第12章　全等三角形 训练巩固课件-2024-2025学年人教版数学八年级上册

第十二章　全等三角形 12．1　全等三角形 1．全等形 2．全等三角形及相关概念 3．全等三角形的性质 A 课 时 目 标 B B D 能力提升 素养拓展 基础夯实 A △ADC AD ∠DCA 能力提升 素养拓展 基础夯实 ≌ AE AD BC ∠E 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C D 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 120 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．下列图形中与已知图形全等的是( ) 2．如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE＝( ) A．∠A B．∠B C．∠EMF D．∠AFB 3．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是( ) A．72° B．60° C．58° D．50° 4．如图，△ABC≌△DEF，BE＝4，AE＝1，则DE的长是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 5．如图，沿直线AC对折，△ABC与△ADC重合，则△ABC≌________，AB的对应边是________，∠BCA的对应角是________． 6．如图，若△ABC绕点A旋转一定的角度就得到△ADE，那么△ABC______△ADE，其中AB与______，______与DE，AC与______是对应边，∠C与______是对应角． 7．如图，△ABD≌△CBD.若∠A＝80°，∠ABC＝70°，求∠ADC的度数． 解：∵△ABD≌△CBD， ∴∠C＝∠A＝80°， ∴∠ADC＝360°－∠A－∠ABC－∠C＝360°－80°－80°－70°＝130°. 8．如图，△ACE≌△DBF，AC＝6，BC＝4. (1)求证：AE∥DF. (2)求AD的长度． (1)证明：∵△ACE≌△DBF， ∴∠A＝∠D，∴AE∥DF. (2)解：∵△ACE≌△DBF，∴AC＝DB， ∴AB＝DC＝AC－BC＝6－4＝2， ∴AD＝AC＋CD＝6＋2＝8. 9．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE.若∠CAE＝65°， ∠E＝70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为( ) A．60° B．75° C．85° D．90° 10．如图，Rt△ABE≌Rt△ECD，点B，E，C在同一条直线上，有下列结论： ①AE＝ED；②AE⊥ED；③BC＝AB＋CD；④AB∥DC.其中成立的是( ) A．仅① B．仅①③ C．仅①③④ D．①②③④ 11．已知：如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°， ∠C＝25°，则∠AEB＝__________度． 12．如图，△ABD≌△EBC，AB＝3 cm，BC＝5 cm，A，B，C三点在同一条直线上． (1)求DE的长． (2)DB⊥AC吗？为什么？ 解：(1)由△ABD≌△EBC得AB＝EB， BD＝BC，DE＝BD－BE＝BC－AB＝2 cm. (2)DB⊥AC，∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC， 又∵∠ABD＋∠EBC＝180°，∴∠ABD＝90°，∴DB⊥AC. 13．如图，△ABC≌△ADE，∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC，DE相交于点F，BC，AD相交于点G，求∠DFB的度数． 解：∵△ABC≌△ADE，∴∠B＝∠D， ∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE. ∵∠DAC＝60°，∠BAE＝100°， ∴∠BAD＝ eq \f(1,2) (∠BAE－∠DAC)＝20°. ∵在△ABG和△FDG中，∠B＝∠D， ∠AGB＝∠FGD，∴∠DFB＝∠BAD＝20°. 14．如图，A，D，E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明： (1)BD＝DE＋CE. (2)△ABD满足什么条件时，BD∥CE? 解：(1)∵△BAD≌△ACE， ∴BD＝AE，AD＝CE. 又∵AE＝AD＋DE， ∴BD＝AE＝DE＋CE. (2)当∠ADB＝90°时，BD∥CE. $$第十二章　全等三角形 12．2　三角形全等的判定 第2课时　边角边(SAS) 1．用“SAS”判定两个三角形全等 2．利用“SAS”判定三角形全等来证明线段或角相等 A 课 时 目 标 D B 能力提升 素养拓展 基础夯实 边角边或SAS ① 有两边及夹角对应相等的两个三角形全等 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C B 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 82° 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．下列三角形中是全等三角形的一组是( ) A．Ⅰ和Ⅱ B．Ⅱ和Ⅳ C．Ⅱ和Ⅲ D．Ⅰ和Ⅲ 2．如图，AC与BD相交于点O.若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需条件( ) A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 3．如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连接在一起，使AA′，BB′可以绕着O自由转动，就做成了一个测量工具，则AB的长等于内槽宽A′B′，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是________________． 4．如图，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成①，②两块，现需配成同样大小的一块，为了方便起见，需带上________块，其理由是________________________________________． 5．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC.求证：△ABD≌△ACD. 证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. 在△ABD和△ACD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAD，,AD＝AD，)) ∴△ABD≌△ACD(SAS). 6．如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝EC，AB∥DE，且AB＝DE，求证：AC∥DF. 证明：∵DE∥AB，∴∠B＝∠E， 又∵BF＝EC， ∴BF＋FC＝EC＋FC，即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,∠B＝∠E，,BC＝EF，)) ∴△ABC≌△DEF(SAS)， ∴∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF. 7．如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM，求证：∠B＝∠ANM. 证明：∵∠BAC＝∠DAM， ∠BAC＝∠BAD＋∠DAC， ∠DAM＝∠DAC＋∠NAM， ∴∠BAD＝∠NAM. 在△BAD和△NAM中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AN，,∠BAD＝∠NAM，,AD＝AM，)) ∴△BAD≌△NAM(SAS)，∴∠B＝∠ANM. 8．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD.若连接AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 9．如图，已知AB＝AC，AD＝AE.若要得到“△ABD≌△ACE”，必须添加一个条件，则下列所添条件不成立的是( ) A．BD＝CE B．∠ABD＝∠ACE C．∠BAD＝∠CAE D．∠BAC＝∠DAE 10．如图，CA平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E.若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为______． 11．如图所示，AD是△ABC的高线，AD＝BD， DE＝DC，∠C＝75°，求∠AEB的度数． 解：在△BDE和△ADC中，BD＝AD， ∠ADB＝∠ADC，DE＝DC， ∴△BDE≌△ADC(SAS)，∴∠BED＝∠C＝75°， ∴∠AEB＝105°. 12．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°. (1)试说明：AC＝BD. (2)AC与BD相交于点P，求∠APB的度数． 解：(1)∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD.∵OA＝OB，OC＝OD，∴△AOC≌△BOD(SAS)，∴AC＝BD. (2)设AC与BO交于点M，则∠AMO＝∠BMP.∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴180°－∠OAC－∠AMO＝180°－∠OBD－∠BMP，即∠MPB＝∠AOM＝50°，∴∠APB＝50°. 13．两个大小不同的等腰直角三角板如图1放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC. (1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明．(结论中不得含有未标识的字母) (2)证明：DC⊥BE. (1)解：图2中△ABE≌△ACD， ∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°， ∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD，∴△ABE≌△ACD. (2)证明：由(1)△ABE≌△ACD，∠ACD＝∠ABE＝45°.又∵∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°，∴DC⊥BE. $$第十二章　全等三角形 12．2　三角形全等的判定 第4课时　斜边、直角边(HL) 1．用“HL”判定直角三角形全等 2．直角三角形全等的判定方法的选用 A 课 时 目 标 D D B 能力提升 素养拓展 基础夯实 AB＝DC HL AC＝DB HL ∠ABC＝∠DCB AAS ∠ACB＝∠DBC AAS 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 135° 5 cm或10 cm 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．如图，在△ABC中，AB＝AC.若AD⊥BC，则可直接判定△ABD和△ACD全等的方法是( ) A．SAS B．ASA C．SSS D．HL 2．判断两个直角三角形全等的方法不正确的有( ) A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 3．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝DC，∠1＝40°，则∠2＝( ) A．40° B．50° C．60° D．75° 4．如图，∠A＝∠D＝90°，请添加一个条件，使△ABC≌△DCB，并在添加的条件后面的括号内填上判断的依据： (1)_______________(________). (2)_______________(________). (3)_______________(________). (4)_______________(________). 5．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：△ADE≌△CBF. 证明：∵BE＝DF，∴BF＝DE. ∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AED＝∠CFB＝90°. 在Rt△ADE与Rt△CBF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BC，,DE＝BF，)) ∴Rt△ADE≌Rt△CBF(HL). 6．如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，求证：AB∥CD. 证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， ∵BF＝DE，∴BE＝DF. 在Rt△AEB和Rt△CFD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,BE＝DF，)) ∴Rt△AEB≌Rt△CFD(HL)， ∴∠B＝∠D，∴AB∥CD. 7．如图，AD，BC相交于O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°. (1)求证：△ACB≌△BDA. (2)若∠ABC＝35°，则∠CAO＝________°. (1)证明：∵∠D＝∠C＝90°， ∴△ABC和△BAD都是直角三角形． 在Rt△ABC和Rt△BAD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BC，,AB＝BA，)) ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). (2)20. 8．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE与CD相交于点O，且AD＝AE.有下列结论：①∠B＝∠C；②△ADO≌△AEO；③△BOD≌△COE；④图中有四组三角形全等．其中正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1＋∠2＋∠3＝_______． 10．如图，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，AX⊥AC，点P和点Q分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝____________________时，△ABC与△APQ全等． 11．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试猜想BF与AE有何特殊的位置关系，并证明你的猜想． 解：BF⊥AE. 证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD＝90°， 又∵BC＝AC，BD＝AE， ∴△BDC≌△AEC(HL)，∴∠CBD＝∠CAE.又∵∠CAE＋∠E＝90°，∴∠EBF＋∠E＝90°.∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE. 12．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE. 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高， ∴∠ADB＝∠AFB＝90°， ∵AB＝AB，AD＝AF， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF，∴DB＝FB， ∵AC＝AE，AD＝AF， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE，∴DC＝FE， ∴DB－DC＝FB－FE，即BC＝BE. 13．(1)如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°.点D在△ABC外，连接AD，作DE⊥AB于点E，交BC于点F，AD＝AB，AE＝AC，连接AF.求证：DF＝BC＋CF. (2)如图2，AB＝AD，AC＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，延长BC交DE于点F，写出DF，BC，CF之间的数量关系，并证明你的结论． (1)证明：∵DE⊥AB，∠ACB＝90°， ∴∠AED＝∠AEF＝∠ACB＝90°， 在Rt△ACF与Rt△AEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AE，,AF＝AF，)) ∴Rt△ACF≌Rt△AEF(HL)，∴CF＝EF， 在Rt△ADE与Rt△ABC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝AB，,AE＝AC，)) ∴Rt△ADE≌Rt△ABC(HL)，∴DE＝BC， ∵DF＝DE＋EF，∴DF＝BC＋CF. (2)BC＝CF＋DF，证明如下：如图，连接AF，在Rt△ABC与Rt△ADE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,AC＝AE，)) ∴Rt△ABC≌Rt△ADE(HL)，∴BC＝DE.∵∠ACB＝90°， ∴∠ACF＝90°＝∠AED， 在Rt△ACF与Rt△AEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AE，,AF＝AF，)) ∴Rt△ACF≌△AEF(HL)，∴CF＝EF， ∵DE＝EF＋DF，∴BC＝CF＋DF. $$第十二章　全等三角形 12．2　三角形全等的判定 第1课时 1．用“SSS”判定两个三角形全等 2．“SSS”在尺规作图中的应用 A 课 时 目 标 C C 能力提升 素养拓展 基础夯实 SSS 36 能力提升 素养拓展 基础夯实 AB＝DC 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C C 65° 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．如图所示的三角形中，与△ABC全等的是( ) 2．如图，已知AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，则下列结论正确的是( ) A．△AEF≌△ACD B．△ADF≌△ADB C．△ABC≌△ADE D．△AEF≌△CDF 3．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要证明∠A′O′B′＝∠AOB，就要先证明△C′O′D′≌△COD，那么判定△C′O′D′≌△COD的依据是________． 4．如图，AB＝ED，AC＝EC，C是BD的中点．若∠A＝36°，则∠E＝_______°. 5．如图，已知AC＝BD，要使得△ABC≌△DCB，根 据“SSS”判定方法，需要再添加的一个条件是____________． 6．如图，点A，C，F，D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵AF＝DC，∴AF－CF＝DC－CF，∴AC＝DF， 在△ABC与△DEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝DF，,AB＝DE，,BC＝EF，)) ∴△ABC≌△DEF(SSS). 7．如图，AB＝AC，DB＝DC，EB＝EC. (1)图中有几对全等三角形？请一一写出来． (2)选择(1)中的一对全等的三角形加以证明． 解：(1)△ABD≌△ACD，△ABE≌△ACE，△DBE≌△DCE. (2)以△ABD≌△ACD为例： 证明：在△ABD与△ACD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,DB＝DC，,AD＝AD，)) ∴△ABD≌△ACD(SSS). 8．如图，OA＝OB，OC＝OD，AD＝BC，则图中全等三角形的对数有( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 9．如图，AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD，∠2＝110°，∠BAE＝60°，下列结论错误的是( ) A．△ABE≌△ACD B．△ABD≌△ACE C．∠C＝30° D．∠1＝70° 10．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧； 再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连 接AD，CD.若∠B＝65°，则∠ADC的大小为_______． 11．如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC. (1)求证：△ABC≌△DEF. (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由． (1)证明：∵BF＝EC，∴BF＋FC＝FC＋EC，即BC＝EF.在△ABC和△DEF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DE，,AC＝DF，,BC＝EF，)) ∴△ABC≌△DEF(SSS). (2)解：AB∥DE，AC∥DF.理由：∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，∴AB∥DE，AC∥DF. 12．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE. 求证：∠3＝∠1＋∠2. 证明：在△ABD和△ACE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,AD＝AE，,BD＝CE，)) ∴△ABD≌△ACE(SSS)，∴∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2， ∴∠3＝∠BAD＋∠ABD＝∠1＋∠2. 13．如图，已知AB＝DC，DB＝AC. (1)求证：∠B＝∠C.(注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据) (2)在(1)的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？ (1)证明：连接AD， 在△BAD和△CDA中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,DB＝AC，,AD＝DA，)) ∴△BAD≌△CDA(SSS)， ∴∠B＝∠C(全等三角形的对应角相等). (2)解：作辅助线的意图是构造全等三角形． $$第十二章　全等三角形 12．2　三角形全等的判定 第3课时 1．用“ASA”判定两个三角形全等 2．用“AAS”判定两个三角形全等 3．三角形全等判定方法的选用 A 课 时 目 标 C C 能力提升 素养拓展 基础夯实 B AD＝AC(∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等) 能力提升 素养拓展 基础夯实 ③ 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 D A 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．某段河的两岸所在直线相互平行，要测量河宽AB.先在河岸BF上取两点C，D，使CD＝BC，再作DE⊥BF，垂足为D，使A，C，E三点在一条直线上(如图所示)，得到△EDC≌△ABC，ED＝AB，因此测得ED的长就是AB的长．判定△EDC≌△ABC所依据的基本事实是( ) A．SSS B．SAS C．ASA D．AAA 2．小明不小心把一块三角形状的玻璃打碎成了三块，如图①②③，他想要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，你认为应带( ) A．① B．② C．③ D．①和② 3．如图所示，已知△ABC的六个元素，则下面甲乙丙三个三角形中和△ABC全等的图形是( ) A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 4．如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB， 点A，B，E在同一条直线上．若使△ABD≌△ABC， 则还需添加的一个条件是______________________________________________．(只填一个即可) 5．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个： ①∠ACB＝∠DBC；②∠A＝∠D；③AC＝DB； ④AB＝DC.其中不能确定△ABC≌△DCB的是______．(只填序号) 6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB. 求证：△CED≌△ABC. 证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠DEC＝∠B＝90°， ∵CD∥AB，∴∠A＝∠DCE.在△CED和△ABC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DCE＝∠A，,CE＝AB，,∠DEC＝∠B，)) ∴△CED≌△ABC(ASA). 7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D.若BC＝ED，求证：CE＝DB. 证明：∵ED⊥AB， ∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE， ∴△ABC≌△AED(AAS)， ∴AE＝AB，AC＝AD，∴CE＝BD. 8．(2023·凉山州)如图，点E、点F在BC上，BE＝CF，∠B＝∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( ) A．∠A＝∠D B．∠AFB＝∠DEC C．AB＝DC D．AF＝DE 9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H.已知EH＝EB＝3，AE＝4，则CH的长是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在△ABC和△EDF中，∠B＝∠D＝90°，点A，E，C，F在同一条直线上，AE＝CF，BC的延长线交DF于点M，且∠MCF＝∠F.求证：BC＝DF. 证明：∵AE＝CF，∴AE＋CE＝CF＋CE， 即AC＝EF.∵∠MCF＝∠F， ∠MCF＝∠ACB，∴∠ACB＝∠F. 在Rt△ABC和Rt△EDF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACB＝∠F，,∠ABC＝∠EDF，,AC＝EF，)) ∴Rt△ABC≌Rt△EDF(AAS)，∴BC＝DF. 11．如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE. (1)从图中任找两组全等三角形． (2)从(1)中任选一组进行证明． 解：(1)△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB. (2)选△ABE≌△CDF，证明：∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF.∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF. 在△ABE和△CDF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAE＝∠DCF，,∠ABE＝∠CDF，,AE＝CF，)) ∴△ABE≌△CDF(AAS). 12．如图1所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N. (1)求证：MN＝AM＋BN. (2)如图2，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由． (1)证明：∵AM⊥MN，BN⊥MN，∴∠AMC＝∠CNB＝90°.∵∠ACB＝90°，∠AMC＝90°，∴∠MAC＋∠ACM＝90°，∠NCB＋∠ACM＝90°，∴∠MAC＝∠NCB.在△AMC和△CNB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AMC＝∠CNB，,∠MAC＝∠NCB，,AC＝CB，)) ∴△AMC≌△CNB(AAS)，∴AM＝CN，MC＝NB.∵MN＝NC＋CM，∴MN＝AM＋BN. (2)解：(1)中的结论不成立，理由如下：与(1)同理可得AM＝CN，MC＝NB.∵MN＝CN－CM，∴MN＝AM－BN. $$第十二章　全等三角形 12．3　角的平分线的性质 第2课时　角的平分线的判定 1．角平分线的判定 2．角平分线的性质与判定的实际应用 A 课 时 目 标 C D 能力提升 素养拓展 基础夯实 3 cm D 15 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 4 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 50° 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则点P是( ) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上都不对 2．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB.有下列条件：①∠AOC＝∠BOC；②PD＝PE；③OD＝OE；④∠DPO＝∠EPO.其中能判定OC是∠AOB的平分线的有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A，∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列说法中不正确的是( ) A．点O一定在△ABC的内部 B．∠C的平分线一定经过点O C．点O到△ABC三边的距离一定相等 D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等 4．如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3 cm，当PD＝________时，点P在∠AOB的平分线上． 5．如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC＝30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N.若OM＝ON，则∠ABO＝________°. 6．如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：AD是∠BAC的平分线． 证明：在Rt△BDE与Rt△CDF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝CF，,BD＝CD，)) ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)， ∴DE＝DF，∴AD是∠BAC的平分线． 7．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置． 解：图略．提示：作∠AOB的平分线，与AB的交点即为点M的位置． 8．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE.若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数是( ) A．35° B．145° C．55° D．125° 9．如图，l1，l2，l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有_____处． 10．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC＝80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是____． 11．已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.求证： (1)当∠1＝∠2时，OB＝OC. (2)当OB＝OC时，∠1＝∠2. 证明：(1)∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴OE＝OD，∠ODB＝∠OEC＝90°， ∴△BOD≌△COE(ASA)，∴OB＝OC. (2)在△BOD和△COE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ODB＝∠OEC，,∠BOD＝∠COE，,OB＝OC，)) ∴△BOD≌△COE(AAS)，∴OD＝OE， 又∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AO平分∠BAC，∴∠1＝∠2. 12．如图，在△ABC中，BD＝CD，∠1＝∠2. 求证：AD平分∠BAC. 证明：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， 则∠BED＝∠CFD＝90°. 又∵∠1＝∠2，BD＝CD，∴△BED≌△CFD(AAS)， ∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC. 13．如图，在四边形ABDC中，∠D＝∠B＝90°，O为BD的中点，且AO平分∠BAC. 求证：(1)CO平分∠ACD. (2)OA⊥OC. (3)AB＋CD＝AC. 证明：(1)过点O作OE⊥AC于点E，∵∠B＝90°，AO平分∠BAC，∴OB＝OE. ∵点O为BD的中点，∴OB＝OD，∴OE＝OD.又∵∠D＝90°，∠OEC＝90°， ∴CO平分∠ACD. (2)在Rt△ABO和Rt△AEO中，∵AO＝AO，OB＝OE，∴Rt△ABO≌Rt△AEO， ∴∠AOB＝∠AOE.同理可得，∠COD＝∠COE，∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝ eq \f(1,2) ×180°＝90°，∴OA⊥OC. (3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB＝AE，同理可得，CD＝CE.∵AC＝AE＋CE，∴AB＋CD＝AC. $$第十二章　全等三角形 12．3　角的平分线的性质 第1课时 1．角的平分线的画法 2．角的平分线的性质 3．命题的证明 A 课 时 目 标 A D 能力提升 素养拓展 基础夯实 BC DC AB AD 3 两个三角形全等 这两个三角形对应边上的高相等 能力提升 素养拓展 基础夯实 1 6 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 D B 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 2 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( ) A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是( ) A.PC＝PD B．OC＝OD C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝PC 3．如图，∠B＝∠D＝90°，根据角平分线的性质填空： (1)若∠1＝∠2，则_______＝_______． (2)若∠3＝∠4，则_______＝_______． 4．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为_______． 5．命题“全等三角形对应边上的高相等”的已知条件是_____________________，结论是___________________________________． 6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB. 若AC＝2，DE＝1，则S△ACD＝______． 7．如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝90 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，则DE＝_______cm. 8．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：∠B＝∠C. 解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF. ∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DE＝DF，,BD＝CD，)) ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴∠B＝∠C. 9．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E.若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是( ) A．24 B．30 C．36 D．42 11．如图AE是∠BAC的平分线，BD是中线，AE，BD相交于点E，EF⊥AB于点F.若AB＝14，AC＝12，S△BDC＝20，则EF的长为_______． 12．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD. 证明：连接AC，在△AEC与△AFC中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AC，,CE＝CF，,AE＝AF，)) ∴△AEC≌△AFC(SSS)， ∴∠CAE＝∠CAF.∵∠B＝∠D＝90°，∴CB＝CD. 13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF，证明： (1)CF＝EB. (2)AB＝AF＋2EB. 证明：(1)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC. 在Rt△CDF和Rt△EDB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝DF，,DC＝DE，)) ∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF＝EB. (2)∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，∴CD＝DE.在Rt△ADC与Rt△ADE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CD＝DE，,AD＝AD，)) ∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL)，∴AC＝AE，∴AB＝AE＋BE＝AC＋EB＝AF＋CF＋EB＝AF＋2EB. 14．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC. 求证：∠BAD＋∠C＝180°. 证明：过点D作DE⊥BA的延长线于E，DF⊥BC于F，由角的平分线的性质证得DE＝DF.又∵AD＝CD，∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠DAE＝∠C.∵∠BAD＋∠DAE＝180°，∴∠BAD＋∠C＝180°. $$第12章　复习总结 一、全等三角形的概念与性质 C 50° 二、全等三角形的判定及应用 C AB＝DE 2 5 三、角平分线的性质与判定 C 3 ①②③④⑤ 四、与全等三角形相关的探究性问题 学无止境 本课结束 1．如图，△ABC≌△DEF.若AC＝5，CF＝2，则CD的长为( ) A．2 B．2.5 C．3 D．5 2．如图，△ADB≌△ECB，且点A的对应点是点E，点D的对应点是点C.若∠CBD＝40°，BD⊥EC，则∠D的度数为____． 3．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是( ) A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC C．BC＝EC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D 4．如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B，F，C，E在同一条直线上．若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是____________(只填一个即可). 5．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E，AD与CE交于点F，AD＝CD，BC＝8，AF＝4，则BD的长为_____． 6．在正方形网格中，三个顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．图中△ABC是格点三角形，请你找出方格中所有与△ABC全等，且以A为顶点的格点三角形，这样的三角形共有_____个(△ABC除外). 7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，且AE平分∠BAC， AF＝AB.求证：EF∥BC. 证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠FAE， 在△ABE和△AFE中，AE＝AE， ∠BAE＝∠FAE，AB＝AF， ∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE＝∠AFE. 又∵∠C＝∠ABE， ∴∠C＝∠AFE，∴EF∥BC. 8．如图，把一个长为10 m的梯子AB斜靠在墙上，测得BM＝6 m，梯子沿墙下滑到CD位置，测得∠ABM＝∠DCM，DM＝8 m，求梯子下滑的高度． 解：∵在△ABM与△DCM中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AMB＝∠DMC，,∠ABM＝∠DCM，,AB＝DC，)) ∴△ABM≌△DCM(AAS)， ∴BM＝CM＝6 m，AM＝DM＝8 m， ∴AC＝AM－CM＝2 m. 即梯子下滑的高度是2 m． $$