精品解析：广东省茂名市化州市2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题

2023—2024学年度第二学期期中学科素养测评 高中二年级数学试卷 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，把答案填在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 将5名大学生分配到4所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生，则不同的分配方法有（ ）种． A. 60 B. 120 C. 240 D. 480 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的渐近线过点，则（ ） A. B. C. D. 7. 过点的直线与圆相切于点，则（ ） A. 4 B. 16 C. D. 17 8. 如图中，图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选答案得相应分，错选和不选得0分． 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 所有项的系数之和为0 B. 常数项为 C. 所有项的二项式系数之和为64 D. 展开式共6项 10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的极小值点为 C. 函数无极大值 D. 函数在上的最大值为 11. 正方体中，为的中点，为正方体表面上一个动点，则（ ） A. 当在线段上运动时，与所成角的最大值是 B. 若在上底面上运动，且正方体棱长为1，与所成角为，则点的轨迹长度是 C. 当在面上运动时，四面体的体积为定值 D. 当在棱上运动时，存在点使 三、填空题：本大题共3个小题，每个小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，，则数列的前项和__________. 13. 在中，已知，，，那么_________． 14. 过双曲线（，）的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为___________． 四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为． （1）求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率； （2）若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列． 16. 如图所示，在四棱锥中，底面是梯形，且，，若，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的正弦值. 17. 已知函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 18. 椭圆的焦距是，长轴长是短轴长3倍，任作斜率为的直线与椭圆交于两点（如图所示），且点在直线的左上方. （1）求椭圆的方程； （2）若，求的面积； （3）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上． 19. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都大于2，则称这个数列为“G型数列”． （1）若数列满足，，求证：数列是“G型数列”． （2）若数列的各项均为正整数，且，为“G型数列”，记，数列为等比数列，公比q为正整数，当不是“G型数列”时，求数列的通项公式． （3）在（2）的条件下，令，记的前n项和为，是否存在正整数m，使得对任意的，都有成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期期中学科素养测评 高中二年级数学试卷 说明：本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目． 2．选择题每小题选出答案后，把答案填在答题卷相应的位置上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回． 一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】由题意得，所以. 故选：C. 2. 已知，复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先得复数，再化简复数，即可得实部和虚部的值. 【详解】因为， 所以， 所以． 故选：B． 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导后将代入，求出斜率，再得到切点，运用点斜式即可. 【详解】求导得到, ，将代入原函数，得到，即切点； 将代入导函数，得到，即切线斜率．运用点斜式得到切线方程为，化简得到一般式. 故选：B. 4. 将5名大学生分配到4所学校支教，每名大学生必须去一所学校，每所学校至少有一名大学生，则不同的分配方法有（ ）种． A. 60 B. 120 C. 240 D. 480 【答案】C 【解析】 【分析】5名大学生分成满足题意的4组，只有一所学校有2人，其余学校都是1人，先选2人做为一组，然后全排即可. 【详解】5名大学生分成满足题意的4组，只有分组形式，即只有一所学校有2人，其余都是1人， 则选2人组成一组剩余3人各自成组，然后将四组分到四所学校， 因此，共有（种）. 故选：C. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，结合二倍角公式和诱导公式即可求解. 【详解】因为，则， 所以， 故选：A. 6. 已知双曲线的渐近线过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出双曲线的渐近线方程，把点代入，即可求出的值. 【详解】由双曲线，可得渐近线为：， 把点代入渐近线方程：，得，解得. 故选：D. 7. 过点的直线与圆相切于点，则（ ） A. 4 B. 16 C. D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积公式，转化为求切线长问题. 【详解】圆，即圆的圆心为，半径， 点到圆心的距离，所以， . 故选：B 8. 如图中，图象对应的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可排除A，根据有界性可排除C，根据4处的函数值不超过5，可判断B. 【详解】由图象可知函数关于原点对称，故为奇函数， 对于A，，故函数为偶函数，不符合， 对于B, ， 根据图象可知，4处的函数值不超过5，故B不符合， 对于C，由于，显然不符合， 故选：D 二、多项选择题：本大题共3个小题，每个小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，选齐全对的得6分，漏选答案得相应分，错选和不选得0分． 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 所有项的系数之和为0 B. 常数项为 C. 所有项的二项式系数之和为64 D. 展开式共6项 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，即可判断A；求出展开式的通项，再令的指数等于零，即可判断B；根据二项式定理的性质即可判断CD. 【详解】对于A，令，则所有项的系数之和为，故A正确； 对于B，展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为，故B正确； 对于C，所有项的二项式系数之和为，故C正确； 对于D，展开式共7项，故D错误； 故选：ABC. 10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的极小值点为 C. 函数无极大值 D. 函数在上的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，可判断各选项的正误. 【详解】因为，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以A错误，B正确，C正确； 在上递减，在上递增，，， 所以函数在上的最大值为，D正确. 故选：BCD. 11. 正方体中，为的中点，为正方体表面上一个动点，则（ ） A. 当在线段上运动时，与所成角的最大值是 B. 若在上底面上运动，且正方体棱长为1，与所成角为，则点的轨迹长度是 C. 当在面上运动时，四面体的体积为定值 D. 当在棱上运动时，存在点使 【答案】CD 【解析】 【分析】由平行关系得到与所成角等价于与所成的角，又为等边三角形，由等边三角形的性质可知与所成角，最大角为，可判断A；找到所在的轨迹是以为圆心1为半径的弧，轨迹长度是，可判断B；由三棱锥的高和底面面积都为定值可判断体积不变，可判断C；建系用两点间距离公式可判断D. 【详解】 对于A，如图一，在正方体中，易知，所以与所成角等价于与所成的角， 当为中点时，，此时所成角最大，为，故A错误. 对于B，如图二，因为棱垂直于上底面，且与所成角为， 所以在中，， 由圆锥的构成可知所在的轨迹是以为圆心1为半径的弧，轨迹长度是，故B错误. 对于C，如图三，因为在面内，面到平面的距离等于， 而面积不变，故体积为定值，故C正确. 对于D，如图四，以为原点，为轴建立空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，， 因为， 由，所以，故D正确. 故选：CD. 三、填空题：本大题共3个小题，每个小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，，则数列的前项和__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出首项与公差，利用等差数列基本量的计算即可得到答案. 【详解】设等差数列的首项与公差，则有，解得， 故. 故答案为： 13. 在中，已知，，，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】运用余弦定理求出，再结合同角三角函数关系以及正弦定理可解. 【详解】，，，则，解得. 且，由正弦定理得到. 故答案为：. 14. 过双曲线（，）的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】由直线和圆相切，求得直线的斜率，求得直线的方程，与切线方程联立，可得的坐标，联立切线方程和直线，求得的坐标，再由，可得，，的关系，由离心率公式，可得所求值． 【详解】如图，由，设直线的方程为，， 由直线与圆相切，可得， 解得，即直线的方程为， 由，可得直线的方程为， 与切线的方程联立，可得，， 由，可得，， 若，则， 化为，即， 即为， 则． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5个小题，满分共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为． （1）求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率； （2）若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题知甲、乙2位消费者的选择情况共有（种），其中2人最终选择的奖品不一样的情况有（种），进而根据古典概型与独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）依次求得离散型随机变量的分布列取值对应的概率，进而求出随机变量的分布列. 【小问1详解】 设事件为“甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样”， 由三等奖有4种奖品供选择，故甲、乙2位消费者的选择情况共有（种），其中2人最终选择的奖品不一样的情况有（种）， 因为每位消费者抽中三等奖的概率均为， 所以，． 【小问2详解】 由题，的所有可能取值为0，1，2，3， 由题知，4个人挑选了4种奖品，共有种情况， 表示4个人挑选了4种奖品，所以； 表示4个人挑选了3种奖品，故有2个人选中同一种奖品， 所以； 当表示4个人挑选了2种奖品，从4种奖品中选2种奖品的方法有（种）， 对于被选中的2种奖品，4个人不同的选择方法有（种）， 所以有2种奖品被选中的方法有（种）， 所以，； 当表示4个人挑选了同一种奖品， 所以． 所以的分布列为 0 1 2 3 16. 如图所示，在四棱锥中，底面是梯形，且，，若，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的平面角的正弦值. 【答案】（1） ∵，∴，又，∴， ∵，，且，平面， ∴平面，又平面，∴平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，由二面角的平面角的向量公式求解即可. 【小问1详解】 （1）略 【小问2详解】 （2）以的中点为坐标原点，过点与平行的直线为轴，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系如图 ∴，，，， ∴，，，， 设平面的一个法向量，则，即 取，平面的一个法向量， 设平面的一个法向量，则，即 取，平面的一个法向量， ∴， 设二面角的平面角为，则 17. 已知函数 （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求解即可； （2）由可得，然后利用导数求出右边对应函数的最大值即可. 【小问1详解】 当时，函数，其定义域为 令得 + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 由可得 令，下面求在的最大值． 令 ∴在上单调递减且 所以当时，；当时，． 于是当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以的最大值为 故． 18. 椭圆的焦距是，长轴长是短轴长3倍，任作斜率为的直线与椭圆交于两点（如图所示），且点在直线的左上方. （1）求椭圆的方程； （2）若，求的面积； （3）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上． 【答案】（1） （2） （3）的内切圆的圆心在一条定直线上 【解析】 【分析】（1）由题意求出椭圆方程中的，得解； （2）分别利用弦长公式及点到直线的距离公式求出三角形的底与高，再利用三角形面积公式求解即可； （3）先证明，从而可得的角平分线平行轴，从而可证的内切圆的圆心在一条定直线上. 【详解】解：（1）由题意知：，得，又， 所以， 故椭圆的方程为：； （2）设直线的方程为：，代入椭圆方程可得：， 设，,则， 所以 ， 又，解得或， 由题意可得， 故所在直线方程为，即， 所以点到直线的距离， 故的面积为； （3）设直线的方程为：，代入椭圆方程可得：， 设，,则， 所以=， 又 ， 即 ，所以的角平分线平行轴， 故的内切圆的圆心在一条定直线上. 【点睛】本题考查了椭圆方程的求法、弦长公式及点到直线的距离公式，重点考查了圆锥曲线中的定值问题，属综合性较强的题型. 19. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比都大于2，则称这个数列为“G型数列”． （1）若数列满足，，求证：数列是“G型数列”． （2）若数列的各项均为正整数，且，为“G型数列”，记，数列为等比数列，公比q为正整数，当不是“G型数列”时，求数列的通项公式． （3）在（2）的条件下，令，记的前n项和为，是否存在正整数m，使得对任意的，都有成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据求出数列的通项，再由“G型数列”定义判断即可； （2）根据不是“G型数列”求出公比q，得到的通项公式； （3）先证明，再由放缩法得到，求出，即可得解. 【小问1详解】 ①， 当时，②， 由得，当时，， 所以数列和数列是等比数列． 因为，，所以， 所以，， 因此，从而， 所以数列是“G型数列”． 【小问2详解】 因为数列的各项均为正整数，且为“G型数列”， 所以，所以， 因此数列递增．又， 所以，因此递增，所以公比． 又不是“G型数列”，所以存在，使得，所以， 又公比q为正整数，所以．又， 所以，则． 【小问3详解】 ， 因为， 所以，所以． 当时，， 当时， ， 即当时，，所以． 综上，，． 所以存在正整数，使得对任意的都有成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $