第11章　三角形 训练巩固课件-2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十一章　三角形 11．1.1　三角形的边 11．1　与三角形有关的线段 1．三角形的相关概念 2．三角形的分类 3．三角形的三边关系 A 课 时 目 标 D D 能力提升 素养拓展 基础夯实 C C 3 △ABD，△ACD AC AD ∠ADC 能力提升 素养拓展 基础夯实 4 1 17或19 22 2c－2a 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 B 等边 等腰 －3＜a＜－2 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 AB AC BC AB＋AC＋BC ＞ 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．一位同学用三根木棒拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是( ) 2．三角形按边分类可以用下图来表示，则图中小椭圆里的A表示( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．(2023·长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是( ) A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6 4．已知三角形的两边长分别为5 cm和8 cm，则第三边的长可以是( ) A．2 cm B．3 cm C．6 cm D．13 cm 5．如图，图中有_____个三角形，以AD为边的三角形有_________________；在△ABC中，∠B的对边是______；在△ABD中，∠B的对边 是_______；在△ACD中，边AC的对角是_________． 6．如图所示，AB＝AC，AD＝BD＝DE＝CE＝AE，则图中 共有_____个等腰三角形，有_____个等边三角形． 7．(1)如果等腰三角形的两边长分别为5和7，那么它的周长为_____________． (2)一个等腰三角形的两边长分别为4 cm和9 cm，则它的周长为_____ cm. 8．若a，b，c分别为△ABC的三边长，化简：|a－b－c|－|a＋b－c|＝__________． 9．如图所示． (1)图中共有多少个三角形？ (2)写出其中以EC为边的三角形． (3)若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，则以∠B为公共角的“共角三角形”有哪几对？ 解：(1)图中共有5个三角形． (2)△ACE，△DCE，△BCE. (3)△DBE与△CBE，△CBA与△CBE，△DBE与△CBA. 10．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为( ) A．4 B．5 C．6 D．7 11．已知一个三角形的三边长a，b，c，若满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形一定是_______三角形；若满足(a－b)(b－c)＝0，则该三角形一定是_______三角形． 12．三个数3，1－a，1－2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为______________． 13．用一条长为35 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长分别是多少？ (2)能围成有一边的长为1 cm的等腰三角形吗？ 解：(1)设底边长为x cm，腰长为3x cm，则x＋3x＋3x＝35，解得x＝5， ∴三边长分别为5 cm，15 cm，15 cm. (2)①当1 cm的边为腰时，1＋1＜33，不能构成三角形． ②当1 cm的边为底边时，则腰长为17 cm， ∵17＋1＞17， ∴能围成底边为1 cm的等腰三角形． 14．已知△ABC的三边长均为整数，△ABC的周长为奇数． (1)若AC＝8，BC＝2，求AB的长． (2)若AC－BC＝5，求AB的最小值． 解：(1)∵由三角形的三边关系知，AC－BC＜AB＜AC＋BC，即：8－2＜AB＜8＋2，∴6＜AB＜10，又∵△ABC的周长为奇数，而AC，BC为偶数，∴AB为奇数，∴AB＝7或9. (2)∵AC－BC＝5，∴AC，BC中一个为奇数、一个为偶数，又∵△ABC的周长为奇数，∴AB为偶数，∴AB＞AC－BC＝5，得AB的最小值为6. 15．已知P是△ABC内任意一点． (1)如图，连接PA，PB，PC，试比较 eq \f(1,2) (AB＋AC＋BC)与 PA＋PB＋PC的大小关系．完成下列解答过程： 解：由三角形两边的和大于第三边，得 PA＋PB＞______①，PA＋PC＞______②，PB＋PC＞______③， ①＋②＋③，得2(PA＋PB＋PC)＞________________， 即PA＋PB＋PC______ eq \f(1,2) (AB＋AC＋BC). (2)如图，连接PA，PB，求证：AC＋BC＞PA＋PB. 证明：延长BP交AC于点D，∵BC＋CD＞PB＋PD①，AD＋DP＞PA②， ∴①＋②得，BC＋CD＋AD＋PD＞PB＋PD＋PA， ∴BC＋AD＋CD＞PA＋PB， 即AC＋BC＞PA＋PB. $$第十一章　三角形 11．1　与三角形有关的线段 11．1.2　三角形的高、中线与角平分线 11．1.3　三角形的稳定性 1．三角形的高 2．三角形的中线 3．三角形的角平分线 4．三角形的稳定性 A 课 时 目 标 D 能力提升 素养拓展 基础夯实 D D 能力提升 素养拓展 基础夯实 A 三角形内部 2 直角边 AD AD BE △ABC，△BCF和△AFC 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 A A 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 A 三角形具有稳定性 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．如图，在△ABC中，画出AC边上的高，正确的图形是( ) 2．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，那么下列说法中不正确的是( ) A．DE是△BCD的中线 B．BD是△ABC的中线 C．AD＝DC，BE＝EC D．AD＝EC，DC＝BE 3．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论中错误的是( ) A．AD是△ABC的角平分线 B．∠3＝ eq \f(1,2) ∠ACB C．CE是△ACD的角平分线 D．CE是△ABC的角平分线 4．如图所示，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( ) A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 5．锐角三角形的三条高都在________________，钝角三角形有____条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的____________． 6．如图，△ABC中BC边上的高是_______，△ACD中CD边上的高是_____，△BCE中BC边上的高是______，以CF为高的三角形是____________________________． 7．已知AD为△ABC的中线，AB＝5 cm，且△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm，求AC的长度． 解：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD. ∵△ACD的周长比△ABD的周长少2 cm， ∴(AB＋BD＋AD)－(AC＋AD＋CD)＝AB－AC＝2 cm，∴AC＝AB－2＝3 cm. 8．下列说法中，正确的个数是( ) ①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条高分别交于一点． A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，四根木条钉成一个四边形框架ABCD，要使框架稳固且不活动，至少还需要添加木条( ) A．1根 B．2根 C．3根 D．4根 10．下列图形不具有稳定性的是( ) 11．(2023·吉林)如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是________________________． 12．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm， BC＝10 cm，∠CAB＝90°. (1)求AD的长和△ABE的面积． (2)求△ACE和△ABE的周长的差． 解：(1)AD＝4.8 cm， S△ABE＝ eq \f(1,2) BE·AD＝ eq \f(1,2) · eq \f(1,2) BC·AD＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ×10×4.8＝12 cm2. (2)C△ACE－C△ABE＝(AC＋CE＋AE)－(AB＋BE＋AE)＝AC－AB＝8－6＝2 cm. 13．如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，求阴影部分的面积S阴影． 解：∵D是边BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝ eq \f(1,2) S△ABC＝2 cm2.∵E是AD的中点， ∴S△BDE＝ eq \f(1,2) S△ABD＝1 cm2，S△CDE＝ eq \f(1,2) S△ACD＝1 cm2，∴S△BEC＝S△BDE＋S△CDE＝2 cm2.又∵F是CE的中点，∴S阴影＝ eq \f(1,2) S△BEC＝1 cm2. 14．等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为15和6两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边长． 解：设BD为中线，①若AB＋AD＝15，CD＋BC＝6，可得AB＝AC＝10，BC＝1； ②若AB＋AD＝6，BC＋CD＝15，可得AB＝AC＝4，BC＝13， ∵4＋4＜13，不合题意， ∴腰长为10，底边长为1. $$第十一章　三角形 11．2　与三角形有关的角 11．2.1　三角形的内角 第2课时　直角三角形的两锐角互余 1．直角三角形的两锐角互余 2．有两个角互余的三角形是直角三角形 A 课 时 目 标 A B 能力提升 素养拓展 基础夯实 A D 能力提升 素养拓展 基础夯实 A 80° 75° 60° 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 B B 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 69° 90°或40° 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数为( ) A．34° B．44° C．124° D．134° 2．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，则∠D的度数为( ) A．40° B．50° C．60° D．70° 4．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数为( ) A．30° B．40° C．50° D．60° 5．如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D.若∠C＝40°，则∠1的度数是( ) A．30° B．40° C．50° D．60° 6．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A－∠B＝70°，则∠A的度数为______． (2)在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝5∠B，则∠A的度数为______． 7．如图，△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC.若∠ADE＝155°，则∠B的度数为______． 8．如图，点E是△ABC中AC上的一个点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？ 解：△ABC是直角三角形，理由如下： ∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°. ∵∠A＋∠1＋∠ADE＝180°，∠1＝∠2，∠A＋∠ACB＋∠2＝180°， ∴∠ACB＝∠ADE＝90°，∴△ABC是直角三角形． 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，则图中与∠C(∠C除外)相等的角的个数有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．若四个三角形分别满足以下条件：①∠A＝∠B＝∠C；②∠A－∠B＝∠C；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3.则其中直角三角形有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，将一块三角板叠放在直尺上，若∠1＝21°，则∠2＝______． 12．如图，∠AOB＝50°，点P是边OB上一个动点(不与点O重合)，当∠A的度数为______________时，△AOP为直角三角形． 13．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，试说明△EPF为直角三角形． 解：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°， ∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠DFE的平分线， ∴∠PEF＝ eq \f(1,2) ∠BEF，∠PFE＝ eq \f(1,2) ∠DFE， ∴∠PEF＋∠PFE＝ eq \f(1,2) (∠BEF＋∠DFE)＝90°，∴△EPF为直角三角形． 14．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D. (1)求证：∠ACD＝∠B. (2)若AF平分∠CAB分别交CD，BC于点E，F， 求证：∠CEF＝∠CFE. 证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D， ∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B. (2)在Rt△AFC中，∠CFA＝90°－∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED＝90°－∠DAE.又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠DAE， ∴∠AED＝∠CFE.又∵∠CEF＝∠AED，∴∠CEF＝∠CFE. 15．(1)如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，猜测∠1与∠2的关系，并说明理由． (2)如图2，如果∠BAC是钝角，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由． 解：(1)∠1＝∠2.理由如下：∵AD⊥BC， CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形， ∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2. (2)结论仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°， ∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°，∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2. $$第十一章　三角形 11．2.1　三角形的内角 11．2　与三角形有关的角 第1课时 三角形的内角和定理 A 课 时 目 标 B C 能力提升 素养拓展 基础夯实 C D 20° 钝角三角形 直角三角形 能力提升 素养拓展 基础夯实 70 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C 15° 80° 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠C等于( ) A．100° B．80° C．60° D．40° 2．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC.若∠A＝62°，∠AED＝54°，则∠B的大小为( ) A．54° B．62° C．64° D．74° 3．(2023·四川)已知△ABC的三个内角度数之比为1∶2∶3，则此三角形是( ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 4．将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角∠α的度数是( ) A．45° B．60° C．70° D．75° 5．(1)在△ABC中，∠A＝60°，∠B∶∠C＝1∶5，则∠B等于______． (2)在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，则△ABC的形状是____________． (3)在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则△ABC的形状是____________． 6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D. 若∠B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的大小是______°. 7．如图，已知在△ABC中，BD是高，CE是角平分线．∠A＝69°，∠CBD＝40°，求∠BEC的度数. 解：∵BD是高，∴∠BDC＝90°， ∵∠CBD＝40°，∴∠BCD＝90°－∠CBD＝50°， ∵CE是角平分线，∴∠ACE＝ eq \f(1,2) ∠BCD＝25°， ∵∠A＝69°，∴∠BEC＝∠A＋∠ACE＝69°＋25°＝94°. 8．如图，一轮船由B处向C处航行，在B处测得C处在B的北偏东75°方向上，在海岛上的观察所A测得B在A的南偏西30°方向上，C在A的南偏东25°方向．若轮船行驶到C处，那么从C处看A，B两处的视角∠ACB是多少度？ 解：由题意，得∠EBC＝75°，∠FAB＝30°，∠CAF＝25°，∠EBA＝30°， ∴∠ABC＝∠EBC－∠EBA＝75°－30°＝45°， ∴∠ACB＝180°－45°－30°－25°＝80°. 答：从C处看A，B两处的视角∠ACB是80°. 9．如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°.AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是( ) A．45° B．54° C．40° D．50° 10．三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为110°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______． 11．如图，将三角形纸片ABC的一个角折叠，折痕为EF.若 ∠A＝80°，∠B＝68°，∠CEF＝68°，则∠CFE的度数为_______． 12．如图，按规定，一块模板中AB，CD的延长线应相交成85°角，因交点不在板上，不便测量，工人师傅连接AC，测得∠BAC＝32°，∠DCA＝65°，此时AB，CD的延长线相交所成的角是否符合规定？为什么？ 解：不符合规定，延长AB，CD交于点O. ∵在△AOC中，∠BAC＝32°，∠DCA＝65°， ∴∠AOC＝180°－∠BAC－∠DCA＝180°－32°－65°＝83°＜85°， ∴模板不符合规定． 13．如图，∠A＝65°，∠ABD＝30°，∠ACB＝72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数． 解：在△ABC中，∵∠A＝65°，∠ACB＝72°，∴∠ABC＝180°－65°－72°＝43°.∵∠ABD＝30°，∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝13°. ∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝ eq \f(1,2) ∠ACB＝36°，∴在△BCE中，∠BEC＝180°－13°－36°＝131°. 14．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线BE，CD相交于点F. (1)若∠ABC＝42°，∠ACB＝80°，求∠BFC的度数． (2)若∠A＝60°，求∠BFC的度数． (3)试探索∠A与∠BFC的数量关系． 解：(1)∠BFC＝180°－∠FBC－∠FCB＝180°－21°－40°＝119°. (2)∠BFC＝180°－(∠FBC＋∠FCB)＝180°－ eq \f(1,2) (∠ABC＋∠ACB) ＝180°－ eq \f(1,2) (180°－∠A)＝120°. (3)∠BFC＝180°－ eq \f(1,2) (180°－∠A)＝180°－90°＋ eq \f(1,2) ∠A＝90°＋ eq \f(1,2) ∠A. $$第十一章　三角形 11．2.2　三角形的外角 1．三角形的外角的定义 2．三角形内角和定理的推论 A 课 时 目 标 D C 能力提升 素养拓展 基础夯实 B B D 能力提升 素养拓展 基础夯实 A B 能力提升 素养拓展 基础夯实 100° 60° 60° 45° 130° 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 B C 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 52° 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．下列各图中，∠1是△ABC的外角的是( ) 2．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD.若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于( ) A．40° B．45° C．50° D．55° 3．若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 4．如图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( ) A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 5．一个三角形的两个内角分别是55°和65°，则这个三角形的外角不可能是( ) A．115° B．120° C．125° D．135° 6．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于( ) A．30° B．40° C．60° D．70° 7．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小是( ) A．85° B．75° C．65° D．60° 8．直接根据图示填空： (1)α＝_________．(2)α＝_________．(3)α＝_________． 9．已知：如图，点D，B，C在同一条直线上，∠A＝60°， ∠C＝50°，∠D＝25°.则∠1的度数为______． 10．如图，在△ABC中，已知∠A＝50°，CD，BE分别是AB， AC边上的高，且CD，BE交于点P.则∠BPC的度数为______． 11．如图，点A，C分别在直线BE，BD上，AD平分∠CAE，∠B＝30°，∠DAE＝55°，试求∠ACD的度数． 解：∵AD平分∠CAE，∴∠CAE＝2∠DAE.∵∠DAE＝55°，∴∠CAE＝110°， ∴∠BAC＝70°.∵∠B＝30°， ∴∠ACD＝∠B＋∠BAC＝100°. 12．如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F.若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为( ) A．65° B．70° C．75° D．85° 13．小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°.则∠1＋∠2等于( ) A．150° B．180° C．210° D．270° 14．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC. 若∠ABC＝64°，∠AEB＝70°，则∠CAD的度数是_______． 15．一个零件的形状如图所示，按规定∠A＝90°，∠B和∠C分别是32°和21°的零件为合格零件，现质检工人量得∠BDC＝149°，就断定这个零件不合格．请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由． 解：延长BD交AC于E，∵∠A＝90°，∠B＝32°， ∴∠DEC＝∠A＋∠B＝90°＋32°＝122°，∵∠C＝21°， ∴∠BDC＝∠C＋∠DEC＝21°＋122°＝143°.又∵∠BDC＝149°， ∴这个零件不合格． 16．如图，在△ABC中，AB＞AC，∠AEF＝∠AFE，EF的延长线与BC的延长线交于点G，试说明：∠G＝ eq \f(1,2) (∠ACB－∠B). 解：∵∠AEF＝∠AFE，∠AFE＝∠GFC，∴∠AEF＝∠GFC. ∵∠AEF＝∠B＋∠G，∴∠GFC＝∠B＋∠G. 又∵∠ACB＝∠GFC＋∠G，∴∠ACB＝∠B＋2∠G，∴∠G＝ eq \f(1,2) (∠ACB－∠B). 17．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，试探究∠1，∠2与∠CAB的关系． 解：∠1＋∠2＝2∠CAB. 理由如下：连接AA′. ∵∠1＝∠EAA′＋∠EA′A，∠2＝∠DAA′＋∠DA′A， ∴∠1＋∠2＝∠EAA′＋∠EA′A＋∠DAA′＋∠DA′A＝∠CAB＋∠EA′D，又∵∠CAB＝∠EA′D，∴∠1＋∠2＝2∠CAB. $$第十一章　三角形 11．3　多边形与其内角和 11．3.1　多边形 1．多边形及其有关概念 2．正多边形 A 课 时 目 标 D B 能力提升 素养拓展 基础夯实 B C 能力提升 素养拓展 基础夯实 A D n n n (n－3) 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C 3 125 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．图中不是凸多边形的是( ) 2．下列说法不正确的是( ) A．正多边形的各边都相等 B．各边都相等的多边形是正多边形 C．正三角形就是等边三角形 D．六条边都相等且六个角都相等的六边形是正六边形 3．下列说法中，正确的有( ) ①由n条线段连接起来组成的图形叫多边形；②三角形是边数最少的多边形；③n边形有n条边、n个顶点、2n个内角和2n外角；④多边形分为凹多边形和凸多边形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．从六边形的一个顶点出发，可以画m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m＋n＝( ) A.5 B．6 C．7 D．8 5．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是( ) A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 6．如图，要把边长为12的正三角形纸板剪去三个小正三角形，得到正六边形，则剪去的小正三角形的边长是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 7．一个n边形，有_____条边，有_____个内角，在每个顶点处取一个外角时，共有_____个外角，从一个顶点出发可以画_________条对角线. 8．(1)如图，画出下列多边形的对角线． (2)试探究多边形对角线条数m与多边形的边数n之间的关系． 解：(1) (2)四边形、五边形、六边形的对角线总数依次为 eq \f(（4－3）×4,2) ， eq \f(（5－3）×5,2) ， eq \f(（6－3）×6,2) ，由此可知n边形的对角线条数m＝ eq \f(（n－3）n,2) . 9．平面内，将长分别为1，5，1，1，d的线段，顺次首尾相接组成凸五边形(如图)，则d可能是( ) A．1 B．2 C．7 D．8 10．如图所示，等边△ABC的边长为1 cm，D，E分别是AB， AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处， 且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为_______cm. 11．过m边形的一个顶点能作7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，则(m－k)n＝_______． 12．用钉子将木棒AB，BC和CD分别在端点B，C处连接起来，用橡皮筋将AD连接起来，设橡皮筋的长度为x. (1)若AB＝5，BC＝11，CD＝3，试求x的最大值和最小值． (2)在(1)的条件下，若要围成一个四边形ABCD，求出x的取值范围． 解：(1)x的最大值是AB＋BC＋CD＝19，最小值是BC－(AB＋CD)＝3. (2)x的取值范围是3＜x＜19. 13．(1)如图1，O为四边形ABCD内一点，连接OA，OB，OC，OD，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ (2)如图2，点O在五边形ABCDE的边AB上，连接OC，OD，OE，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ (3)如图3，过点A作六边形ABCDEF的对角线，可以得到几个三角形？它与边数有何关系？ 解：(1)四个，它与边数相等． (2)四个，它等于边数减1. (3)四个，它等于边数减2. $$第十一章　三角形 11．3　多边形与其内角和 11．3.2　多边形的内角和 1．多边形的内角和 2．多边形的外角和 A 课 时 目 标 C B A C D 能力提升 素养拓展 基础夯实 A 720 360 5 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C C 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 720°或540°或360° 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 70 60 110 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是( ) A．900° B．720° C．540° D．360° 2．正十二边形的每一个外角等于( ) A．25° B．30° C．60° D．120° 3．一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是( ) A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 4．一个多边形的每个内角都等于140°，则这个多边形的边数是( ) A．7 B．8 C．9 D．10 5．某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 6．将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放，公共顶点为O，且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上，则∠BOE的度数是( ) A．48° B．54° C．60° D．72° 7．六边形的内角和为________°，外角和为________°. 8．(2023·湖北)若正n边形的一个外角是72°，则n＝______． 9．求如图所示的图形中x的值： 解：(1)根据图形可知：x＝360－150－90－70＝50. (2)根据图形可知：x＝180－[360－(90＋73＋82)]＝65. (3)根据图形可知：x＋x＋30＋60＋x＋x－10＝540.解得x＝115. 10．一个多边形中，每个内角都相等，并且每个外角都等于它的相邻内角的 eq \f(1,4) ，求这个多边形的边数及内角和． 解：设这个多边形的一个外角的度数为x， 由x＝ eq \f(1,4) (180°－x)得到x＝36°， ∴360÷36＝10，(10－2)×180°＝1 440°， ∴此多边形为十边形，内角和为1 440°. 11．如图，小峰从点O出发，前进5 m后向右转45°，再前进5 m后又向右转45°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走的路程是( ) A．10 m B．20 m C．40 m D．80 m 12．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O.若∠1，∠2，∠3，∠4的和等于230°，则∠BOD的度数是( ) A．40° B．45° C．50° D．55° 13．如果一个正五边形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是________________________． 14．已知两个多边形的内角和为1 800°，且两多边形的边数之比为2∶5，求这两个多边形的边数. 解：设两个多边形的边数分别为2n和5n， 则它们的内角和分别为(2n－2)·180°和(5n－2)·180°， 则(2n－2)·180°＋(5n－2)·180°＝1 800°，解得n＝2，2n＝4，5n＝10. 答：这两个多边形分别为四边形和十边形． 15．已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°. (1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由． (2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x. 解：(1)∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3…90°， ∴甲的说法对，乙的说法不对，甲同学说的边数n是4. (2)依题意，得(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，解得x＝2. 16．(1)四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°. ①如图1，若∠B＝∠C，则∠C＝______°； ②如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，则∠C＝______°； ③如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，则∠BEC＝________°. (2)如图3，当∠A＝α，∠D＝β时，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试探究∠BEC与α，β之间的数量关系． 解：(2)∵四边形ABCD中，∠A＝α，∠D＝β，∴∠B＋∠C＝360°－(α＋β)， ∵∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，∴∠EBC＋∠ECB＝180°－ eq \f(1,2) (α＋β)， ∴∠BEC＝180°－[180°－ eq \f(1,2) (α＋β)]＝ eq \f(1,2) (α＋β). $$第11章　复习总结 一、与三角形有关的线段 B C C 2＜x≤6 7.5＜x＜15 12 cm，6 cm或9 cm，9 cm 1 D D B 10° 60°或10° C B 11 110 学无止境 本课结束 1．若长度是4，6，a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是( ) A．2 B．5 C．10 D．11 2．有长度为3 cm，6 cm，8 cm，9 cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是( ) A．BE是△ABD的中线 B．BD是△BCE的角平分线 C．∠1＝∠2＝∠3 D．BC是△ABE的高 4．若三角形三边长分别为6 cm，8 cm，x cm，则最短边x的取值范围是___________． 二、三角形的内角和与外角 7．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( ) A．∠A＝26°，∠B＝64° B．∠A－∠B＝∠C C．∠B＝90°－∠A D．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4 8．如图，把一直尺放置在一个三角形纸片上，则下列结论正确的是( ) A.∠1＋∠6＞180° B．∠2＋∠5＜180° C．∠3＋∠4＜180° D．∠3＋∠7＞180° 9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是( ) A．15° B．20° C．25° D．30° 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠， 使点A落在边BC上的E处，折痕为CD，则∠EDB＝________． 11．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD.若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为____________． 12．如图，CE平分∠ACD，F为CA延长线上一点，FG∥CE交AB于点G，∠ACD＝100°，∠AGF＝20°，求∠B的度数． 解：∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝ eq \f(1,2) ∠ACD＝ eq \f(1,2) ×100°＝50°. ∵FG∥CE，∴∠AFG＝∠ACE＝50°. ∠BAC＝∠AFG＋∠AGF＝70°， 又∵∠ACD＝∠B＋∠BAC， ∴∠B＝100°－70°＝30°. 三、多边形的内角和与外角和 13．若一个正多边形的一个内角是135度，则这个多边形的边数为( ) A．6 B．7 C．8 D．10 14．如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1＋∠2＋∠3等于( ) A．90° B．180° C．210° D．270° 15．一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为_______，除去的内角的度数为_______． 四、与三角形或多边形有关的探究型问题 16．回答下列问题： (1)如图1，△ABC的内角∠ABC的平分线与外角∠ACD的平分线相交于点P，∠A＝40°，∠P的度数＝________. (2)如图2，四边形ABCD中，设∠A＝α，∠D＝β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角，如图2，若α＋β＞180°，求∠P的度数(用含α，β的代数式表示，写出详细过程). 解：(1)20°. (2)∵∠ABC＋∠DCB＝360°－(α＋β)， ∴∠P＝∠PCE－∠PBC＝ eq \f(1,2) (∠DCE－∠ABC)＝ eq \f(1,2) (180°－∠DCB－∠ABC)＝90°－ eq \f(1,2) (∠ABC＋∠DCB)＝90°－ eq \f(1,2) [360°－(α＋β)]＝ eq \f(1,2) (α＋β)－90°， 即∠P＝ eq \f(1,2) (α＋β)－90°. 17．如图． (1)将△ABC沿DE折叠成图1，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1，∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系，并说明理由． (2)若折成图2或图3，即点A落在BE或CD上时，分别写出∠DAE与∠2，∠DAE与∠1之间的关系式．(不必证明) (3)若折成图4，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式．(不必证明) 解：(1)延长BE，CD交于点P，则△BCP即为折叠前的三角形．由折叠的性质知 ∠DAE＝∠DPE.连接AP，由三角形的外角性质知∠1＝∠EAP＋∠EPA，∠2＝∠DAP＋∠DPA，则∠1＋∠2＝∠DAE＋∠DPE＝2∠DAE，即∠1＋∠2＝2∠A. (2)图2中，∠2＝2∠DAE； 图3中，∠1＝2∠DAE. (3)图4中，∠2－∠1＝2∠A. $$