．（2024高一下·云南·阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（    ） A．与非常接近的全体实数 B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高一年级很有才华的老师 1-3．（2024高一·全国·课后作业）下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 （二） 1、集合中的元素的性质及应用 元素与集合的关系有属于与不属于两种:元素a属于集合A,记作a∈A,读作“a属于集合A";元素a不属于集合A.记作a∉A,读作“a不属于集合A". (1)a∈A与aA取决于a是不是集合A中的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何a与A.在a∈A与aA这两种情况中必有一种且只有一种成立. (2)符号“∈”，“在”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点千万要记准. (3)a与{a}的区别和联系:a表示一个元素,{a}表示一个集合，该集合只有一个元素a;它们之间的联系为. 2、元素与集合关系的判断 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 3、 根据元素与集合的关系求参数 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤 题型2：元素与集合关系的判断 2-1．（2024高一上·湖南株洲·阶段练习）已知集合A=｛0，1，2｝，则（    ） A．0A B．1 C．2=A D．A 2-2．（西藏林芝市第二高级中学2023-2024学年高一上学期第一学段考试（期中）数学试题）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 2-3．（河北专版学业水平测试专题一集合与常用逻辑用语）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型3：根据元素与集合的关系求参数 3-1．（2024高一上·上海虹口·期中）集合中所有元素之和为，则实数 ． 3-2．（2024高一上·四川泸州·期末）已知，则a的值为 ． 3-3．（2024·河南·模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4：利用集合元素的互异性求参数 4-1．（2024·北京海淀·模拟预测）设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 4-2．（2024·北京海淀·模拟预测）设集合，若，则的值为（    ）． A．，2 B． C．，，2 D．，2 4-3．（2024高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合中的元素1，4，，且实数满足，求实数的值. 4-4．（2024高三·全国·专题练习）已知，若，则实数构成的集合的元素个数是（    ） A． B． C． D． 4-5．（2024高一上·山东聊城·期中）若，则的可能取值有（    ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 4-6．（2024高一上·四川自贡·期末）若，则的值为（    ） A． B． C．或 D． （三） 用列举法表示集合 1.列举法表示的集合的种类 (1)元素个数少且有限时.全部列举:如1,2,3,4; (2)元素个数多且有限时，可以列举部分,中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为1,2,3,...,1 000} ; (3)元素个数无限但有规律时，可类似于(2),如自然数集N可以表示为10,1,2,3.... 2.使用列举法表示集合时需注意 (1)元素之间用“,”而不用“、"隔开; (2)元素不重复，满足元素的互异性; (3)元素无顺序，满足元素的无序性; (4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法.但是必须把元索间的规律表述清楚后才能用省略号. 注意（1）用列举法表示集合，要注意是数集还是点集. （2）列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示一目了然. 题型5：用列举法表示集合 5-1．（2024高一·全国·专题练习）方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 5-2．（2024高一上·北京海淀·期中）已知集合，，用列举法表示集合 ． 5-3．（2024高一上·四川·阶段练习）设集合，则用列举法表示集合A为 . 5-4．（2024高一·全国·课后作业）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． （四） 用描述法表示集合 1.描述法的一般形式是,其中“x”是集合中元素的代表形式.例如用描述法表示方程的实数根为.如果从上下文的关系来看,是明确的，那么也可省略，只写其元素x.例如集合也可表示为. 2.描述法表示集合的条件 对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法. 3.使用描述法时应注意以下几点 (1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等; (2)说明该集合中元素的共同属性; (3)不能出现未被说明的字母; (4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确. 注：(1)用描述法表示集合时，一定要体现描述法的形式，不要漏写集合的代表元素及元素所具有的性质,且用“|”隔开. (2)当描述部分出现集合的代表元素以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围. 题型6：用描述法表示集合 6-1．（2024高一上·全国·课后作业）用适当的方法表示下列集合： （1）大于2且小于5的有理数组成的集合． （2）24的正因数组成的集合． （3）自然数的平方组成的集合． （4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合． 6-2．（2024高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： （1）被3除余1的正整数的集合． （2）坐标平面内第一象限内的点的集合． （3）大于4的所有偶数． 6-3．（2024高一·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合: （1）被5除余1的正整数组成的集合； （2）由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； （3）方程(x2－9)x＝0的实数解组成的集合； （4）三角形的全体组成的集合. 6-4．（2024高一上·陕西安康·阶段练习）表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． （五） 集合表示法的综合应用 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． (2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如等价转化思想和分类讨论的思想． 题型7：根据集合元素的个数求参数 7-1．（2024高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 7-2．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，其中为常数，且.若中至多有一个元素，则实数的取值范围为 . 一、单选题 1．（2024高一·全国·课后作业）方程组的解集可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·河南焦作·阶段练习）已知集合，且，则取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·四川成都·阶段练习）已知其，则由的值构成的集合是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高一上·北京·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．-1 B．-3 C．-3或-1 D．无解 5．（2024高一上·浙江·课后作业）下面四个命题正确的个数是（    ）. ①集合中最小的数是1； ②若，则； ③若，则的最小值是2； ④的解集是. A．0 B．1 C．2 D．3 6．（2024高一·全国·单元测试）若关于的方程的解集为单元素集合，则（    ） A． B． C．或 D．且 7．（2024高一上·湖北·期末）已知集合，则C集合中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2024高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合M=且，则M等于（    ） A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{，2，3，4} 9．（2024高一上·广东茂名·期中）若，则a =（    ） A．2 B．1或－1 C．1 D．－1 10．（2024高一·全国·假期作业）方程x2＝x的所有实数根组成的集合为 A． B． C． D． 11．（2024高三上·安徽芜湖·期末）集合中的元素个数是（    ） A．0 B．4 C．5 D．6 12．（2024高一·全国·课后作业）设有下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．（2024高二下·浙江宁波·学业考试）已知集合， 若， 则 （    ） A．3 B．4 C． D． 14．（2024高三下·河南新乡·开学考试）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（    ） A． B． C． D． 15．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，且，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 16．（2024高一上·广东江门·期中）已知集合,那么（    ） A． B． C． D． 17．（2024高一上·海南·期中）下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（2024·辽宁·模拟预测）设集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 19．（2024高一上·云南西双版纳·期末）若不等式3-2x<0的解集为M,则下列结论正确的是    (　　) A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈M C．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M 20．（2024·贵州黔东南·三模）已知集合下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（2024高一上·浙江·课后作业）下列四组对象中能构成集合的是（　　） A．宜春市第一中学高一学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 22．（陕西省榆林市府谷中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．上课迟到的学生 B．2022年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于x的正整数 23．（2024高一上·全国·课后作业）下列集合中，不同于另外三个集合的是（    ） A． B． C． D． 24．（2024高一·全国·课后作业）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．不存在 25．（2024高一·全国·课后作业）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 26．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．方程的解集是 B．方程的解集为{(-2，3)} C．集合M={y|y=x2+1，x∈R}与集合P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一个集合 D．方程组的解集是{(x，y)|x=-1且y=2} 27．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D．28．（2024高一·全国·课后作业）下列语句中，正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程的解能构成集合. A．2 B．3 C．4 D．5 29．（2024·湖南岳阳·一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 30．（2024高三·山西·阶段练习）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是（    ） A．N B．Z C．Q D． 31．（2024·全国）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．9 B．8 C．5 D．4 32．（2024高一·全国·课前预习）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（    ） A．{1} B．{1，2} C．{2，5} D．{1，5} 33．（2024高一下·广西·阶段练习）若集合中只有一个元素，则　　 A． B． C．0 D．0或 34．（2024高一·全国·专题练习）由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 35．（2024高一·全国·课后作业）集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 36．（2024高一上·河北邯郸·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 37．（2024高一上·北京海淀·阶段练习）若，则a2020+b2020的值为（    ） A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1 38．（2024高一上·重庆北碚·期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 39．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）下列关系中，正确的个数为（    ） ①②③④⑤ A．5 B．4 C．3 D．2 40．（江西省五市九校协作体2023届高三第二次联考数学（文）试题）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 41．（2024高一上·山西运城·阶段练习）集合，用列举法表示为（    ） A．1 B．2 C． D． 42．（江苏省南京市栖霞区南京师范大学附属实验学校2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 43．（2024高一上·上海浦东新·期末）设是有理数，集合，在下列集合中； （1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 44．（2024高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 45．（2024高一上·上海黄浦·阶段练习）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ） A． B．或 C． D． 二、多选题 46．（2024高一上·福建莆田·阶段练习）下列说法中不正确的是（    ） A．与表示同一个集合 B．集合＝与＝表示同一个集合 C．方程＝的所有解的集合可表示为 D．集合不能用列举法表示 47．（2024高一上·广东佛山·期中）下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 48．（2024高一上·广西百色·阶段练习）已知集合，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 49．（2024高一上·江苏常州·期中）已知集合，则下列说法中正确的是（    ） A．但 B．若，其中，则 C．若，其中，则 D．若，其中，则 50．（2024高一上·江苏镇江·开学考试）已知，且，，，则取值可能为（    ） A． B． C． D． 51．（2024高一上·甘肃庆阳·期中）已知集合，则有（　　） A． B． C． D． 52．（2024高一下·湖南邵阳·开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 53．（2024高一上·辽宁大连·阶段练习）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 54．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则实数 ． 55．（2024高一上·江苏淮安·期中）集合，且，则实数m= . 56．（2024高一上·全国·课后作业）已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，其中正确的个数为 . 57．（2024高一上·广东汕头·期中）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k] ={4n + k ︱n ∈Z} ，k =0，1，2，3.给出下列四个论①2025∈[1] ；②2025∈[1] ； ③若a∈[1]，b∈[2]，则3a+b∈[3] ；④若a∈[1]，b∈[3]，则a3b∈[0].其中正确的结论是 . 58．（2024高一上·全国·专题练习）集合的元素个数为 ． 59．（2023-2024学年河北成安一中高一上月考一数学试卷（带解析））已知集合，则的值为 ． 60．（2.1.2集合间的基本关系（分层练习）-2022年初升高数学无忧衔接）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 61．（2024高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 62．（2024高一上·吉林·期末）设，，，若，则 ． 63．（2024高一上·天津东丽·期中）若集合，且，则实数 . 四、解答题 64．（2024高一·江苏·课后作业）用适当方法表示下列集合： （1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合； （2）方程+|y﹣2|＝0的解集； （3）由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合. 65．（2024高一·全国·专题练习）把下列集合用适当方法表示出来： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 66．（2024高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围. 67．（2024高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合： (1)； (2)； (3). 68．（2024高一上·上海·课后作业）已知集合为小于6的正整数}，为小于10的素数}，集合为24和36的正公因数}． （1）试用列举法表示集合且； （2）试用列举法表示集合且． 69．（2024高一上·湖南岳阳·阶段练习）已知集合，其中. （1）1是中的一个元素，用列举法表示A； （2）若中至多有一个元素，试求a的取值范围. 70．（2024高一·全国·课后作业）定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明． 71．（2024高一·全国·课后作业）（1）如果集合，，证明：． （2）如果集合，整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由． 注：x的取值不唯一．） 72．（2024高一上·上海虹口·阶段练习）设关于的不等式的解集为 . (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 73．（2024高一上·上海奉贤·阶段练习）已知集合. （1）若中只有一个元素，求及； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围. 74．（2024高一·全国·课后作业）已知集合. （1）若中有两个元素，求实数的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 1.1集合的概念7题型分类 知识点1 元素与集合的概念 1.元素与集合的概念 (1)一般地，我们把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． (2)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性. ①确定性 给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． ②互异性 一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． ③无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． (3)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的. 知识点2 元素与集合的关系 1.元素与集合的关系　 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合 的关系 属于 如果 是集合A中的元素，就说a属于A a∈A “a属于A” 不属于 如果不是集合A中的元素，就说a不属于A aA “a不属于A” 2.元素与集合的关系只能是属于或不属于，有且仅有一种情况成立. 知识点3 常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 知识点4 集合的表示方法 1列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法，一般可将集合表示为{a，b，c，…}. 注：列举法表示的集合的结构： 2.描述法 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}. 注：描述法表示的集合的结构： （一） 1、集合概念的理解 (1)含义:集合是一个原始的不加定义的数学术语，像初中学过的点、直线一样，只能描述性说明. (2)对象:集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的听到的、触摸到的想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. (3)整体:集合是一个整体，即暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象. 2、判断一组对象是否为集合的三依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关． 题型1：判断对象是否能构成集合 1-1．（2024高一上·贵州铜仁·阶段练习）下列各组对象中，能组成集合的有 （填序号）． ①所有的好人； ②平面上到原点的距离等于2的点； ③正三角形； ④比较小的正整数； ⑤满足不等式的的取值． 【答案】②③⑤ 【分析】根据集合元素的确定性即可得到答案. 【详解】①中“好人”，④中“比较小”不满足构成集合元素的确定性，而②③⑤满足集合元素的性质，故②③⑤正确， 故答案为：②③⑤. 1-2．（2024高一下·云南·阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（    ） A．与非常接近的全体实数 B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．高一年级很有才华的老师 【答案】B 【分析】由集合中元素的性质可直接得到结果. 【详解】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误； B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确. 故选：B. 1-3．（2024高一·全国·课后作业）下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案. 【详解】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合. 故选：C. （二） 1、集合中的元素的性质及应用 元素与集合的关系有属于与不属于两种:元素a属于集合A,记作a∈A,读作“a属于集合A";元素a不属于集合A.记作a∉A,读作“a不属于集合A". (1)a∈A与aA取决于a是不是集合A中的元素，根据集合中元素的确定性，可知对任何a与A.在a∈A与aA这两种情况中必有一种且只有一种成立. (2)符号“∈”，“在”是表示元素与集合之间的关系的，不能用来表示集合与集合之间的关系，这一点千万要记准. (3)a与{a}的区别和联系:a表示一个元素,{a}表示一个集合，该集合只有一个元素a;它们之间的联系为. 2、元素与集合关系的判断 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 3、 根据元素与集合的关系求参数 由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤 题型2：元素与集合关系的判断 2-1．（2024高一上·湖南株洲·阶段练习）已知集合A=｛0，1，2｝，则（    ） A．0A B．1 C．2=A D．A 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系进行判断即可 【详解】已知， 所以，，，而是任何集合的子集. 故选：A 2-2．（西藏林芝市第二高级中学2023-2024学年高一上学期第一学段考试（期中）数学试题）给出下列6个关系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据数的分类一一判断即可. 【详解】为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 是无理数，所以，所以②错误； 不是正整数，所以，所以③正确； ，所以④正确； 是无理数，所以，所以⑤正确； ，所以⑥错误. 故选:A. 2-3．（河北专版学业水平测试专题一集合与常用逻辑用语）给出下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】结合数的分类判断即可. 【详解】是有理数，是无理数，均为实数，①正确，②错误； ，为自然数及有理数，③④正确. 故选：C. 题型3：根据元素与集合的关系求参数 3-1．（2024高一上·上海虹口·期中）集合中所有元素之和为，则实数 ． 【答案】 【分析】由得，即可求解参数． 【详解】由得或 所以， ，当时，是方程的根，解得， 当时，若方程的一根为1，则，方程的另一根为4，不合题意； 若1不是方程的根，则方程两根，此时不满足，舍去. 故答案为：． 3-2．（2024高一上·四川泸州·期末）已知，则a的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据元素与集合的关系，把点坐标代入直线方程运算即可求得a的值． 【详解】因为，所以，解得：， 故答案为：． 3-3．（2024·河南·模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立不等式求解即可. 【详解】由题意，且， 解得， 故选：B 题型4：利用集合元素的互异性求参数 4-1．（2024·北京海淀·模拟预测）设集合，若，则实数m=（    ） A．0 B． C．0或 D．0或1 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论和两种情况，求解并检验集合的互异性，可得到答案. 【详解】设集合，若， ，或， 当时，，此时； 当时，，此时； 所以或. 故选：C 4-2．（2024·北京海淀·模拟预测）设集合，若，则的值为（    ）． A．，2 B． C．，，2 D．，2 【答案】D 【分析】由集合中元素确定性得到：，或，通过检验，排除掉. 【详解】由集合中元素的确定性知或． 当时，或；当时，． 当时，不满足集合中元素的互异性，故舍去； 当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求； 当时，满足集合中元素的互异性，故满足要求． 综上，或． 故选：D． 4-3．（2024高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合中的元素1，4，，且实数满足，求实数的值. 【答案】，2，0. 【解析】由实数满足：，4，，得到或，或，结合互异性能求出实数的取值． 【详解】因为实数满足， 所以或或， 解得或或或或， 当时，集合中含有1，4，1，不合题意；当或或时，满足题意.所以实数的值为，2，0. 【点睛】本题主要考查已知集合与元素的关系求参数，解题时要认真审题，注意集合中元素互异性的合理运用，是基础题． 4-4．（2024高三·全国·专题练习）已知，若，则实数构成的集合的元素个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】让集合中每个元素等于1，求得，检验符号集合中元素的互异性，得的值，从而可得结论． 【详解】①，∴，，则，不可以， ②，∴，，则，可以， 或，∴，，则，不可以， ③，，，则，不可以， 或，∴，，则，不可以， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查集合的概念，掌握集合元素的互异性是解题关键． 4-5．（2024高一上·山东聊城·期中）若，则的可能取值有（    ） A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断的可能取值. 【详解】，则，符合题设； 时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设； 时，则，符合题设； ∴或均可以. 故选：C 4-6．（2024高一上·四川自贡·期末）若，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】分别令和，根据集合中元素的互异性可确定结果. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），此时，符合题意； 综上所述：. 故选：A. （三） 用列举法表示集合 1.列举法表示的集合的种类 (1)元素个数少且有限时.全部列举:如1,2,3,4; (2)元素个数多且有限时，可以列举部分,中间用省略号表示，如“从1到1000的所有自然数”可以表示为1,2,3,...,1 000} ; (3)元素个数无限但有规律时，可类似于(2),如自然数集N可以表示为10,1,2,3.... 2.使用列举法表示集合时需注意 (1)元素之间用“,”而不用“、"隔开; (2)元素不重复，满足元素的互异性; (3)元素无顺序，满足元素的无序性; (4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法.但是必须把元索间的规律表述清楚后才能用省略号. 注意（1）用列举法表示集合，要注意是数集还是点集. （2）列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示一目了然. 题型5：用列举法表示集合 5-1．（2024高一·全国·专题练习）方程组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点集的正确形式，判断选项. 【详解】由方程组，解得：，集合应是点集，正确的形式是. 故选：D 5-2．（2024高一上·北京海淀·期中）已知集合，，用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】根据元素特征即可得到结果. 【详解】由题意得，2，3，4，6，12 解得，5，4，，1， 所以集合，，1，3，4，5，． 故答案为： 5-3．（2024高一上·四川·阶段练习）设集合，则用列举法表示集合A为 . 【答案】 【分析】根据自然数集与整数集的概念分析集合A中的元素即可. 【详解】要使，则可取，又，则可取， 故答案为：. 5-4．（2024高一·全国·课后作业）集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的描述法得到集合的列举法. 【详解】∵， ∴． 又， ∴． 故选：A （四） 用描述法表示集合 1.描述法的一般形式是,其中“x”是集合中元素的代表形式.例如用描述法表示方程的实数根为.如果从上下文的关系来看,是明确的，那么也可省略，只写其元素x.例如集合也可表示为. 2.描述法表示集合的条件 对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法. 3.使用描述法时应注意以下几点 (1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等; (2)说明该集合中元素的共同属性; (3)不能出现未被说明的字母; (4)所有描述的内容都要写在花括号内，用于描述的内容力求简洁、准确. 注：(1)用描述法表示集合时，一定要体现描述法的形式，不要漏写集合的代表元素及元素所具有的性质,且用“|”隔开. (2)当描述部分出现集合的代表元素以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围. 题型6：用描述法表示集合 6-1．（2024高一上·全国·课后作业）用适当的方法表示下列集合： （1）大于2且小于5的有理数组成的集合． （2）24的正因数组成的集合． （3）自然数的平方组成的集合． （4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析． 【分析】（1）集合有无限个元素，利用描述法求解； （2）集合中元素较少，利用列举法求解； （3）集合有无限个元素，利用描述法求解； （4）集合中元素较少，利用列举法求解； 【详解】（1）用描述法表示为{x|2<x<5且x∈Q}． （2）用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}． （3）用描述法表示为{x|x=n2，n∈N}． （4）用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}． 6-2．（2024高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： （1）被3除余1的正整数的集合． （2）坐标平面内第一象限内的点的集合． （3）大于4的所有偶数． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】集合用描述法表示，根据条件写代表元具有的性质. 【详解】（1）因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为：； （2）第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为：； （3）大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为：． 【点睛】集合用描述法表示时，注意代表元的元素特征，如果是点集，则代表元要用数对表示. 6-3．（2024高一·全国·课后作业）选择适当的方法表示下列集合: （1）被5除余1的正整数组成的集合； （2）由直线y＝－x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合； （3）方程(x2－9)x＝0的实数解组成的集合； （4）三角形的全体组成的集合. 【答案】（1）{x|x=5k+1，k∈N}；（2）{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}；（3）{－3，0，3}；（4）{x|x是三角形}或{三角形}. 【分析】（1）（4）集合中有无限多个元素，用描述法表示，（2）是平面上点集，可用描述法也可用列举法，（3）中只有有限个元素可以用列举法表示． 【详解】（1）； （2）； （3）或，解集为， （4）是三角形或写成三角形． 【点睛】本题考查集合的表示，集合的表示方法有列举法，描述法，图示法．一个集合可能用多种方法表示，表示方法不唯一． 6-4．（2024高一上·陕西安康·阶段练习）表示下列集合： (1)请用列举法表示方程的解集； (2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合； (4)请用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）方程的解集为. （2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为. （3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为，. （4）用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为． （五） 集合表示法的综合应用 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键，如集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中的元素就是所给方程的根，由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题． (2)在学习过程中要注意数学素养的培养，如等价转化思想和分类讨论的思想． 题型7：根据集合元素的个数求参数 7-1．（2024高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．无解 【答案】C 【分析】集合有一个元素，即方程有一解，分， 两种情况讨论，即可得解. 【详解】集合有一个元素，即方程有一解， 当时，，符合题意， 当时，有一解， 则，解得：， 综上可得：或， 故选：C. 7-2．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）已知集合，其中为常数，且.若中至多有一个元素，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】分情况讨论集合中有零个元素和一个元素时的范围. 【详解】由， 若中有零个元素，即方程无解，则，解得； 若中有一个元素，即方程只有一个解，当时，方程为，解得，成立，当时，，解得，成立， 综上所述，若中至多有一个元素，则实数， 故答案为：. 一、单选题 1．（2024高一·全国·课后作业）方程组的解集可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程组的解即可求解解集. 【详解】由得，所以方程组的解集可以表示为， 故选：C 2．（2024高二下·河南焦作·阶段练习）已知集合，且，则取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由求出m，再利用互异性即可求解 【详解】因为集合，且， 所以或. 当时，解得：或. 而，不符合元素的互异性，故或. 故选：B 3．（2024高一上·四川成都·阶段练习）已知其，则由的值构成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分，讨论，求出，再带入集合看是否满足互异性即可. 【详解】解：， 当，即时，，集合中有相同元素，舍去； 当，即（舍）或时，，符合， 故由的值构成的集合是. 故选：D 【点睛】本题考查元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，注意带入验证，是基础题. 4．（2024高一上·北京·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．-1 B．-3 C．-3或-1 D．无解 【答案】B 【分析】根据题意可得或解方程，再利用集合元素的互异性即可求解. 【详解】若，可得 当时，解得，此时， 不满足集合的互异性，故（舍去）， 当，解得（舍去）或，此时， 满足题意，故实数的值为-3. 故选：B 【点睛】本题考查了由集合中的元素求参数值、集合的特征，属于基础题. 5．（2024高一上·浙江·课后作业）下面四个命题正确的个数是（    ）. ①集合中最小的数是1； ②若，则； ③若，则的最小值是2； ④的解集是. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由是正整数集可判断①②③，根据集合中元素的互异性知④错误. 【详解】是正整数集，最小的正整数是1，故①正确； 当时，，但，故②错误； 若，则a的最小值为1.又，则b的最小值为1，当a和b都取最小值时，取最小值2，故③正确； 由集合中元素的互异性知④错误. 故选：C 【点睛】本题考查常用数集、集合中元素的性质，属于基础题. 6．（2024高一·全国·单元测试）若关于的方程的解集为单元素集合，则（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】分类讨论二次项系数的取值，确定方程只有一个解时参数的值即可得到答案. 【详解】时，原方程为一元一次方程，有唯一解，满足条件； 时，原方程为一元二次方程，当判别式时，方程有一个解，此时， ，解得 所以当原方程的解集为单元素集合时，或，选项C正确. 故选：C. 7．（2024高一上·湖北·期末）已知集合，则C集合中元素的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据定义列举出C中所有元素，即可判断. 【详解】，则可以为：，，，. 故，有3个元素. 故选：B 8．（2024高一上·山东泰安·阶段练习）已知集合M=且，则M等于（    ） A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{，2，3，4} 【答案】D 【分析】由元素具有的性质，是6的正约数，由此可得的值． 【详解】因为集合M=且，，所以5-a可能为1，2，3，6， 即a可能为4，3，2，.所以M={，2，3，4}， 故选：D. 【点睛】本题考查集合的概念，确定集合的元素是解题关键．元素所具有的性质是解题的根据． 9．（2024高一上·广东茂名·期中）若，则a =（    ） A．2 B．1或－1 C．1 D．－1 【答案】D 【分析】分别令，，求出值，代入检验． 【详解】当时，，当时，，不满足互异性，舍去，当时，集合为，满足； 当时，，不满足互异性，舍去. 综上． 故选：D． 【点睛】本题考查集合的定义，掌握集合元素的性质是解题关键．求解集合中的参数值，一般要进行检验，检验是否符合元素的互异性．如有其他运算也要满足运算的结论． 10．（2024高一·全国·假期作业）方程x2＝x的所有实数根组成的集合为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程x2＝x，得x＝0或x＝1，由此能求出方程x2＝x的所有实数根组成的集合 【详解】解：解方程x2＝x，得x＝0或x＝1， 方程x2＝x的所有实数根组成的集合为． 故选：C． 【点睛】本题考查集合的表示方法，属于基础题. 11．（2024高三上·安徽芜湖·期末）集合中的元素个数是（    ） A．0 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】用列举法表示集合，即可知道其元素个数. 【详解】， 所以集合中的元素个数有4个， 故选：B. 12．（2024高一·全国·课后作业）设有下列关系：①；②；③；④．其中正确的个数为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】通过判断元素与集合的关系即可得到结果. 【详解】表示实数集    ，则①正确 表示有理数集    ，则②正确 表示自然数集    ，则③正确 是集合的一个元素    ，则④正确 本题正确选项： 【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题. 13．（2024高二下·浙江宁波·学业考试）已知集合， 若， 则 （    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，且，即可得到和为方程的两个实数根，从而得解； 【详解】解：因为且， 所以，且， 又， 所以和为方程的两个实数根， 所以； 故选：D 14．（2024高三下·河南新乡·开学考试）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合元素的唯一性分类讨论即可. 【详解】因为，所以. 当时，，得； 当时，则. 故实数x的取值集合为. 故选：B 15．（2024高一·全国·课后作业）已知集合，且，则的值可能为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解析】化简集合得范围，结合判断四个选项即可. 【详解】集合，四个选项中，只有， 故选：C． 【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题 16．（2024高一上·广东江门·期中）已知集合,那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定结合的元素，根据元素和集合的关系判断各选项，即得答案. 【详解】由题意知集合， 故，故A正确，D错误，，故B错误，，故C错误， 故选：A 17．（2024高一上·海南·期中）下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用常用数集符合的意义，逐项判断作答. 【详解】表示正整数集，而-3是负整数，A不正确； 表示自然数集，0是自然数，B正确； 表示整数集，是分数，C不正确； 表示有理数集，是无理数，D不正确. 故选：B 18．（2024·辽宁·模拟预测）设集合，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据集合相等的含义分别求出，然后可得答案. 【详解】因为，， 所以，解得，所以1． 故选：B． 19．（2024高一上·云南西双版纳·期末）若不等式3-2x<0的解集为M,则下列结论正确的是    (　　) A．0∈M,2∈M B．0∉M,2∈M C．0∈M,2∉M D．0∉M,2∉M 【答案】B 【详解】当x=0时,3-2x=3>0,所以0不属于M,即0∉M;当x=2时,3-2x=-1<0,所以2属于M,即2∈M. 选B 点睛：集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A. 20．（2024·贵州黔东南·三模）已知集合下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求解. 【详解】因为， 所以A、C错误， 因为，所以，所以B错误， 又，所以，所以D正确， 故选:D． 21．（2024高一上·浙江·课后作业）下列四组对象中能构成集合的是（　　） A．宜春市第一中学高一学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 【答案】D 【分析】根据集合的含义分别分析四个选项，A，B，C都不满足函数的确定性故排除，D确定，满足． 【详解】解：A：宜春市第一中学高一学习好的学生，因为学习好的学生不确定，所以不满足集合的确定性，故A错误； B：在数轴上与原点非常近的点，因为非常近的点不确定，所以不满足集合的确定性，故B错误； C：很小的实数，因为很小的实数不确定，所以不满足集合的确定性，故C错误； D：倒数等于它自身的实数为1与﹣1，∴满足集合的定义，故正确． 故选：D． 22．（陕西省榆林市府谷中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题）下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．上课迟到的学生 B．2022年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于x的正整数 【答案】B 【分析】集合中元素具有确定性，对于每一个元素要么属于集合，要么不属于集合，构成集合的元素必要是确定的. 【详解】对于B中难题没有一个确定的标准，对同一题有人觉得难，但有人觉得不难，故2022年高考数学难题不能构成集合，组成它的元素是不确定的. 其它选项的对象都可以构成集合. 故选：B 23．（2024高一上·全国·课后作业）下列集合中，不同于另外三个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示方法判断即可. 【详解】选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素2020，都是数集． 选项C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程． 故选：C 24．（2024高一·全国·课后作业）已知关于x的方程的解集只有一个元素，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的个数与判别式的关系求解即可. 【详解】因为关于x的方程的解集只有一个元素， 所以，解得. 故选：C 25．（2024高一·全国·课后作业）由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】由题意判断集合的元素个数，根据集合元素的互异性，可求得a的不可能取值，即得答案. 【详解】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2， 因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3， 故，即，即a可取2， 即A，B，C错误，D正确， 故选：D 26．（2024高一上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．方程的解集是 B．方程的解集为{(-2，3)} C．集合M={y|y=x2+1，x∈R}与集合P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一个集合 D．方程组的解集是{(x，y)|x=-1且y=2} 【答案】D 【解析】根据集合表示方法依次判断即可. 【详解】对于A，方程的解集是，故A错误； 对于B，方程的解集为，故B错误； 对于C，集合表示数集，集合表示点集，故不是同一集合，故C错误； 对于D，由解得，故解集为{(x，y)|x=-1且y=2}，故D正确. 故选：D. 27．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意直接求解集合B即可. 【详解】∵，即集合B的可能元素，则有： 由，则，可得； 由，且，可得，且； 由，且，可得，且； 由，且，可得； 综上所述：. 故选：D. 28．（2024高一·全国·课后作业）下列语句中，正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）由3、4、5、5、6构成的集合含有5个元素；（4）数轴上由1到1.01间的线段的点集是有限集；（5）方程的解能构成集合. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据集合的概念和性质判断即可. 【详解】是自然数，故，（1）正确； 是无理数，故，（2）错误； 由3、4、5、5、6构成的集合为有4个元素，故（3）错误； 数轴上由1到1.01间的线段的点集是无限集，（4）错误； 方程的解为，可以构成集合，（5）正确； 故选：A 29．（2024·湖南岳阳·一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素. 【详解】因为，，， 所以， 故集合中的元素个数为3， 故选：C. 30．（2024高三·山西·阶段练习）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意，都有(除数)，则称是一个数域，则下列集合为数域的是（    ） A．N B．Z C．Q D． 【答案】C 【分析】根据数域的定义，对选项进行验证. 【详解】，，故N不是数域，A选项错误，同理B选项错误； 任意，都有(除数)，故Q是一个数域，C选项正确； 对于集合，，，故不是数域，D选项错误. 故选：C 31．（2024·全国）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】A 【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 【详解】 当时，； 当时，； 当时，； 所以共有9个， 故选：A. 【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别. 32．（2024高一·全国·课前预习）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（    ） A．{1} B．{1，2} C．{2，5} D．{1，5} 【答案】D 【分析】根据集合的相等的意义得到x2＋px＋q＝x 即有且只有一个实数解,由此求得p,q的值，进而求得集合B. 【详解】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知， x2＋px＋q＝x 即有且只有一个实数解, ∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0. 计算得出p＝－3，q＝4. 则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3； 即(x－1)2－4(x－1)＝0； 则x－1＝0或x－1＝4， 计算得出x＝1或x＝5. 所以集合B＝{1，5}． 故选：. 33．（2024高一下·广西·阶段练习）若集合中只有一个元素，则　　 A． B． C．0 D．0或 【答案】D 【分析】分与两种情况讨论元素的个数可得答案． 【详解】解：集合中只有一个元素， 当时，可得，集合只有一个元素为：． 当时：方程只有一个解：即， 可得：． 故选：． 【点睛】本题主要考查了集合描述法的意义，涉及集合元素的确定和个数的判断，属于基础题． 34．（2024高一·全国·专题练习）由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】化简根式，再按x值的正负0，分类讨论即可判断作答. 【详解】显然，， 当时，集合中有1个元素0； 当时，，集合中有2个元素，； 当时，，集合中有2个元素，， 所以集合中最多含2个元素. 故选：A 35．（2024高一·全国·课后作业）集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等可知方程有相等实根2，即可由根与系数关系求解. 【详解】因为集合， 所以方程有相等实根2， 根据根与系数的关系可知，， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据集合的元素求参数，一元二次方程，属于容易题. 36．（2024高一上·河北邯郸·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用集合的定义和元素的三个性质，对A、B、C、D四个选项进行一一判断； 【详解】A.、都是点集，与是不同的点，则、是不同的集合，故错误； B.，，根据集合的无序性，集合，表示同一集合，故正确； C.，集合的元素表示点的集合，，表示直线的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故错误； D.集合M的元素是两个数字2，3，，集合的元素是一个点，故错误； 故选：B. 【点睛】本题主要考查集合的定义及元素的性质，属于基础题. 37．（2024高一上·北京海淀·阶段练习）若，则a2020+b2020的值为（    ） A．0 B．﹣1 C．1 D．1或﹣1 【答案】C 【分析】根据即可求出a，b的值，然后即可求出a2020+b2020的值. 【详解】∵，根据集合中元素的性质可得： ∴，解得a=﹣1，b=0， ∴a2020+b2020=（﹣1）2020+0=1. 故选：C. 38．（2024高一上·重庆北碚·期末）定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据新定义中运算的性质，求出集合中的元素即可. 【详解】因为且， 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 综上可知：，所以集合中元素个数为5， 故选：D. 39．（2024高一上·陕西西安·阶段练习）下列关系中，正确的个数为（    ） ①②③④⑤ A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用数集符号的意义及元素与集合的关系判断作答 【详解】是实数集，是整数，有，故①正确， 是有理数集，是分数，而是无理数，有，，故②正确，④不正确， 表示自然数集，有，故③不正确； 表示整数集，-3是整数，有，故⑤正确； 所以正确的个数是3， 故选：C 40．（江西省五市九校协作体2023届高三第二次联考数学（文）试题）已知集合，，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和，再根据集合元素的互异性可确定，的值，进而得出答案. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或，又根据集合互异性，可知，解得(舍)，和(舍)，所以，，则， 故选：A 41．（2024高一上·山西运城·阶段练习）集合，用列举法表示为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次方程，再利用集合列举法表示即可得解. 【详解】 故选：C 42．（江苏省南京市栖霞区南京师范大学附属实验学校2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题）已知集合，且，则实数为（    ） A．2 B．3 C．0或3 D． 【答案】B 【分析】根据得或，求出后验证集合中元素的互异性可得结果. 【详解】因为且， 所以或， ①若，此时，不满足互异性； ②若，解得或3， 当时不满足互异性，当时，符合题意. 综上所述，. 故选：B 43．（2024高一上·上海浦东新·期末）设是有理数，集合，在下列集合中； （1）；（2）；（3）；（4）；与相同的集合有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】将分别代入（1）、（2）、（3）中，化简并判断与是否一一对应，再举反例判断（4）. 【详解】对于（1），由，得，一一对应，则 对于（2），由，得，一一对应，则 对于（3），由，得，一一对应，则 对于（4），，但方程无解，则与不相同 故选：B 44．（2024高一·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】A 【分析】根据集合的定义和性质逐项判断可得答案 【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确； 是不含任何元素的集合，是含有一个元素0的集合，故B错误； 集合，集合，故C错误； 集合中有两个元素，集合中只有一个元素，为方程，故D错误. 故选：A. 45．（2024高一上·上海黄浦·阶段练习）直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【解析】直角坐标平面中除去两点､，其余的点全部在集合中，逐一排除法． 【详解】直角坐标平面中除去两点、，其余的点全部在集合中， 选项中除去的是四条线； 选项中除去的是或除去或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意； 选项，则且，即除去两点､，符合题意； 选项，则任意点都不能，即不能同时排除，两点． 故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本概念，考查学生对集合的识别，属于中档题． 二、多选题 46．（2024高一上·福建莆田·阶段练习）下列说法中不正确的是（    ） A．与表示同一个集合 B．集合＝与＝表示同一个集合 C．方程＝的所有解的集合可表示为 D．集合不能用列举法表示 【答案】ABC 【分析】根据集合的概念，以及元素与集合的关系，以及元素的特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，是一个元素（数），而是一个集合，可得，所以A不正确； 对于B中，集合＝表示数构成的集合，集合＝表示点集， 所以B不正确； 对于C中，方程＝的所有解的集合可表示为，根据集合元素的互异性，可得方程＝的所有解的集合可表示为，所以C不正确； 对于D中，集合含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确. 故选：ABC. 47．（2024高一上·广东佛山·期中）下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由常用集合的定义即可判断ABC，由元素与集合的关系可判断D. 【详解】对于A，是实数，即，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，是无理数，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD. 48．（2024高一上·广西百色·阶段练习）已知集合，则下列关系式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先计算得到，从而得到，，，. 【详解】因为，故，，，. 故选：ABC 49．（2024高一上·江苏常州·期中）已知集合，则下列说法中正确的是（    ） A．但 B．若，其中，则 C．若，其中，则 D．若，其中，则 【答案】BC 【分析】A选项，求出，，故；BC选项，通过计算可以得到，；D选项，时，不符合要求，D错误. 【详解】，故，，所以，A错误； ，其中，，故，B正确； ，其中，，故，C正确； 因为，若，此时无意义，故，D错误. 故选：BC 50．（2024高一上·江苏镇江·开学考试）已知，且，，，则取值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分别将各选项代入集合，利用元素与集合之间的关系判断即可得到答案. 【详解】选项A：当时，，，故，A错误； 选项B：当时，，，故，B正确； 选项C：当时，，，故，C正确； 选项D：当时，，，故，D正确. 故答案为：BCD. 51．（2024高一上·甘肃庆阳·期中）已知集合，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据集合的描述列举出集合中的元素即可逐项判断. 【详解】解：，所以，，，. 故选：AB. 52．（2024高一下·湖南邵阳·开学考试）若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可. 【详解】根据“影子关系”集合的定义， 可知，，为“影子关系”集合， 由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合． 故选：ABD 53．（2024高一上·辽宁大连·阶段练习）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况：方程有且仅有一个不为和的解、方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为、方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为；由此可解得所有可能的值. 【详解】由已知方程得：，解得：且； 由得：； 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 综上所述：或或. 故选：ABD. 三、填空题 54．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知集合，则实数 ． 【答案】 【分析】利用集合相等以及集合元素满足互异性可得出关于实数的等式与不等式，解之即可. 【详解】因为，则，解得. 故答案为：. 55．（2024高一上·江苏淮安·期中）集合，且，则实数m= . 【答案】1或/或1 【分析】由题意可得，求出， 【详解】因为，且， 所以， 由，得，解得或 故答案为：1或 56．（2024高一上·全国·课后作业）已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，其中正确的个数为 . 【答案】3 【分析】根据集合的表示规则和常用集合的含义求解. 【详解】是无理数，属于实数，①正确； 是分数，属于有理数，②正确； 0表示一个元素，表示一个集合，③错误； N表示从0开始的所有自然数集合，，④错误； 是无限不循环小数，属于无理数，⑤错误； Z表示所有整数的集合，-3是整数，，⑥正确； 故答案为：3. 57．（2024高一上·广东汕头·期中）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k] ={4n + k ︱n ∈Z} ，k =0，1，2，3.给出下列四个论①2025∈[1] ；②2025∈[1] ； ③若a∈[1]，b∈[2]，则3a+b∈[3] ；④若a∈[1]，b∈[3]，则a3b∈[0].其中正确的结论是 . 【答案】①④ 【分析】根据给定的定义进行求解，确定被4除所得余数即可. 【详解】因为2025被4除所得余数为1，所以①正确； 因为，所以，所以②不正确； 因为a∈[1]，b∈[2]，设，，则，且，所以，所以③不正确； 因为a∈[1]，b∈[3]，设，，则，且，所以，所以④正确. 故答案为：①④ 58．（2024高一上·全国·专题练习）集合的元素个数为 ． 【答案】 【分析】根据集合得表示可知： 是12的因数，即可求解. 【详解】由可知， 是12的因数，故 ，进而可得可取， 故答案为： 59．（2023-2024学年河北成安一中高一上月考一数学试卷（带解析））已知集合，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据集合的互异性，分别分析与是否满足条件即可. 【详解】当，解得，此时，不满足集合的互异性，所以舍去； 当时，（舍）或，当时，，满足集合的互异性 故答案为：. 60．（2.1.2集合间的基本关系（分层练习）-2022年初升高数学无忧衔接）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解. 【详解】解：由题意，若，则或，检验可知不满足集合中元素的互异性， 所以，则， 所以，则， 故. 故答案为：. 61．（2024高一上·上海浦东新·期末）请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上 . ①上海市2022年入学的全体高一年级新生； ②在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点； ③影响力比较大的中国数学家； ④不等式的所有正整数解. 【答案】①②④ 【分析】根据集合的概念即可判断. 【详解】解：对于①，“上海市2022年入学的全体高一年级新生”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于②，“在平面直角坐标系中，到定点的距离等于1的所有点”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合； 对于③，“影响力比较大的中国数学家”，其中影响力比较大的没有明确的定义，故不能构成集合； 对于④，“不等式的所有正整数解”，研究对象是明确的，符合集合的定义，能构成集合. 故答案为：①②④. 62．（2024高一上·吉林·期末）设，，，若，则 ． 【答案】0或 【分析】由集合相等，建立方程组求解即可. 【详解】当时，，满足，则； 当时，，满足，则； 故答案为：0或 63．（2024高一上·天津东丽·期中）若集合，且，则实数 . 【答案】或. 【分析】根据题意，分、和，三种情况讨论，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由题意，集合，且， 若时，可得，此时集合，符合题意； 若时，可得，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若时，可得或（舍去）， 当时，集合，符合题意， 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或. 四、解答题 64．（2024高一·江苏·课后作业）用适当方法表示下列集合： （1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合； （2）方程+|y﹣2|＝0的解集； （3）由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合. 【答案】（1）{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；（2）；（3）{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}. 【解析】（1）利用列举法求解即可； （2）先解出方程的解，然后利用列举法； （3）利用描述法即可 【详解】解：（1）当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3； 当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32； 当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312. 由于元素个数有限，故用列举法表示为 {1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}. （2）由算术平方根及绝对值的意义，可知： ，解得， 因此该方程的解集为{（﹣，2）}. （3）首先此集合应是点集，是二次函数y＝3x2+1图象上的所有点， 故用描述法可表示为{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}. 65．（2024高一·全国·专题练习）把下列集合用适当方法表示出来： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 【答案】（1）{且}；（2）；（3）；（4）；（5）. 【分析】根据集合的元素个数和元素特征选择列举法和描述法即可解出． 【详解】（1）因为集合中的元素都是偶数，所以{且}． （2）. （3）由得，因此. （4）由，且，得或，因此. （5）由得或，.因此. 66．（2024高一上·陕西咸阳·阶段练习）已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】分与两种情况，结合根的判别式进行求解. 【详解】（1）由题意得：当时，，解得：，解集不为空集，舍去； 当时，，解得：，所以的取值范围是； （2）当时，，，，满足题意； 当时，，解得：， 综上：的取值范围是. 67．（2024高一·湖南·课后作业）用自然语言描述下列集合： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)小于10的正奇数构成的集合； (2)大于的实数构成的集合； (3)大于2且小于20的所有质数构成的集合. 【分析】根据题设中的集合，集合中元素的性质进行描述，即可求解. 【详解】（1）解：因为集合表示：小于10的正奇数构成的集合； （2）解：集合表示：大于的实数构成的集合； （3）解：集合表示：大于2且小于20的所有质数构成的集合. 68．（2024高一上·上海·课后作业）已知集合为小于6的正整数}，为小于10的素数}，集合为24和36的正公因数}． （1）试用列举法表示集合且； （2）试用列举法表示集合且． 【答案】(1) ；（2）. 【分析】（1）求出集合，则，即可求出； （2）根据集合中元素的特征，即可写出. 【详解】由题意，，. （1）. （2）.且 【点睛】本题考查集合的表示法和集合的运算，属于基础题. 69．（2024高一上·湖南岳阳·阶段练习）已知集合，其中. （1）1是中的一个元素，用列举法表示A； （2）若中至多有一个元素，试求a的取值范围. 【答案】（1）（2）或 【解析】（1）由得，代入，解得的元素后，可得解； （2）按照集合中元素的个数分类讨论，可求得结果. 【详解】（1）因为，所以，得， 所以. （2）当中只有一个元素时，只有一个解， 所以或， 所以或， 当中没有元素时，无解，所以，解得， 综上所述：或. 【点睛】易错点点睛：容易忽视的情况，错把方程默认为一元二次方程，造成漏解. 70．（2024高一·全国·课后作业）定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明． 【答案】数集N，Z不是“闭集”，数集Q，R是“闭集”．举反例见解析 【详解】试题分析：根据给出的“闭集”的定义，验证给出的集合是否满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”即可得到结论． 试题解析： （1）数集N，Z不是“闭集”， 例如，3∈N,2∈N，而＝1.5∉N； 3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5∉Z，故N，Z不是闭集． （2）数集Q，R是“闭集”． 由于两个有理数a与b的和，差，积，商， 即a±b，ab， (b≠0)仍是有理数， 故Q是闭集． 同理R也是闭集． 点睛：与集合有关的新概念问题的解题思路 (1)理解问题中的新概念、新公式、新运算、新法则的含义； (2)利用学过的数学知识进行逻辑推理； (3)对选项进行筛选、验证，得出结论． 71．（2024高一·全国·课后作业）（1）如果集合，，证明：． （2）如果集合，整数互素，那么是否存在x，使得x和都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）（答案不唯一）. 【分析】(1)设，，，计算即可得． (2)设（整数m，n互素），则有，由题意可得当时，且，只需m，n取互素的整数即可. 【详解】解:（1）证明：因为， 所以可设，，其中，，，， 则． 由，，，，可知，， 因此． （2）设，则（整数m，n互素）， 所以． 若，则与是互素的整数． 又m与n互素，所以， 所以当m，n互素，且时，且． 如取，，得，． 综上，存在x，使得x与都属于集合B，如．（注：x的取值不唯一．） 72．（2024高一上·上海虹口·阶段练习）设关于的不等式的解集为 . (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）利用分类讨论的数学思想即可求出,（2）利用分类讨论解出关于的不等式即可得到的取值范围 【详解】（1）因为关于的不等式解集为, 故，所以原不等式可化为. 当时，不等式解集为. 当时，解不等式为即解集为 当时，解不等式为即解集为 综上所述：时解集为，时解集为，时解集为 （2）因为，所以故 当时，解得. 当时，解得 . 综上所述：的取值范围为 73．（2024高一上·上海奉贤·阶段练习）已知集合. （1）若中只有一个元素，求及； （2）若中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1）时，；时，；（2）； 【分析】（1）分和两种情况讨论，当中只有一个元素时，求的取值； （2）讨论集合或有一个元素时，的取值范围. 【详解】（1）当时，，解得： ， 所以中只有一个元素，即， 当时，，解得：， ，解得：，此时 综上可知时，时. （2）当集合时，，解得： 由（1）可知集合有1个元素时，或， 综上可知：或， 即. 【点睛】本题考查根据集合的元素个数求参数的取值范围，涉及一元二次方程实数根与系数的关系，意在考查讨论思想和计算能力，属于基础题型，本题容易忽略的情况. 74．（2024高一·全国·课后作业）已知集合. （1）若中有两个元素，求实数的取值范围； （2）若中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1）且；（2）或 【分析】（1）转化为关于的方程有两个不等的实数根，用判别式控制范围，即得解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式控制范围，即得解； 【详解】（1）由于中有两个元素， ∴关于的方程有两个不等的实数根， ∴，且，即，且. 故实数的取值范围是且 （2）当时，方程为，，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素，即，. 综上可知，实数的取值范围是或 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$