同步讲义第01讲 正数和负数、有理数 2024-2025学年人教版 数学 七年级 上册

第01讲 正数和负数、有理数 内 容 导 航 掌 握 目 标 · 了解正数和负数是怎样产生的. · 理解正数、负数及0的意义，掌握正数、负数的表示方法 · 会用正数、负数表示具有相反意义的量. · 掌握有理数的概念 · 会对有理数按一定的标准进行分类，培养分类能力 基础知识导图 基础内容精讲 正数和负数知识点1 名称 概念 负数 像-3, -2, -2.7%这样在正数前面加上符号“-”(负)的数叫做负数. 正数 像1，2，3，1.8% 这样大于0的数叫做正数. 注意：有时为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”(正)号，不过一般情况下省略“+”不写. 已知下列各数：，，，0，，，6，，其中正数有 ；负数有 ．典例1 【答案】，，6， ，， 【分析】本题主要考查正数与负数，属于基础题． 根据正数与负数的特征可判定求解． 【详解】解：在，，，0，，，6，中， 正数，，6，；负数有，，． 故答案为：，，6，，，， 相反意义的量知识点2 名称 概念 定义 在生活中存在各种各样的量，其中有一种量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做相反意义的量． 表示方法 为了表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示. 判断相反意义的量的方法 要紧扣相反意义的量的“两要素”，先看它是否意义相反，再看它是否是同类量，两者缺一不可． 中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向东走60米记作米，则向西走100米可记作（　　）典例2 A．米 B．40米 C．米 D．100米 【答案】C 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：若向东走60米记作米，则向西走100米可记作米， 故选：C． 练习用正负数表示相反意义的量，在生活中有着广泛的应用．若零上记作，则零下可记作（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了正负数的应用，根据正负数是表示一对意义相反的量进行辨别，解题的关键是能准确问题间的数量关系和具有意义相反的量． 【详解】解：∵ 零上记作， ∴ 零下记作， 故选：D． 练习 在下列选项中，具有相反意义的量是（    ） A．向东走3千米与向北走3千米 B．收入100元与支出200元 C．气温上升与上升 D．5个老人与5个小孩 【答案】B 【分析】本题主要考查相反意义的量，根据相反意义的量的概念，逐一判断选项，即可得到答案，熟练掌握相反意义的量的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、向东走3千米与向北走3千米，不是具有相反意义的量，故A不符合题意； B、收入100元与支出200元，具有相反意义的量，故B符合题意； C、气温上升与上升，不是具有相反意义的量，故C不符合题意； D、5个老人与5个小孩，不是具有相反意义的量，故D不符合题意， 故选：． 正负数的实际应用知识点3 情况 举例 (1)用正数、负数表示具有相反意义的量时，究竟哪一种意义的量为正是可以任意选择的 习惯上把“前进、上升、收入、盈利”等规定为正，而把“后退、下降、支出、亏损”等规定为负. (2)用正数、负数表示具有相反意义的量，在描述向指定方向变化的情况时，一般地，向指定方向变化用正数表示，向指定方向的相反方向变化用负数表示. 如“体重减少1 kg”也可以表示为“体重增加 -1 kg". (3)用正数、负数表示具有相反意义的量时，选择的基准不同，表示的结果也不相同. 如从山脚测山高为300 m，山脚高出海平面 50 m.若以山脚为基准，山高记为+300 m，则海平面的高度为 -50 m；若以海平面为基准，山脚的高度记为+50 m，则山高为+350 m. 体育老师对六年级学生进行了仰卧起坐测试．以每分钟个为达标，记作．小明的成绩记作，则他仰卧起坐的个数是（     ）典例3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的意义，深刻理解正负数的意义是解题的关键．正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负． 用正负数表示意义相反的两种量：高于每分钟个记为正，则低于每分钟个就记作负，由此得解． 【详解】解：（个）， 故选：． 练习 某种袋装食品，质检员为了解该种食品的质量（单位：g），抽样监测了其中4袋．其中超标的记为正数，不足的记为负数．检验结果分别是，，，，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．用正负数表示意义相反的两种量：超标的记为正数，不足的记为负数．忽略正负号，比较数字大小，最小的就是最接近标准质量的． 【详解】解： 答：最接近标准质量的是． 故选：B． 有理数的概念知识点4 分类 定义 举例 整数 正整数、0、负整数统称为整数 如-3， -2， 0 ， 1 ， 2 ， 3等. 分数 正分数、负分数统称为分数 如2 ， 0.2 ， -1.25 ， - 等 有理数 整数和分数统称为有理数 注意： 下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（    ）.典例4 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据有理数的意义逐项判断即可．掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．注意π是无理数． 【详解】解：实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中有理数为：、、，共3个. 故选C. 有理数的分类知识点5 有理数按定义分类如下 有理数按符号（正、负）分类如下 注意： ①分类的标准不同，结果也不同； ②分类的结果应无遗漏、无重复； ③零是整数，但零既不是正数，也不是负数. 下面关于有理数的说法正确的是（    ）典例5 A．正整数和负整数合在一起称为整数 B．正数和负数统称为有理数 C．正数、负数和零统称为有理数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【分析】根据有理数的概念和分类（整数和分数统称为有理数）、整数的定义（正整数、负整数和0统称为整数）逐项判断即可得． 【详解】解：A、正整数、负整数和0统称为整数，则此项错误，不符合题意； B、正有理数、负有理数和0统称为有理数，则此项错误，不符合题意； C、正有理数、负有理数和0统称为有理数，则此项错误，不符合题意； D、整数和分数统称为有理数，则此项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数和整数，熟记概念是解题关键． 在，，，（是圆周率）．，，中，负有理数共有（    ）典例6 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】根据有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，无理数就是无限不循环小数，判断出有理数后再进行正负的判断即可． 【详解】解：是正有理数，是负有理数，是负有理数，是无理数，是正有理数，是负有理数，是正有理数，综上所述负有理数有个， 故选：． 【点睛】本题主要考查有理数和正负数的定义，掌握实数的分类，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，是解答本题的关键． 将下列各数填入相应的集合中．典例7 ，0，，，，． 正数集合：{       ……}； 整数集合：{       ……}； 分数集合：{       ……}； 负数集合：{       ……}． 【答案】，，；0，，；，，；， 【分析】分别根据正数、整数、分数、负数的定义进行作答即可． 本题考查了有理数的分类．熟练掌握相关定义是解题的关键． 【详解】解：由题意知，，， ∴正数集合：{ ，， ……}； 整数集合：{ 0，， ……}； 分数集合：：{ ，，  ……}； 负数集合：{ ，……}． 故答案为：，，；0，，；，，；，． 练习 下列是数的分类，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数和无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是熟练掌握所学的知识．按照有理数、整数、分数的概念进行判断即可得出答案． 【详解】解：有理数可分为整数和分数，故A选项正确，符合题意； 整数可分为：正整数，0，负整数，故B选项错误，不符合题意； 分数可分为：正分数，负分数，故C选项错误，不符合题意； 有理数可分为整数和分数，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 练习 下列说法中：（1）一个整数不是正数就是负数；（2）最小的整数是零；（3）负数中没有最大的数；（4）自然数一定是正整数；（5）有理数包括正有理数、零和负有理数；（6）整数就是正整数和负整数；（7）零是整数但不是正数；（8）正数、负数统称为有理数；（9）非负有理数是指正有理数和0．正确的个数有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的概念和分类，根据有理数的概念和有理数的分类，正、负数依次进行判断即可． 【详解】解：整数分为正整数，0和负整数， ∴一个整数不是正数就是负数错误，故（1）不符合题意； 没有最小的整数，故（2）不符合题意； 负数中没有最大的数，故（3）符合题意； 自然数包括0，∴自然数一定是正整数错误，故（4）不符合题意； 有理数包括正有理数，零和负有理数，故（5）符合题意， 整数包括正整数，0和负整数，故（6）不符合题意； 零是整数但不是正数，故（7）符合题意； 整数和分数统称为有理数，故（8）不符合题意； 非负有理数是指正有理数和0，故（9）符合题意， 综上所述，正确的有（3）（5）（7）（9），共4个， 故答案为：4． 练习 下列说法：(1)既是负数、分数，也是有理数；(2)正整数和负整数统称为整数；(3)0是非正数；(4)既是负数，也是整数，但不是有理数；（5）自然数是整数，其中正确的个数是 个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类逐项判断即可得出答案，熟练掌握有理数的分类是解此题的关键． 【详解】解：（1）既是负数、分数，也是有理数，原说法正确； （2）正整数、负整数和0统称为整数，原说法错误； （3）0是非正数，原说法正确； （4）既是负数，也是整数，是有理数，原说法错误； （5）自然数是整数，原说法正确； 综上所述，正确的有3个； 故答案为：3． 0的意义知识点6 0是正负数的分界点. 它具有丰富的意义.，如： 空罐中的金币数量. 温度中的0℃. 海平面的高度. 标准水位. 身高比较的基准. 注意：0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用正数表示，低于基准的量用负数表示. 下列说法正确的是（　）典例8 A．有理数可分为正数，负数 B．正数没有最大的数，有最小的数 C．零既不是正数也不是负数 D．带“号”和带“”号的数互为相反数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，注意带负号的数不一定是负数；根据有理数的性质，正数，零的意义，以及小于零的数是负数进行判断即可． 【详解】解：A、有理数分为正数、零、负数，故错误，不符合题意； B、正数没有最大的，也没有最小的，故错误，不符合题意； C、零既不是正数也不是负数，故正确，符合题意； D、大于零的数是正数，小于零的数是负数，故错误，不符合题意； 故选：C． 下列关于“0”的说法正确的有（  ）典例9 ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查0的意义，正确理解0的意义是解题的关键． 【详解】0是正数和负数的分界点，故①正确； 0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确； 0是自然数，故③正确； 存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误； 0既是整数也是偶数，故⑤正确； 故选：C． 练习 有下列说法，正确的个数是（   ）个 ①0是最小的整数；②一个有理数不是正数就是负数 ；③若是正数，则是负数； ④自然数一定是正数；⑤一个整数不是正整数就是负整数；⑥非负数就是指正数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整数“整数包括正整数、0和负整数”、有理数的分类“有理数可分为正有理数、0和负有理数”、正数与负数，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据整数、有理数的分类、正数与负数逐个判断即可得． 【详解】解：①0不是最小的整数，如负整数，则原说法错误； ②有理数0既不是正数也不是负数，则原说法错误； ③若是正数，则是负数，则原说法正确； ④自然数0不是正数，则原说法错误； ⑤整数0既不是正整数也不是负整数，则原说法错误； ⑥非负数就是指不是负数，即正数和0，则原说法错误； 综上，正确的个数是1个, 故选：B． 练习 下面关于0的说法正确的是(　　) A．0既可以带正号，也可以带负号，所以0既可以是正数，也可以是负数 B．0是最小的正数 C．0是最大的负数 D．0既不是正数，也不是负数 【答案】D 【分析】根据0是正数和负数的分界，0既不是正数也不是负数进行解答． 【详解】解：大于0的数是正数，在正数前面加“”的数叫负数，0既不是正数，也不是负数． 故选：D． 【点睛】此题考查了0的归类，注意：0既不是正数，也不是负数． 带“非”字的有理数知识点7 名称 含义 非负数 正数和0. 非正数 负数和0. 非负整数(也叫自然数) 正整数和0. 非正整数 负整数和0. 正有理数 正整数和正分数. 负有理数 负整数和负分数. 非正有理数 0、负整数和负分数. 非负有理数 0、正整数和正分数. 在，0，,，2023，，0.26，11.3中，非负整数有 个．典例10 【答案】3 【分析】本题考查有理数的分类及定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．非负整数包括正整数和0，据此即可求得答案． 【详解】解：，0，2023是非负整数，共3个， 故答案为：3． 把下面的有理数填在相应的大括号里：典例11 ，，，，，． （友情提示：将各数用逗号分开） 正数集合 …；负数集合 …；非负整数集合 …． 【答案】 ， ，， 【分析】本题考查了正数，负数以及有理数，解题的关键是：熟练掌握相关定义．根据正数和负数以及非负整数的定义判断，即可求解． 【详解】解：，，，，，， 正数集合，，； 负数集合，，， ； 非负整数集合，， 故答案为：， ；，， ； ． 练习 把下列各数的序号填在相应的数集内：①1；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧ (1)整数集{________________________________________}； (2)非正数集{________________________________________}； (3)分数集{________________________________________}． 【答案】(1)①④⑦⑧ (2)②④⑥⑧ (3)②③⑤⑥ 【分析】本题考查有理数的分类： （1）根据整数包括正整数，0和负整数，分类即可； （2）根据非正数包括负数和0，分类即可； （3）根据分数包括正分数和负分数，分类即可． 【详解】（1）解：整数集{①④⑦⑧} 故答案为：①④⑦⑧； （2）非正数集{②④⑥⑧}； 故答案为：②④⑥⑧； （3）分数集{②③⑤⑥} 故答案为：②③⑤⑥． 练习 把下列各数填在相应集合中：，0，，，，． 分数集合：{______...}； 负整数集合：{______...}； 非负数集合：{______...} 【答案】，，；，；，0，， 【分析】此题考查的是有理数，掌握分数、负整数、非负数的概念是解决此题关键．直接根据有理数的分类进行解答即可． 【详解】解；分数集合：{，，，...}； 负整数集合：{，，...}； 非负数集合：{，0，，，..} 故答案为：，，；，；，0，， 基础例题精解 题型1、正数和负数的实际应用 类型1、用具有相反意义的量表示位置 某公路养护小组乘车沿一条东西方向的公路巡视维护．某天早晨从A地出发，最后收工时到达B地．约定向东为正方向，当天的行驶记录如下（单位:千米）：典例1 ，，，，，，，． (1)求B地在A地的哪个方向?它们相距多少千米? (2)若每千米耗油升，每升汽油6元，那么该养护小组当天乘车耗油多少升？花费多少油钱？ 【答案】(1)B地在A地的西面，相距3千米 (2)该维修队耗油升，花费153元油费 【分析】本题主要考查正负数得意义和有理数得加减法，关键是要牢记有理数的加减法法则． （1）根据正负数的意义，将每天的行程相加即可； （2）将每天的行驶路程相加，再乘以，再计算总费用，即可得出答案． 【详解】（1）解：将每天的行驶记录相加得：千米， 向东为正方向， 向西为负方向， 在地的西边，相距3千米处； （2）解： = =， （升），（元）， 该维修队耗油升，花费153元油费． 练习 某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶纪录如下．(单位：) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)在第_______次纪录时距A地最远？ (2)求检修小组收工时在A地的何处？距A地有多远？ (3)若每千米耗油0.15升，每升汽油需8元，问这天检修小组工作一天回到出车地时需汽油费多少元？ 【答案】(1)四 (2)西边， (3)57.6元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用： （1）分别写出各次记录时距离A地的距离，然后判断即可； （2）将行驶记录全部相加即可判断； （3）把所有行驶记录的绝对值相加，再乘以每千米耗油及汽油单价即可得解． 【详解】（1）解：第一次纪录距A地的距离为：， 第二次纪录距A地的距离为：， 第三次纪录距A地的距离为：， 第四次纪录距A地的距离为：， 第五次纪录距A地的距离为：， 第六次纪录距A地的距离为：， 第七次纪录距A地的距离为：， 所以在第四次纪录时距A地最远， 故答案为：四 （2）解：， 答：检修小组收工时在A地西边，距离A地； （3）解： ， （元）． 答：检修小组工作一天需汽油费约为57.6元． 练习 巡警乘汽车，沿东西向的公路进行巡逻，约定向东为正，向西为负，某天自巡警队驻地出发，到下班时，行走记录为（单位：）：，，，，，，，，，． 回答下列问题： (1)下班时巡警在驻地的哪边？距巡警队驻地多少千米？ (2)问从巡警队驻地出发到下班时，共行走多少千米？ 【答案】(1)巡警在驻地处，与驻地相距0千米 (2)68千米 【分析】本题考查正数与负数，有理数加法的应用，属于基础题型． （1）将行走记录相加即可求出巡警在驻地哪个方向和距离驻地多少千米． （2）将行走记录的绝对值相加即可求出共行走多少千米． 【详解】（1）解： ， 此时巡警在驻地处，与驻地相距0千米； （2）解： 答：共走了68千米． 类型2、用正数、负数记录成绩 某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：典例2 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)599 (2)26 (3)该厂工人这一周的工资是元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理解正负数的意义，掌握有理数的运算法则是关键． （1）三天的计划总数加上三天多生产的辆数的和即可； （2）求出超产的最多数与减产的最少数的差即可； （3）求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解． 【详解】（1）解：前三天生产的辆数是辆． 答案是：； （2）解：辆， 故答案是， 故答案为：； （3）解：这一周多生产的总辆数是辆． 元． 答：该厂工人这一周的工资是元． 练习 世乒赛中用球的质量有严格的规定，下表是6个乒乓球质量检测的结果（单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准重量的克数记为负数）． 一号球 二号球 三号球 四号球 五号球 六号球 0.1 0.2 0 (1)请找出三个误差相对较小一些的乒乓球，并用绝对值的知识说明． (2)若规定与标准质量误差不超过的为优等品，超过但不超过的为合格品，在这六个乒乓球中，优等品、合格品和不合格品分别是哪几个乒乓球？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个；理由见解析 【分析】本题考查了绝对值的意义及应用，熟练掌握相关知识是解题的关键； 判断质量、零件尺寸等是否合格，关键是看偏差的绝对值的大小，而与正、负数无关．由绝对值的几何定义可知，一个数的绝对值越小，离原点越近，将实际问题转化为距离标准质量越小，即绝对值越小，就越接近标准质量．据此进行判断即可． 【详解】（1）解：四号球，正好等于标准的质量， 五号球，，比标准球轻克， 二号球，，比标准球重克． （2）解：在这六个乒乓球中，优等品是二号球、四号球、五号球，共3个；合格品是三号球、六号球，共2个；不合格品是一号球，共1个； 理由如下：一号球，，不合格， 二号球，，优等品， 三号球，，合格品， 四号球，，优等品， 五号球，，优等品， 六号球，，合格品． 题型2、正数、负数的规律探究题 2．一跳蚤在一直线上从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第2次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离点的距离是（    ）个单位. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可． 【详解】解：设向右为正，向左为负．则 1+（-2）+3+（-4）+．+（-100）=[1+（-2）]+[3+（-4）]+．+[99+（-100）]=-50． ∴落点处离O点的距离是50个单位． 故答案为:B． 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． ．小明同学将2B铅笔笔尖从原点开始沿数轴进行连续滑动，先将笔尖沿正方向滑动1个单位长度完成第一次操作，再沿负方向滑动2个单位长度完成第二次操作；又沿正方向滑动3个单位长度完成第三次操作；再沿负方向滑动4个单位长度完成第四次操作，…，以此规律继续操作，经过第99次操作后笔尖停留在点处，则点对应的数是（    ）． A．0 B． C． D．50 【答案】D 【分析】根据题意，先规定正方向为正、负方向为负，再利用有理数加减运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：规定正方向为正、负方向为负，则 ， 故选：D． 【点睛】本题考查利用正负数的意义解决实际问题，按照题意规定正负，运用有理数加减运算求解是解决问题的关键． 题型3、用正数、负数表示误差 化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（   ）典例2 A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了正负数的应用，熟悉掌握其中的含义是解题的关键． 比较绝对值的大小即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴最接近的为g 故选：D． 练习 两江新区正加快打造智能网联新能源汽车产业集群，集聚了长安、长安福特、赛力斯、吉利、理想等10家整车企业，200余家核心零部件企业．小虎所在的生产车间需要加工标准尺寸为的零部件，其中范围内的尺寸为合格，则下列尺寸的零部件不合格的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正数和负数，根据正数和负数的实际意义求得合格尺寸的范围，然后进行判断即可，结合已知条件求得合格尺寸的范围是解题的关键． 【详解】解：由题意可得合格尺寸的范围为，不在尺寸范围内， 故选：D． 基础习题精练 一、单选题 1．某种零件标准长度为，若比多记作，则比少记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数是表示具有相反意义的两种量进行求解即可． 【详解】解：由题意得，比少记， 故选：D． 2．下面四个选项中，不具有相反意义的量的是（　　） A．借贷5万元与还贷6万元 B．高出海平面8888米与低于海平面188米 C．亏损2万元与盈利8万元 D．增产10吨粮食与减产吨粮食 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，确定相反意义的量是解题关键．根据正负数表示相反意义的量，可得答案． 【详解】解：A、借贷5万元与还贷6万元是具有相反意义的量，故A不符合题意； B、高出海平面8888米与低于海平面米，具有相反意义的量，故B不符合题意； C、亏损2万元与盈利8万元，具有相反意义的量，故C不符合题意； D、增产10吨粮食与减产吨粮食，因为减产吨粮食相当于增产10吨粮食，所以是不具有相反意义的量，故D符合题意； 故选：D． 3．如图对有理数的分类，“”表示的内容是（    ） A．0 B．分数 C．小数 D．正整数 【答案】B 【分析】根据有理数的分类进行解答即可，熟练掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键． 【详解】 解：整数和分数统称为有理数，则“”表示的内容是分数， 故选：B 4．根据下面的集合示意图，可填入K区域（两个集合的公共部分）的数是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的分类及定义，结合已知条件得出K区域（两个集合的公共部分）的表示数是负整数是解题的关键． 【详解】解：由题意可得K区域（两个集合的公共部分）的表示数是负整数，只有是负整数， 故选：C． 5．既是负数又是整数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类．按照有理数的分类解答即可． 【详解】解：A、是分数，不是整数，故本选项不符合题意； B、既是负数又是整数，故本选项符合题意； C、是负数，但不是整数，故本选项不符合题意； D、是正数，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．下列说法正确的有（    ） ①所有整数中0最小；②整数即自然数；③分数均为正分数；④0是最大的负整数；⑤自然数一定是正数；⑥0是非负数；⑦有理数是指整数、分数、正有理数，负有理数和0五类． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据有理数的意义及分类，逐一判断即可． 【详解】①没有最小的整数，故①错误； ②非负整数即自然数，故②错误； ③分数分为正分数和负分数，故③错误； ④0不是负数，故④错误； ⑤0是自然数，但不是正数，故⑤错误； ⑥0是非负数，故⑥正确； ⑦有理数分为整数和分数，也可以分为正有理数，负有理数和0，故⑦错误． 综上，正确的有1个， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟记有理数的意义是解题关键． 7．在数，0，，1，，，，，，98，中，分数有（    ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据有理数的分类即可解决问题． 【详解】解：在数，0，，1，，，，，，98，中，分数有，，，，，共6个． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的分类． 二、填空题 8．根据文献记载，魏晋学者刘徽是引入负数概念的第一人，他在注解《九章算术》时写道：“正算赤，负算黑；否则以斜正为异．今两算得失相反，要令正负以名之．”简而言之，刘徽不仅给了正负数定义，而且还指出用赤黑区分正负数，即“正算赤，负算黑”．如果向东走30米记作“米”，那么向西走70米记作 ． 【答案】米 【分析】本题考查正负数的意义，根据正负数表示意义相反的量，向西走为正，则向东走为负，即可得出结果； 【详解】解：向东走30米记作“米”，那么向西走70米记作米； 故答案为：米 9．在下列横线上填上适当的词，构成相反意义的量． （1）收入10元， 6元； （2）高出海平面500， 海平面100； （3）减少60， 80； （4） 500元，节约700元； （5）向东走5米， 走6米． （6） 3，缩小4． 【答案】 支出 低于 增加 浪费 向西 扩大 【分析】本题考查了正负数的知识，掌握正负数的定义是关键．根据题意，要构成相反意义，则关键词为“反义”，据此分析，找出其余小题中与关键词具有相反意义的词，再填空即可． 【详解】解：根据题意，收入10元，支出6元； 根据题意，高出海平面500m，低于海平面100m； 根据题意，减少60kg，增加80kg； 根据题意，浪费500元，节约700元； 根据题意，向东走5米，向西走6米； 根据题意，扩大3m2，缩小4m2． 故答案为：支出；低于；增加；浪费；向西；扩大． 10．朋朋向东走，记作，那么他走了表示他向( )走了( )m；如果朋朋从起点开始先向东走了，再向( )走( )m，这时他所在的位置记作． 【答案】 西 西 【分析】本题考查了正负数表示具有相反意义的量，其中一个量用正数表示，则意义相反的另一个量用负数表示；据此可完成解答． 【详解】解：朋朋向东走，记作，那么他走了表示他向西走了；朋朋从起点开始先向东走了，再向西走，此时他所在的位置记作． 故答案为：西；；西；． 11．若，则的整数值有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数的知识，正确掌握整数的概念是解决本题的关键． 整数包括正整数，负整数和零，再根据x的取值范围即可找出． 【详解】解：∵，且x为整数， ∴x可为． 故答案为：6． 12．在下列各数：7，，，，，，，0，1.2345678910111213.......中，属于分数的是 ，属于非负整数的是 . 【答案】 ，，，， 7，0 【分析】本题考查有理数的分类，掌握有理数的分类是本题的关键．根据有理数的分类归类即可． 【详解】解：7，，，，，，，0，1.2345678910111213.......中，属于分数的是，，，，，属于非负整数的是7，0， 故答案为：，，，，；7，0 13．一组数25，0，，，，其中有理数有 个，负数有个 ． 【答案】 4 2 【分析】此题考查了有理数、负数的定义：整数和分数统称为有理数，正确掌握有理数的定义是解题的关键． 【详解】一组数25，0，，，，其中有理数有4个，负数有2个． 故答案为：①4，②2． 14．请写出个不同的有理数，使得这些数中恰好有个整数、个正数： ． 【答案】、、、、、（答案不唯一） 【分析】根据有理数定义，整数，正数的定义即可求解． 【详解】解：个不同的有理数，个整数、个正数， ∴、、、、、， 故答案为：、、、、、（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查有理数的定义，整数、正数的理解，掌握有理数的相关概念及数的形式是解题的关键． 三、解答题 15．按要求分类：，4，，，0，，， 正数：（                   ）  分数：（                     ） 非负整数：（               ）整数：（                    ） 【答案】见详解 【分析】根据正数，分数，非负整数，整数的定义，将各数填入集合中，即可求解． 【详解】正数：（4，，，，）  分数：（，，，，，） 非负整数：（4，0，）整数：（，4， 0，） 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．非负整数包含正数和0． 基础知识导图 基础内容精讲 基础例题精解 基础习题精练 学科网（北京）股份有限公司 $$