2024-—2025学年人教版数学八年级上册专题训练巩固课件

专题训练(二)　 构造全等三角形的辅助线常见类型 作垂线构造三角形全等 利用“角平分线＋垂线”构造三角形全等 巧用“三垂直”(一线三等角)构造三角形全等 作平行线构造三角形全等 倍长中线法 截长补短法 学无止境 本课结束 1．如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于C，D. 求证：PC＝PD. 　 证明：如图，过点P分别作PE⊥OB于点E， PF⊥OA于点F，∵OM是∠AOB的平分线， ∴PE＝PF.∵∠1＋∠FPD＝90°，∠2＋∠FPD＝90°， ∴∠1＝∠2.在△CFP和△DEP中，∵∠CFP＝∠DEP，PF＝PE，∠1＝∠2， ∴△CFP≌△DEP(ASA)，∴PC＝PD. 2．如图，Rt△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，∠B的平分线交AC于点D，从点C向BD的延长线作垂线，垂足为E.求证：BD＝2CE. 证明：分别延长BA，CE交于点F，∵∠ABC的平分线交AC于点D，∴∠FBE＝∠CBE.∵BE⊥CF，∴∠BEF＝∠BEC＝90°.在△BFE和△BCE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FBE＝∠CBE，,BE＝BE，,∠BEF＝∠BEC，)) ∴△BFE≌△BCE(ASA)，∴CE＝EF，∴CF＝2CE.∵∠FAC＝∠BAC＝90°，∴∠FBE＋∠F＝90°，∠FBE＋∠ADB＝90°，∴∠F＝∠ADB.在△ABD和△ACF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠F＝∠ADB，,∠FAC＝∠BAD，,AB＝AC，)) ∴△ABD≌△ACF(AAS)，∴BD＝CF，∴BD＝2CE. 3．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(－2，0)，点A的坐标为(－8，3)，试求点B的坐标． 解：分别过点A和点B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E，易证△ADC≌△CEB(AAS)，∴DC＝BE，AD＝CE.∵OC＝2，AD＝CE＝3，OD＝8，∴CD＝OD－OC＝6，OE＝CE－OC＝1，∴BE＝6，∴B点的坐标是(1，6). 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为 BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF. 求证：∠ADC＝∠BDF. 证明：过点B作BG∥AC，交CF的延长线于点G，∴∠G＝∠ACE. ∵AC⊥BC，CE⊥AD，∴∠ACE＋∠DCE＝∠ADC＋∠DCE＝90°， ∴∠ACE＝∠ADC，∴∠G＝∠ADC.又∵AC＝CB，∠ACD＝∠CBG＝90°，∴△ADC≌△CGB(AAS)，∴BG＝CD＝BD.在等腰直角△ABC中，∠CAB＝∠ABC＝45°，∵BG∥AC，∴∠GBF＝∠CAB，∴∠GBF＝∠DBF.又∵BF＝BF，BG＝BD，∴△GBF≌△DBF(SAS)，∴∠G＝∠BDF，∴∠ADC＝∠BDF. 5．如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC＞2AD. (2)若AB＝6，AC＝4，求AD的取值范围． 解：(1)延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE，由SAS可证△ADC≌△EDB，则AC＝BE.在△ABE中，AB＋BE＞AE，∴AB＋AC＞2AD. (2)由(1)可知，BE＝AC＝4，则在△ABE中， 6－4＜AE＜6＋4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5. 6．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于点O. (1)求∠AOC的度数． (2)求证：AC＝AE＋CD. (1)解：∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°－∠B＝120°，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2＋∠3＝60°，∴∠AOC＝180°－60°＝120°. (2)证明：在AC上截取AF＝AE，连接OF，可证△AEO≌△AFO(SAS)，∴△OFC≌△ODC(ASA)，∴FC＝DC.∵AF＋FC＝AC，∴AC＝AE＋CD. 7．问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG＝BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论．他的结论应是__________________． (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝ eq \f(1,2) ∠BAD， 上述结论是否仍然成立，并说明理由． 解：(1)EF＝BE＋DF. (2)EF＝BE＋DF仍然成立．证明：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG.在△ABE和△ADG中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝DG，,∠B＝∠ADG，,AB＝AD，)) ∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG. ∵∠EAF＝ eq \f(1,2) ∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF.在△AEF和△GAF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AG，,∠EAF＝∠GAF，,AF＝AF，)) ∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF. $$专题训练(三)　 等腰三角形的性质和判定的运用 数学思想方法在等腰三角形中的应用 等腰三角形证明题的常见类型 全等三角形和等腰三角形的综合运用 (一)方程思想 1．如图，点K，B，C分别在GH，GA，KA上，且AB＝AC，BG＝BH，KA＝KG，求∠BAC的度数. 解：设∠BAC＝x，∵BG＝BH，KA＝KG， ∴∠G＝∠H＝∠BAC＝x. 又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2x， 在△ABC中，2x＋2x＋x＝180°，∴∠BAC＝x＝36°. (二)分类思想 2．已知△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，∠ABD＝40°，求∠C的度数． 解：当BD在三角形内时，如图1，∵∠ABD＝40°，∴∠A＝50°，∴∠C＝ eq \f(180°－50°,2) ＝65°；当BD在三角形外时，如图2，∵∠ABD＝40°， ∴∠BAD＝50°，又AB＝AC，∴∠C＝25°.综上所述，∠C的度数为65°或25°. (一)证明线段相等 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE＝AF.求证：DE＝DF. 证明：连接AD，∵AB＝AC且 BD＝CD，∴∠BAD＝∠CAD， 又∵AE＝AF，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD(SAS)， ∴DE＝DF. 4．如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到点D，延长BA到点E，并且使AE＝BD，连接CE，DE. 求证：EC＝ED. 证明：延长BD至点F，使DF＝BC，连接EF. ∵AE＝BD，△ABC为等边三角形，∴BE＝BF，∠B＝60°， ∴△BEF为等边三角形，∴∠F＝60°.易证△ECB≌△EDF(SAS)，∴EC＝ED. (二)证明角相等 5．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF.求证：∠BAF＝∠ACF. 证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠ADF. ∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠CAD， ∵∠BAF＝∠BAD＋∠FAD，∠ACF＝∠ADF＋∠CAD， ∴∠BAF＝∠ACF. (三)证明两直线垂直 6．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D点在BA的延长线上，点E在AC上，且AD＝AE，DE的延长线交BC于点F.求证：DF⊥BC. 证明：过点A作AM⊥BC.∵AB＝AC，∴AM平分∠BAC， ∴∠BAM＝∠CAM.又∵AD＝AE，∴∠D＝∠AED. 又∵∠BAC＝∠D＋∠AED，∴2∠BAM＝2∠D，∴∠BAM＝∠D，∴AM∥DE， ∴∠DFB＝∠AMB＝90°，∴DF⊥BC. 7．如图，AB＝2AC，AD平分∠BAC交BC于点D，E是AD上一点，且AE＝BE.求证：CE⊥AC. 证明：作EH⊥AB于点H，∵AE＝BE， ∴AH＝BH， 又∵AB＝2AC，∴AC＝AH. ∵AD平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAH. 又∵AE＝AE，∴△AHE≌△ACE(SAS)， ∴∠AHE＝∠ACE＝90°，∴CE⊥AC. (四)证明两直线平行 8．如图，在等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE. 求证：AE∥BC. 解：由已知，易证△ACE≌△BCD(SAS)，∴∠CAE＝∠B，又∵∠B＝∠ACB，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE∥BC. (五)证明线段和差 9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系，并说明理由． 解：AB＝AC＋CD.理由如下：如图，在AB上截取AE＝AC，连接DE.易证△AED≌△ACD(SAS)，∴ED＝CD，∠AED＝∠C. ∵∠AED＝∠B＋∠EDB，∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB. 又∵∠C＝2∠B，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE， ∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD. 10．已知△ABC与△ADE均为等边三角形，点A，E在BC的同侧． (1)如图1，点D在BC上，写出线段AC，CD，CE之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点D在BC的延长线上，其它条件不变，直接写出AC，CD，CE之间的数量关系． 解：(1)CD＋CE＝AC.证明：∵△ABC与△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE， ∴CE＝BD，∴CD＋CE＝BC＝AC. (2)CE－CD＝AC，证法同(1). 11．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为旋转中心，顺时针旋转△ABC到△EDC的位置，使点A落在BC边的延长线上的E处，连接AD和BD. (1)求证：△ADC≌△BCD. (2)请判断△ABE的形状，并证明你的结论． (1)证明：∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，由旋转可得△EDC≌△ABC，∴∠DCE＝∠ACB＝72°，BC＝DC，DE＝AB＝AC.又∵B，C，E三点共线，∴∠BCD＝108°，∠ACD＝36°.∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB＝∠ACD＝36°，又∵∠E＝36°，∴∠DBE＝∠E，∴BD＝ED，∴BD＝CA，在△ADC和△BCD中，AC＝BD，∠ACD＝∠BDC＝36°，CD＝DC，∴△ADC≌△BCD(SAS). (2)解：△ABE为等腰三角形．证明：∵△ADC≌△BCD，∴∠ADC＝∠BCD＝108°， ∴∠ADC＋∠CDE＝108°＋72°＝180°，即A，D，E三点共线，又∠BAE＝∠BAC＋∠CAD＝72°，∠ABE＝72°，∴∠BAE＝∠ABE，∴AE＝BE，即△ABE为等腰三角形． $$专题训练（四） 乘法公式的灵活运用 类 型 利用乘法公式计算求值 解：原式=(4a2+12ab十9b2+12a2-18ab一 16a2+24ab-9b2÷6ab =18ab÷6ab =3. …果 用 类型二 巧用乘法公式简便计算 类型三 乘法公式的变形技巧 3 90 25 n 5 类型四 巧用乘法公式解决整除问题和规律问题专题训练（五） 因式分解的常见类型 类 型 只提不套型 类型二 只套不提型 类型三 先提后套型 类型四 先套后提型 邢 类型五 先破后立型 再专题训练(七)　 巧用分式方程的解求字母的值或取值范围 由分式方程的解确定字母的值 D x－3＋6＝m 2 由特殊解确定字母的取值范围 D C D 1，3 ±1 利用分式方程有增根确定字母的取值 3 －6 －6或1.5 利用分式方程无解确定字母的取值 A 1．若关于x的分式方程 eq \f(2,x) ＋ eq \f(3,x－a) ＝0的解为x＝4，则常数a的值为( ) A．1 B．2 C．4 D．10 2．某同学在解关于x的分式方程 eq \f(x－3,x－2) ＋6＝ eq \f(m,x－2) 去分母时，由于常数6漏乘了公分母，最后解得x＝－1.x＝－1是该同学去分母后得到的整式方程_____________的解，据此可求得m＝_______，原分式方程的解为_____________． x＝ eq \f(17,7) 3．若关于x的分式方程 eq \f(3x,x－2) ＝ eq \f(m,2－x) ＋5的解为正数，则m的取值范围为( ) A．m＜－10 B．m≤－10 C．m≥－10且m≠－6 D．m＞－10且m≠－6 4．若关于x的方程 eq \f(1,x2－4) ＝ eq \f(m,x－2) 有解，则m应满足( ) A．m≠0 B．m≠ eq \f(1,4) C．m≠0且m≠ eq \f(1,4) D．m不存在 5．若关于x的一元一次不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥\f(4x－1,3)，,5x－1＜a)) 的解集为x≤－2，且关于y的分式方程 eq \f(y－1,y＋1) ＝ eq \f(a,y＋1) －2的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是( ) A．－26 B．－24 C．－15 D．－13 6．若关于x的分式方程 eq \f(x,x－2) ＝2＋ eq \f(m,x－2) 的解为正数，则满足条件的正整数m的值为_____________． 7．若分式方程 eq \f(2x－a,x－1) －4＝ eq \f(－2x＋a,x＋1) 的解为整数，则整数a＝__________． 8．已知分式方程 eq \f(x,x－1) －1＝ eq \f(m,（x－1）（x＋2）) 的解为非负数，求m的取值范围． 解：去分母，得x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝m，解得x＝m－2，∵x为非负数，∴m－2≥0，即m≥2，∵x≠1，m－2≠1，m≠3，x≠－2，m－2≠－2，m≠0，∴m的取值范围为m≥2且m≠3. 9．若关于x的方程2＋ eq \f(a,x－3) ＝ eq \f(x,x－3) 有增根，则a的值为________． 10．已知关于x的分式方程 eq \f(2,x－1) ＋ eq \f(mx,（x－1）（x＋2）) ＝ eq \f(1,x＋2) . (1)若方程的增根为x＝1，则m的值为________． (2)若方程有增根，则m的值为_____________． 11．已知关于x的分式方程 eq \f(2,x－2) ＋ eq \f(x＋m,2－x) ＝2. (1)若分式方程有增根，求m的值． (2)若分式方程的解是正数，求m的取值范围． 解：去分母，得2－x－m＝2x－4， (1)由分式方程有增根，得到x－2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程，得m＝0. (2)解得x＝ eq \f(6－m,3) ，根据分式方程的解为正数，得到 eq \f(6－m,3) ＞0， 且 eq \f(6－m,3) ≠2，解得m＜6且m≠0. 12．若关于x的分式方程 eq \f(2,x－3) ＋ eq \f(x＋a,3－x) ＝2无解，则a的值为( ) A．－1 B．0 C．3 D．0或3 13．若关于x的分式方程 eq \f(1,x－3) ＋ eq \f(m,x＋3) ＝ eq \f(3＋m,x2－9) 无解，则m＝________________． －1或3或－ eq \f(3,7) 14．若关于x的分式方程 eq \f(mx,x－2) ＝ eq \f(4,x－2) ＋1无解，求m的值． 解：去分母，得mx＝4＋x－2，整理，得(m－1)x＝2， ∵关于x的分式方程 eq \f(mx,x－2) ＝ eq \f(4,x－2) ＋1无解， 当x＝2时原分式方程有增根，原方程无解， ∴2(m－1)＝2，解得m＝2；当m－1＝0时，原方程无解，解得m＝1； ∴m＝2或1. $$专题训练(八)　分式方程的应用 行程问题 A 工程问题 A 利润问题 6 1．“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6 km和10 km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3∶4，结果甲比乙提前20 min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3x km/h，则依题意可列方程为( ) A． eq \f(6,3x) ＋ eq \f(1,3) ＝ eq \f(10,4x) B． eq \f(6,3x) ＋20＝ eq \f(10,4x) C． eq \f(6,3x) － eq \f(10,4x) ＝ eq \f(1,3) D． eq \f(6,3x) － eq \f(10,4x) ＝20 2．小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了 eq \f(1,2) 的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？ 解：设平常的速度是x千米/时，则有 eq \f(（1－\f(1,2)）·4x,x－20) ＋2＝5，解得x＝60， 经检验：x＝60是原方程的根，则4x＝240， 答：小强家到他奶奶家的距离是240千米． 3．施工队要铺设1 000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是( ) A． eq \f(1 000,x) － eq \f(1 000,x＋30) ＝2 B． eq \f(1 000,x＋30) － eq \f(1 000,x) ＝2 C． eq \f(1 000,x) － eq \f(1 000,x－30) ＝2 D． eq \f(1 000,x－30) － eq \f(1 000,x) ＝2 4．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：(1)甲队单独完成这项工程刚好如期完成；(2)乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；(3)若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成． 试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明你的理由． 解：设规定日期为x天，根据题意，得( eq \f(1,x) ＋ eq \f(1,x＋6) )×3＋ eq \f(1,x＋6) ×(x－3)＝1，解得x＝6，经检验：x＝6是原分式方程的解． 方案(1)所需工程款为1.2×6＝7.2(万元)； 方案(2)显然不符合要求； 方案(3)所需工程款为1.2×3＋0.5×6＝6.6(万元)，因为7.2＞6.6，所以在不耽误工期的前提下，选方案(3)最节省工程款． 5．曹阿姨端午节前后两次到超市购买同一种粽子，节前按标价购买，用了120元，节后按标价的8折购买，用了72元，两次共买了35个，则这种粽子的标价是______元/个． 6．水果店在批发市场购买某种水果销售，第一次用2 000元购进若干千克，并以每千克9元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了20%，用2 496元所购买的水果比第一次多20千克，以每千克10元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果． (1)第一次水果的进价是每千克多少元？ (2)该水果店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？ 解：(1)设第一次水果进价为每千克x元，则第二次水果进价为每千克1.2x元， 则有 eq \f(2 000,x) ＋20＝ eq \f(2 496,1.2x) ，解得x＝4， 经检验：x＝4是方程的根，且符合题意． 答：第一次水果进价是每千克4元． (2) eq \f(2 000,4) ＝500(千克)，第一次盈利为：(9－4)×500＝2 500(元)，第二次盈利为：(10－4.8)×100＋(5－4.8)×(500＋20－100)＝604(元)，2 500＋604＝3 104(元). 答：该水果店在这两次销售中，总体上是盈利，且盈利3 104元． 7．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． (1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ (2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？ (3)如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使(2)中所有的方案获利相同，a值应是多少？ 解：(1)设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则 eq \f(90,m) ＝ eq \f(100,m＋1) ，解得m＝9. 经检验：m＝9是原方程的根且符合题意． 答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元． (2)设购进A款汽车x辆．则99≤7.5x＋6(15－x)≤105.解得6≤x≤10. ∵x的正整数解为6，7，8，9，10，∴共有5种进货方案． (3)设总获利为W万元，购进A款汽车y辆，则W＝(9－7.5)y＋(8－6－a)(15－y)＝(a－0.5)y＋30－15a. 当a＝0.5时，(2)中所有方案获利相同． $$专题训练(一)　三角形中角的计算 利用内外角的关系求角度 求角平分线与高的夹角 求两内角平分线的夹角 45° 118° 求一内角平分线与一外角平分线的夹角 40° 求两外角平分线的夹角 56° 50° 75° 1．如图，已知DE分别交△ABC的边AB，AC于点D，E，交BC的延长线于点F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数. 解：∠A＝180°－∠B－∠ACB＝180°－67°－74°＝39°， ∠BDF＝∠A＋∠AED＝39°＋48°＝87°. 2．在△ABC中，已知∠A＋∠B＝80°，∠C＝2∠B，试求∠A，∠B和∠C的度数． 解：∵∠A＋∠B＝80°，∴∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝100°. ∵∠C＝2∠B，∴∠B＝ eq \f(1,2) ∠C＝50°，∴∠A＝80°－∠B＝30°. ∴∠A＝30°，∠B＝50°，∠C＝100°. 3．如图，在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高，且∠B＝40°，∠C＝60°，求∠EAD的度数． 解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，∴∠BAC＝80°. 又∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠ eq \f(1,2) BAC＝40°，∴∠AED＝80°. 又∵AD是BC边上的高，∴∠EAD＝10°. 4．如图1，在△ABC中，AE平分∠BAC(∠C＞∠B)，F为AE上的一点，且FD⊥BC于点D. (1)试推导∠EFD与∠B，∠C之间的数量关系. (2)如图2，当点F在AE的延长线上时，其余的条件都不变，判断在(1)中推导出的结论是否还成立？ 解：(1)过点A作BC边上的高AG，则 ∠EAG＝90°－∠AEG＝90°－(∠B＋∠BAE)＝90°－∠B－ eq \f(1,2) ∠BAC＝90°－∠B－ eq \f(1,2) (180°－∠B－∠C)＝ eq \f(1,2) (∠C－∠B). ∵FD⊥BC，∴FD∥AG，∴∠EFD＝∠EAG＝ eq \f(1,2) (∠C－∠B). (2)(1)中结论仍然成立，方法同(1). 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB，∠CBA的角平分线相交于点D，BD的延长线交AC于点E.则∠ADE的度数为______． 6．如图：△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD和CD交于点D，请探究∠D和∠A之间的关系． (1)若∠A＝56°，则∠D的度数为____． (2)由(1)中的计算过程启发，请你探究得出∠D与∠A之间的关系为∠D＝________________，请将你的探究过程表述出来． 90°＋ eq \f(1,2) ∠A 解：(2)∵BD，CD是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠1＝ eq \f(1,2) ∠ABC，∠3＝ eq \f(1,2) ∠ACB， ∴∠BDC＝180°－(∠1＋∠3)＝180°－ eq \f(1,2) (∠ABC＋∠ACB)＝ 180°－ eq \f(1,2) (180°－∠A)＝90°＋ eq \f(1,2) ∠A. 7．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D. (1)若∠A＝80°，则∠D的度数为______． (2)若∠A＝α，求∠D的度数． 解：∵∠DBC＝ eq \f(1,2) ∠ABC，∠DCE＝ eq \f(1,2) ∠ACE， ∠A＋∠ABC＝∠ACE，∠D＋∠DBC＝∠DCE， ∴ eq \f(1,2) (∠A＋∠ABC)＝∠D＋ eq \f(1,2) ∠ABC，∴∠D＝ eq \f(1,2) ∠A＝ eq \f(1,2) α. 8．如图，已知DB，DC分别是△ABC的外角∠EBC和∠FCB的平分线． (1)若∠ABC＝46°，∠ACB＝66°，则∠D的度数为______． (2)若∠A＝80°，则∠D的度数为______． (3)试探究∠D与∠A之间的数量关系，并说明理由． 解：(3)∠D＝90°－ eq \f(1,2) ∠A. 理由：∵∠CBD＝ eq \f(1,2) (∠A＋∠ACB)，∠BCD＝ eq \f(1,2) (∠A＋∠ABC)，∴∠D＝180°－∠CBD－∠BCD＝180°－∠A－ eq \f(1,2) (∠ABC＋∠ACB)＝180°－∠A－ eq \f(1,2) (180°－∠A)＝90°－ eq \f(1,2) ∠A，即∠D＝90°－ eq \f(1,2) ∠A. 9．如图，在△ABC中，BD，CD是内角平分线，BP，CP是∠ABC，∠ACB的外角平分线，分别交于点D，P. (1)若∠A＝30°，则∠BDC＝105°，∠BPC＝________． (2)若∠A＝m°，则∠BDC＝____________，∠BPC＝____________． (3)不论∠A为多少时，探索∠D＋∠P的值是变化还是不变化，为什么？ (90＋ eq \f(m,2) )° (90－ eq \f(m,2) )° 解：(3)∵∠D＋∠P＝90°＋ eq \f(m,2) °＋90°－ eq \f(m,2) °＝180°为定值， ∴不变． $$专题训练（六） 分式的运算 类 型 分式运算的常见技巧 (一)分式与整式相加减，把整式看作一个分母为1的式子与分式通分 (二)先通分，再约分 (三)先约分，再通分 ■ (四)灵活运用分配律 类型二 分式化简求值的常用方法 (一)化简后直接代入求值 (二)化简后选择合适的数代入求值 P7EI 号多 师 (三)化简后代入消元求值 教 (四)化简后整体代入求值 ”