第13章　轴对称 训练巩固课件-2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十三章　轴对称 13．1　轴对称 13．1.1　轴对称 1．轴对称图形 2．两个图形成轴对称 3．轴对称的性质 A 课 时 目 标 C A 能力提升 素养拓展 基础夯实 B B 能力提升 素养拓展 基础夯实 甲，乙，丙，丁 丁 90° 能力提升 素养拓展 基础夯实 65 能力提升 素养拓展 基础夯实 B ①②④⑥⑦ 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 10∶51 36 cm 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 50° 3 4 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．(2023·云南)中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为( ) 2．下列图形： 是轴对称图形且有两条对称轴的是( ) A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 3．下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是( ) 4．如图，若△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O.则下列说法中不一定正确的是( ) A．AC＝A′C′ B．AB∥B′C′ C．AA′⊥MN D．BO＝B′O 5．如图所示： 其中，轴对称图形有_________________，与甲成轴对称的图形有______． 6．如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B＝________． 7．如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD， 其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠ACD的度数是______°. 8．判断下列图形是否是轴对称图形．若是，请画出它们所有的对称轴． 解：②③⑤⑥是轴对称图形，画对称轴略． 9．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是( ) A．AM＝BM B．AP＝BN C．∠MAP＝∠MBP D．∠ANM＝∠BNM 10．下列平面图形一定是轴对称图形的有_________________(填序号). ①线段，②角，③三角形，④等腰三角形，⑤平行四边形，⑥长方形，⑦圆． 11．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是___________． 12．如图，在长方形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点E，F分别在AB，CD上，将长方形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在长方形ABCD外部的点A′，D′处，则整个阴影部分图形的周长为___________． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°.若将△ABC沿 CD折叠，使点B落在AC边上的点E处，则∠ADE的度数是_______． 14．如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠ABC＝125°，∠A＋∠D＝155°，AB＝3 cm，EH＝4 cm. (1)EF＝_____cm，AD＝_____cm. (2)求∠G的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 解：(2)∵∠ABC＝125°，∠A＋∠D＝155°，∴∠C＝80°，∴∠G＝∠C＝80°. (3)∵对称轴垂直平分对称点的连线，∴直线MN垂直平分BF. 15．如图是由三个阴影的小正方形组成的图形，请你在三个网格图中，各补画出一个有阴影的小正方形，使补画后的图形为轴对称图形． 解：所补画的图形如图所示： $$第十三章　轴对称 13．1　轴对称 13．1.2　线段的垂直平分线的性质 第1课时　线段的垂直平分线的性质和判定 1．线段垂直平分线的性质 2．线段垂直平分线的判定 3．经过直线外一点作已知直线的垂线 A 课 时 目 标 C B 能力提升 素养拓展 基础夯实 6 D 能力提升 素养拓展 基础夯实 8 cm 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C 3 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝6，则线段PB的长度为( ) A．3 B．5 C．6 D．8 2．如图，AB是CD的垂直平分线．若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是( ) A．3.9 cm B．7.8 cm C．4 cm D．4.6 cm 3．如图，直线PO与AB交于点O，PA＝PB，则下列结论中正确的是( ) A．AO＝BO B．PO⊥AB C．PO是AB的垂直平分线 D．P点在AB的垂直平分线上 4．如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC.若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是_____． 5．如图，已知△ABC的两边AB和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E.若边BC长为8 cm，则△ADE的周长为_______． 6．如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝3 cm，BD＝2 cm，求BE的长. 解：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AB＝AC. ∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE. ∵AB＝3 cm，BD＝2 cm，∴CE＝3 cm，CD＝2 cm， ∴BE＝BD＋DC＋CE＝7 cm. 7．如图，在钝角△ABC中，∠A是钝角，求作AC边上的高BH.(尺规作图，保留作图痕迹，不写过程)　 解：BH即为所求，如图． 8．如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( ) A．AB＝AD B．AC平分∠BCD C．AB＝BD D．△BEC≌△DEC 9．如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P，且AP＝3，那么PC＝_____． 10．如图所示，AB＝AC，DB＝DC，E是AD延长线上的一点，BE是否与CE相等？试说明理由. 解：相等．连接BC，∵AB＝AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上．同理，D点也在线段BC的垂直平分线上． ∵两点确定一条直线，∴直线AD是线段BC的垂直平分线， ∵E是AD延长线上的一点，∴BE＝CE. 11．如图，AF平分∠BAC，P是AF上任意一点，过点P向AB，AC作垂线PD，PE，垂足分别为D，E，连接DE.求证：AF垂直平分DE. 证明：∵AF平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC， ∴PD＝PE，∴点P在DE的垂直平分线上． 在Rt△PAE和Rt△PAD中，PA＝PA，PE＝PD， ∴Rt△PAE≌Rt△PAD(HL)， ∴AE＝AD，∴点A在DE的垂直平分线上， ∴AF垂直平分DE. 12．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接AD，AE，△ADE的周长为12 cm. (1)求BC的长． (2)分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为26 cm，求OA的长． 解：(1)∵l1垂直平分AB，∴DB＝DA，同理EA＝EC， ∴BC＝BD＋DE＋EC＝DA＋DE＋EA＝12 cm. (2)∵l1垂直平分AB，∴OB＝OA，同理OA＝OC， ∴OA＝OB＝OC.又∵△OBC的周长为26 cm，BC＝12 cm， ∴OB＋OC＝26－12＝14 cm， ∴OA＝OB＝OC＝7 cm. 13．如图，已知△ABC中，BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，EG⊥AC交AC于点G.求证： (1)BF＝CG.(2)AF＝ eq \f(1,2) (AB＋AC). 证明：(1)连接BE，CE.∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC，∴EF＝EG. ∵DE垂直平分BC，∴EB＝EC. 在Rt△EFB和Rt△EGC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(EF＝EG，,EB＝EC，)) ∴Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)，∴BF＝CG. (2)∵BF＝CG，∴AB＋AC＝AB＋BF＋AG＝AF＋AG. 又易证Rt△AEF≌Rt△AEG(HL)， ∴AF＝AG，∴AF＝ eq \f(1,2) (AB＋AC). $$第十三章　轴对称 13．1　轴对称 13．1.2　线段的垂直平分线的性质 第2课时 1．线段垂直平分线的画法 2．作对称轴 A 课 时 目 标 A C 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．如图所示的尺规作图是作( ) A.线段的垂直平分线 B．一个半径为定值的圆 C．角的平分线 D．一个角等于已知角 2．下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是( ) A．① B．② C．③ D．④ 3．如图，下面的图形是轴对称图形，请找出每个图形的所有对称轴，并在各图上画出其对称轴． 4．如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，现要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？ 解：连接AB，作线段AB的垂直平分线，与直线l的交点即为所求作的点．作图略． 5．在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC中，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA＋PB＝BC.下面是四个同学的作法，其中正确的是( ) 6．如图，△ABC与△A′B′C′关于某直线对称，请你作出它们的对称轴． 解：图略．连接AA′，作其垂直平分线即可． 7．如图，AO，OB是两条笔直的交叉公路，M，N是两个村庄，现准备建一个联通信号塔，要求信号塔到两个村庄的距离相等，并且到两条公路的距离也相等，同时在∠AOB所在区域内，则信号塔应修在什么位置？在图中标出塔的位置． 解：作∠AOB的平分线与线段MN的垂直平分线的交点，即为所求，图略． $$第十三章　轴对称 13．2　画轴对称图形 第2课时　用坐标表示轴对称 1．点(x，y)关于x轴、y轴对称的点的坐标 2．图形关于坐标轴对称 A 课 时 目 标 A B 能力提升 素养拓展 基础夯实 (2，1) C 垂直 7 能力提升 素养拓展 基础夯实 (－3，－2) (3，－2) (－3，2) 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 B C (－5，12) 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．在平面直角坐标系中，点A(2，1)与点B关于x轴对称，则点B的坐标是( ) A．(2，－1) B．(－2，1) C．(－2，－1) D．(2，1) 2．如图，△ABC与△DFE关于y轴对称，已知A(－4，6)，B(－6，2)，E(2，1)，则点D的坐标为( ) A．(－4，6) B．(4，6) C．(－2，1) D．(6，2) 3．如图，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形，又是关于y轴成轴对称的图形．若点A的坐标是(1，3)，则点M和点N的坐标分别是( ) A．M(1，－3)，N(－1，－3) B．M(－1，－3)，N(－1，3) C．M(－1，－3)，N(1，－3) D．M(－1，3)，N(1，－3) 4．点M(－2，1)关于y轴对称的点N的坐标是______，直线MN与y轴的位置关系是______． 5．已知点A(x，－4)与点B(3，y)关于x轴对称，那么x＋y的值为_____． 6．如图，以长方形ABCD的中心为原点建立直角坐标系，点A的坐标是(3，2)，则点B的坐标是________，点C的坐标是__________，点D的坐标是__________． 7．已知点A(a＋2b，1)，B(－2，2a－b). (1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值． (2)若点A，B关于y轴对称，求a＋b的值． 解：(1)由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝－2，,2a－b＝－1，)) 解得a＝－ eq \f(4,5) ，b＝－ eq \f(3,5) . (2)由题意，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝2，,2a－b＝1，)) 解得a＝ eq \f(4,5) ，b＝ eq \f(3,5) ，∴a＋b＝ eq \f(7,5) . 8．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中点A，B，C的坐标分别为A(－2，1)，B(－4，5)，C(－5，2). (1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，其中点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1. (2)写出点A1，B1，C1的坐标． 解：(1)画图略． (2)点A1，B1，C1的坐标分别为(2，1)，(4，5)，(5，2). 9．在平面直角坐标系中，将点A(－1，－2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为( ) A．(－3，－2) B．(2，2) C．(－2，2) D．(2，－2) 10．在平面直角坐标系中：①点P(－2，1)与Q(2，－1)关于x轴对称；②点M(－2，1)与N(2，1)关于y轴对称；③与点(－3，3)关于y轴对称的点在第二象限；④点P(2，a)，Q(b，－3)关于x轴对称，则a－b的值为1.其中正确的是( ) A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 11．已知点A(a，b)关于x轴对称点的坐标是(a，－12)，关于y轴对称点的坐标是(5，b)，则A点的坐标是____________． 12．如图所示的坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标依次为A(－1，2)，B(－4，1)，C(－2，－2). (1)直接写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1顶点的坐标，A1(________，________)，B1(________，________)，C1(________，________). (2)请在这个坐标系中作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2. (3)计算△A2B2C2的面积． 解：(1)A1(－1，－2)，B1(－4，－1)，C1(－2，2). (2)画图略． (3)△A2B2C2的面积为3×4－ eq \f(1,2) ×1×3－ eq \f(1,2) ×1×4－ eq \f(1,2) ×2×3＝5.5. 13．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点均在格点上． (1)在直角坐标系内画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标． (2)若点P与点C关于y轴对称，则点P的坐标为________. (3)如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是．　 解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求． A′(1，－1)，B′(4，－1)，C′(5，－3). (2)(－5，3). (3)(0，3)或(5，－1)或(0，－1). 14．如图，平面直角坐标系中，A(－2，1)，B(－3，4)，C(－1，3)，过点(1，0)作x轴的垂线l. (1)作出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1. (2)直接写出A1(______，______)，B1(______，______)，C1(______，______). (3)在△ABC内有一点P(m，n)，则点P关于直线l的对称点P1的坐标为(________，________)(结果用含m，n的式子表示). 　 解：(1)如图，△A1B1C1为所作． (2)A1(4，1)，B1(5，4)，C1(3，3). (3)(2－m，n). $$第十三章　轴对称 13．2　画轴对称图形 第1课时 1．补全轴对称图形 2．作一个关于直线对称的图形 A 课 时 目 标 D C 能力提升 素养拓展 基础夯实 解：如图所示． 能力提升 素养拓展 基础夯实 3 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．一名同学用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是( ) 2．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形，将纸片展开，得到的图形是( ) 3．如图，画出△ABC关于直线l对称的图形． 4．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有________种． 5．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点． (1)画出△ABC关于直线NM对称的△A1B1C1. (2)写出AA1的长度． 解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求． (2)由图可得，AA1＝10. 6．在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下图中画出所有这样的△DEF. 解：如图所示． $$第十三章　轴对称 13．3　等腰三角形 13．3.1　等腰三角形 第2课时　等腰三角形的判定 1．等腰三角形的判定 2．用尺规作等腰三角形 A 课 时 目 标 C A A 能力提升 素养拓展 基础夯实 80 等腰三角形 能力提升 素养拓展 基础夯实 5 cm 9 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 B 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 5 45°或67.5°或90° 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是( ) A．∠A＝40°，∠B＝50° B．∠A＝40°，∠B＝60° C．∠A＝20°，∠B＝80° D．∠A＝40°，∠B＝80° 2．如图所示，已知OC平分∠AOB，CD∥OB.若OD＝3 cm，则CD等于( ) A．3 cm B．4 cm C．1.5 cm D．2 cm 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别是∠ABC，∠BCD的平分线，则图中的等腰三角形有( ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．如果一个三角形的一个内角平分线垂直于对边，则这个三角形是_____________． 5．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为_______海里． 6．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N.若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_______． 7．如图，在△ABC中，BD⊥AC，∠A＝50°，∠CBD＝25°.若AC＝5 cm，则AB＝_______． 8．如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形． 　　 证明：如图，∵DE∥AC，∴∠1＝∠3. ∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3， ∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°， ∴∠B＝∠BDE，∴△BDE是等腰三角形． 9．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的顶点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．则方格图中满足条件的点C的个数是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，在△ABC中，BC＝5 cm，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长为_____ cm. 11．如图，已知点P是射线ON上一动点(即P可在射线ON上运动)，∠AON＝45°，当∠A＝________________________时，△AOP为等腰三角形． 12．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E. (1)求证：∠EBD＝∠EDB. (2)当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由． (1)证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC， ∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB. (2)解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC.∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE，∴CD＝BE，由(1)得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED. 13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC. (1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形) (2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程． 解：(1)①②；①③. (2)选①③，证明如下： ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB. ∵∠EBO＝∠DCO，且∠ABC＝∠EBO＋∠OBC，∠ACB＝∠DCO＋∠OCB， ∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形． 14．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点． (1)写出点O到△ABC的三个顶点A，B，C的距离的大小关系． (2)若点M，N分别是AB，AC上的点，且BM＝AN，试判断△OMN的形状，并证明你的结论． 解：(1)连接AO，∵Rt△ABC为等腰三角形，OB＝OC， ∴AO⊥CB，∠C＝∠B＝∠CAO＝∠BAO＝45°，∴OC＝AO＝OB. (2)△OMN为等腰直角三角形，证明如下： ∵AB＝AC，BM＝AN，∴CN＝AM， 在△AMO和△CNO中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AM＝CN，,∠MAO＝∠NCO，,AO＝CO，)) ∴△AMO≌△CNO，∴MO＝NO， ∠AOM＝∠CON，∵∠CON＋∠AON＝90°，∴∠AOM＋∠AON＝∠NOM＝90°， ∴△OMN是等腰直角三角形． $$第十三章　轴对称 13．3　等腰三角形 第1课时 13．3.1　等腰三角形 1．等边对等角 2．等腰三角形的三线合一 A 课 时 目 标 C C D 能力提升 素养拓展 基础夯实 B 90° 1.5 cm 能力提升 素养拓展 基础夯实 35° 34° 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 A 63°或27° 60° 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( ) A．过顶点的直线 B．底边的垂线 C．顶角的角平分线所在的直线 D．腰上的高所在的直线 2．(2023·宿迁)若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是( ) A．70° B．45° C．35° D．50° 3．等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( ) A．55°，55° B．70°，40°或70°，55° C．70°，40° D．55°，55°或70°，40° 4．如图，直线l1∥l2，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1＋∠2的度数是( ) A．60° B．70° C．80° D．90° 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，BC＝3 cm，则∠ADB的度数是_________，BD的长是_________． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D.若∠BAC＝70°，则∠BAD＝_________． 7．如图，在△ABC中，点D是边BC上的一点．若AB＝AD＝DC，∠BAD＝44°，则∠C的大小为________． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，且BD＝DC. 求证：∠ABD＝∠ACD. 证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. ∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB， ∴∠ABC－∠DBC＝∠ACB－∠DCB，即∠ABD＝∠ACD. 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E. 求证：∠CBE＝∠BAD. 证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC， ∠BAD＝∠CAD，∵BE⊥AC，∴∠BEC＝∠ADC＝90°， ∴∠CBE＝90°－∠C，∠CAD＝90°－∠C， ∴∠CBE＝∠CAD，∴∠CBE＝∠BAD. 10．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数为( ) A.30° B．32° C．34° D．36° 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为__________________． 12．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF的度数为________． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，点P是AD上的一点，且PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，求证：PE＝PF. 证明：在△ABC中， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是∠BAC的平分线． 又∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴PE＝PF. 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB，求∠A的度数． 解：∵DE＝EB，∴设∠BDE＝∠ABD＝x，∴∠AED＝∠BDE＋∠ABD＝2x. ∵AD＝DE，∴∠AED＝∠A＝2x，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝3x.∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝3x.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC中，3x＋3x＋2x＝180°， 解得x＝22.5°，∴∠A＝2x＝22.5°×2＝45°. 15．小明在完成一道几何证明问题时，往往会思考看是否会有不同的证明方法．例如：在如图1所示的△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且BD＝BC，求证：∠ABC＝2∠ACD.他发现，除了方法1直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法： 方法2：如图2，作BE⊥CD，垂足为E. 方法3：如图3，作CF⊥AB，垂足为F. 根据阅读材料，请你从三种方法中任选一种方法，证明∠ABC＝2∠ACD，并写出其证明过程． 解：方法1：在图1中，∵∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠ACD.又∵BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC.∴△BCD中，∠ABC＝180°－2∠BCD＝180°－2(90°－∠ACD)＝2∠ACD. 方法2：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝∠CBE＋∠BCE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE.又∵BC＝BD，BE⊥CD，∴∠ABC＝2∠CBE，∴∠ABC＝2∠ACD. 方法3： ∵∠ACB＝90°，∠BFC＝90°，∴∠A＋∠B＝∠BCF＋∠B＝90°，∴∠A＝∠BCF.∵BC＝BD，∴∠BCD＝∠BDC，即∠BCF＋∠DCF＝∠A＋∠ACD，∴∠DCF＝∠ACD，∴∠ACF＝2∠ACD.又∵∠B＋∠BCF＝∠ACF＋∠BCF＝90°，∴∠B＝∠ACF，∴∠B＝2∠ACD. $$第十三章　轴对称 13．3　等腰三角形 13．3.2　等边三角形 第2课时　含30°角的直角三角形的性质 含30°角的直角三角形的性质 A 课 时 目 标 B D 3 cm 能力提升 素养拓展 基础夯实 B 4 cm2 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 6 4 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则BC∶AB等于( ) A．2∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．2∶3 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是( ) A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7 3．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE＝6 cm，则AC等于______． 5．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上， PM＝PN.若MN＝2，则OM＝( ) A．3 B．4 C．5 D．6 6．等腰三角形顶角为30°，腰长是4 cm，则三角形的面积是__________． 7．如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上．若∠AFE＝30°，EC＝3，则EF＝_____． 8．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上．过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.若CD＝2，则DF的长为_____． 9．如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F. (1)若AD＝2，求AF的长． (2)求当AD取何值时，DE＝EF? 解：(1)∵BD＝AB－AD＝6，又∵∠BDE＝30°，∴BE＝ eq \f(1,2) BD＝3，∴EC＝5， ∵∠FEC＝30°，∴FC＝ eq \f(1,2) EC＝ eq \f(5,2) ，∴AF＝8－ eq \f(5,2) ＝ eq \f(11,2) . (2)当DE＝EF时，△BDE≌△CEF(AAS)，∴BE＝CF. ∵CF＝ eq \f(1,2) CE，∴BE＝ eq \f(1,2) CE.又∵BE＋CE＝8，∴BE＝ eq \f(8,3) ，∴BD＝ eq \f(16,3) ，∴AD＝ eq \f(8,3) . $$第十三章　轴对称 13．3　等腰三角形 第1课时 13．3.2　等边三角形 1．等边三角形的性质 2．等边三角形的判定 A 课 时 目 标 D D 能力提升 素养拓展 基础夯实 C B 能力提升 素养拓展 基础夯实 48 4 能力提升 素养拓展 基础夯实 75° 能力提升 素养拓展 基础夯实 A D 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 6 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB的度数为( ) A．25° B．60° C．85° D．95° 2．有下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有( ) A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 3．如图，在△ABC中，D，E是BC上两点，且BD＝DE＝AD＝AE＝EC，则∠BAC的度数是( ) A．90° B．108° C．120° D．135° 4．如图，直线m∥n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F.若∠1＝140°，则∠2的度数是( ) A．80° B．100° C．120° D．140° 5．如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路(B，C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置).测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝______米． 6．如图，△ABC中，AD为角平分线．若∠B＝∠C＝60°，AB＝8，则CD的长度为______． 7．如图所示，△ABC为等边三角形，AD⊥BC， AE＝AD，则∠ADE＝________． 8．如图所示，锐角△ABC中，∠A＝60°，它的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC，求证：△ABC是等边三角形． 证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O， ∴∠BEC＝∠BDC＝90°.又∵∠BOE＝∠COD，∴∠EBO＝∠DCO. ∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形． 又∵∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形． 9．如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，有下列结论：①AD⊥BC；②EF＝FD；③BE＝BD.其中正确结论的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0 10．如图所示，等边三角形ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，那么这个图形中的等腰三角形共有( ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 11．如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是_____． 12．如图所示，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F. (1)求证：AD＝CE. (2)求∠DFC的度数． (1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠BAC.又∵BD＝AE， ∴△ABD≌△CAE，∴AD＝CE. (2)解：∵△ABD≌△CAE，∴∠BAD＝∠ACE，∴∠DFC＝∠FAC＋∠ACF＝∠FAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°. 13．如图所示，等边△ABC中，D为BC边上一点，∠DAE＝60°，AE交∠ACB的外角平分线于点E，求证：△ADE是等边三角形． 证明：∵CE是等边△ABC的外角平分线，∴∠ACE＝∠B＝60°， ∵∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC， ∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∴△ADE是等边三角形． 14．如图，点B，C，D在同一条直线上，△ABC，△CDE都是等边三角形．BE交AC于点F，AD交CE于点H. (1)求证：△BCE≌△ACD. (2)判断△CFH的形状，并说明理由． (3)直接写出FH与BD的位置关系． (1)证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD(SAS). (2)解：△CFH是等边三角形，∵△BCE≌△ACD，∴∠FBC＝∠HAC.∵∠ACH＝180°－∠ACB－∠ECD＝60°＝∠ACB，BC＝AC，△BCF≌△ACH(ASA)，∴CF＝CH.∵CF＝CH，∠FCH＝60°，∴△CFH是等边三角形． (3)解：FH∥BD. $$第十三章　轴对称 13．4　课题学习　最短路径问题 最短路径问题 A 课 时 目 标 C D 能力提升 素养拓展 基础夯实 B 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 9 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 30° 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．在小河l的同侧有两个村庄，欲在河边建一个泵站分别为两个村庄供水，为了节约资金，泵站的选择点有四个，你认为最合适的一个是( ) 2．A，B两地在一条河的两岸，现要在河上架一座桥MN.若河岸平行，MN与河岸垂直，想要使路径AMNB最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是( ) 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是( ) A．BC B．CE C．AD D．AC 4．(1)如图1，A，B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使|PB－PA|的值最大． (2)如图2，点A，B在直线l的两旁，在直线l上求作一点P，使|PA－PB|的值最大．(不写画法，请保留作图痕迹) 解：(1)如图1所示．(2)如图2所示． 5．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点．当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( ) A.50° B．60° C．70° D．80° 6．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于点E，F.若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为_____． 7．如图，P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5 cm，则∠AOB的度数是____． 8．在某一地方，有条小河和草地．一天，某牧民的计划是从A处的牧场牵着一匹马到草地牧马，再到小河饮水，最后回到B点．你能为他设计一条最短的路线吗？(保留作图痕迹，不需要证明) 解：如图所示，路线AC—CD—DB即为所求． $$第13章　复习总结 一、轴对称和轴对称图形 A D 40° 4 二、垂直平分线的性质与判定 50° 13 三、最短路径问题 D 4.8 四、等腰三角形的性质与判定 B C C 15°或75° 10° 五、与等腰三角形相关的探究型问题 ＝ 学无止境 本课结束 1．下列图案中，是轴对称图形的是( ) 2．在平面直角坐标系xOy中，点A与点A1关于x轴对称，点A与点A2关于y轴对称．已知点A1(1，2)，则点A2的坐标是( ) A．(－2，1) B．(－2，－1) C．(－1，2) D．(－1，－2) 3．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处．若∠1＝115°，则图中∠2的度数为______． 4．如图的2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有______个． 5．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝3 cm，△DBC的周长为8 cm，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是______，△ABC的周长为______ cm. 6．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，连接BE，CD交于点F. (1)求证：∠ABE＝∠ACD. (2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC. 证明：(1)在△ABE和△ACD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠A＝∠A，,AE＝AD，)) ∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴∠ABE＝∠ACD. (2)连接AF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD， ∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，∴点A，F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC. 7．∠AOB的边OA上有两点M，N，在∠AOB的平分线OC上找一点P，使MP＋NP最小，正确的作法是( ) 8．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC.如果M，N分别为BD，BC上的动点，那么CM＋MN的最小值是______． $$