专题2.20 弧长、扇形面积与圆锥侧面积（专项练习）（培优练）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.20 弧长、扇形面积与圆锥侧面积（专项练习）（培优练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2022·湖北武汉·中考真题）一个扇形的弧长是，其圆心角是150°，此扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·广东湛江·期中）如图，是的切线，A、B为切点，若，，则弧长    ）    A． B． C． D． 3．（2023·河北邯郸·三模）如图1是边长为的等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的面积是（    ）    A．1 B．2 C． D． 4．（2022·四川达州·中考真题）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·云南·模拟预测）如图，是的切线，连接交于点C，若的半径为2，，连接，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏苏州·二模）若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·云南红河·一模）如图，从边长为的正方形铁皮中，剪下一块圆心角为的扇形铁皮，要把它做圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·浙江·模拟预测）如图，是的直径，，将弦绕点A顺时针旋转得到，此时点D的对应点E落在上，延长，交于点F，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 9．（2024·甘肃武威·三模） 如图，将半径为的圆形纸片沿折叠后，圆弧恰好能经过圆心，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（　　） A． B． C． D． 10．（23-24九年级下·湖北鄂州·阶段练习）如图圆锥的横截面，，，一只蚂蚁从B点沿圆锥表面到母线去，则蚂蚁行走的最短路线长为（    ）cm A． B． C．3 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，为⊙O的直径，弦，垂足为点E，，连接BD，若，则的长为 ． 12．（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，是正六边形的外接圆，半径是6，则的长是 ． 13．（23-24九年级上·山东临沂·期末）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留） 14．（2024·山东济南·模拟预测）如图，在平行四边形中，，点是中点，在上取一点，以点为圆心，的长为半径作圆，该圆与边恰好相切于点，连接，若图中阴影部分面积为，则 ． 15．（2024·四川德阳·二模）如图，正六边形的边长为6，连接，以点A为圆心，为半径画弧，得扇形，将扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径为 ． 16．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则 ． 17．（23-24九年级下·吉林长春·期中）如图，笔记本电脑水平放置在桌面上、图2是它的示意图，张角，顶部边缘对应处离桌面的高度．当将电脑屏幕绕点旋转至张角时（点是的对应点），顶部边缘处绕点旋转到处转过的弧长为 cm．（结果保留） 18．（2024·山东临沂·二模）如图，是的外接圆，，，若扇形（图中阴影部分）正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）19．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，，以为直径的半圆交于点D，交于点 （1）若弧的度数为，求的度数； （2）若点D、E是半圆弧的三等分点，，求弧的长． 20．（8分）（2023·云南红河·一模）如图，是的直径，为的切线，为上的一点，，延长交的延长线于点． （1）求证：为的切线； （2）若圆心到弦的距离为2，，求图中阴影部分的面积（结果保留） 21．（10分）（23-24九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，点在上，是的切线，与的延长线相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长（结果保留）． 22．（10分）（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，四边形是正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G，． （1）求证：； （2）若，求劣弧的长．（结果保留π） 23．（10分）（2024·广东阳江·一模）综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 24．（12分）（2024·吉林长春·模拟预测）阅读理解： (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一：“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______°． ②类型二：“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵，∴，∵，∴， ∴______，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． (2)【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． (3)【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】先求出该扇形的半径，再求其面积即可； 【详解】解：该扇形的半径为：， ∴扇形的面积为：， 故选：B． 【点拨】本题主要考查扇形面积的求解，掌握扇形面积的求解公式是解题的关键． 2．B 【分析】此题考查了切线的性质以及弧长公式．注意求得的度数，熟记弧长公式是关键．由、是的切线，，即可求得的度数，然后由弧长公式求得答案． 【详解】解：、是的切线， ，， ， ， ， 的长为：． 故选：B 3．C 【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式求得扇形的圆心角的度数，进而根据扇形面积公式即可求解． 【详解】解：设， ， ， 解得：， 圆心角的度数为： 扇形的面积是， 故选：C． 【点拨】本题考查了弧长公式的应用，扇形的面积计算，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键． 4．A 【分析】根据此三角形是由三段弧组成，所以根据弧长公式可得半径，即正三角形的边长，根据曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，边长为的等边三角形的面积为，即可求解． 【详解】解：设等边三角形ABC的边长为r， 解得，即正三角形的边长为2， 此曲边三角形的面积为 故选A 【点拨】本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，然后再根据所给的曲线三角形的周长求出三角形的边长． 5．B 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，扇形面积等知识．熟练掌握切线的性质，三角形内角和定理，扇形面积是解题的关键． 由是的切线，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 6．C 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，由地面圆的周长等于侧面展开图的弧长，可得，所以，再计算圆锥的侧面积与底面积的比即可． 【详解】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R， 由题意得， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了圆锥的计算，扇形的弧长计算，勾股定理等知识点，先根据弧长公式求出圆锥的底面圆的周长，再求出圆锥的底面圆的半径，最后勾股定理求出圆锥形容器的高即可， 掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为， 则， 解得：， 则这个圆锥形容器的高为， 故选：． 8．D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形性质，不规则图形的面积，解直角三角形，过点D作直径，过点F作于H，连接，，推出，，由圆周角定理证得，即可求得，则，进而求得，解直角三角形求得，根据扇形面积减去三角形面积计算即可． 【详解】解：如图，过点D作直径，过点F作于H，连接，，    由旋转知：，， ，， 是的直径， ， ， ， ， ∴， ， ， ． 故选：D． 9．A 【分析】本题考查了圆锥的计算，解直角三角形；作于，如图，根据折叠的性质得等于半径的一半，即 ，再根据特殊角的三角函数值得出，则，所以，则利用弧长公式可计算出弧的长，再求出底面圆的半径为，然后根据勾股定理计算这个圆锥的高． 【详解】如图，过点作，垂足为，交于点， 由折叠的性质可知，，则 由此可得，在中，， 同理可得， 在中，由三角形内角和定理，得． 弧的长为． 设围成的圆锥的底面半径为，则， ． 圆锥的高为． 故选A． 10．D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图，弧长公式和解直角三角形，掌握弧长公式和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先将圆锥的侧面展开图画出来，利用垂线段最短可判断的长为蚂蚁爬行的最短路线长，根据弧长公式求出的度数，然后利用特殊角的三角函数在即可求出的长度． 【详解】圆锥的侧面展开图如下图： 作 圆锥的底面直径, 底面周长为， 设 ， 则有 解得， ， 在中 ， ∴蚂蚁从B点出发沿圆锥表面到处觅食，蚂蚁走过的最短路线长为 故选：D. 11． 【分析】本题考查了弧长的计算，求出圆心角和半径，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：连接，， 是的直径，弦， ，， ， ， ， ， ， ， 的长为． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了圆心角和弧的度数，由正六边形，得到，便可得是等边三角形，即可求解，掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：由正六边形， ∴， 又∵是的半径， ∴， ∴是等边三角形， ∵的半径是6， ∴， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了阴影组合图形的面积．解决问题的关键是熟练掌握半圆的三等分点的性质，等边三角形的判断和性质，弧长公式，扇形面积公式，同底等高的两个三角形面积相等． 连接、和，根据C，D是以为直径的半圆的三等分点，可得，推出是等边三角形，推出，得到，根据同底等高的两个三角形面积相等，可将阴影部分的面积转化为扇形的面积，求解即可． 【详解】连接、、．设半圆的半径为r， ∵C，D是以为直径的半圆的三等分点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵弧的长为， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了切线的性质，扇形的面积，平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，连接，过作于G，先判断，都是等腰直角三角形，则可求出，，然后根据求解即可． 【详解】解：连接，过作于G， ∵圆与边恰好相切于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴，都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∵阴影部分面积为， ∴， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了正多边形的性质，含30度直角三角形性质，等腰三角形的性质，勾股定理，扇形弧长计算，圆的周长公式等知识；涉及的知识点较多．过点B作于H；由正六边形的性质得，；在中，由勾股定理求得，从而求得，则可求得的长，再根据圆锥底面周长等于扇形弧长，即可求得圆锥底面圆的半径． 【详解】解：如图，过点B作于H， ∵正六边形， ， 又， ，； 同理可知， ， 在中，， 则，由勾股定理得：， ， 的长， ∴圆锥底面圆的半径为， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．设，则，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可． 【详解】解：设，则， 根据题意，得： ， 整理得： ∴ 解得：， 即：． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了弧长的计算、直角三角形的性质．首先可求得，根据直角三角形的性质，即可求得、的长，再由题意可得的度数，最后利用弧长公式即可求解； 【详解】解： ． ，， ， 顶部边缘A处绕点O旋转到处时转过的弧长为． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查三角形的外接圆和外心、圆周角定理、圆锥的计算，解答本题的关键是求出圆锥的半径和母线长． 根据题意作出合适的辅助线，然后根据，可以得到的度数，从而可以得到的度数，然后根据，可以得到的长，再根据圆锥和侧面展开图的关系，即可求得圆锥的高． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 设扇形围成的圆锥的底面半径为， 则， 解得， ∴该圆锥的高为：， 故答案为：． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了弧长的计算，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）设圆的圆心为O，如图，连接，根据圆周角定理和等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接，求出，可得是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）解：设圆的圆心为O，如图，连接， ∵是圆O的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵弧的度数为， ， ， ∵，即， ∴， ∵， ； （2）解：连接， ∵点D、E是半圆弧的三等分点， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ， ∴， 弧的长为 ． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的性质和判定及扇形的计算，掌握切线问题中的两种辅助线的作法及扇形的面积公式是解题的关键． （1）连接，由，，可得，，又为切线，可知，可得为切线； （2）过点作，垂足为，由及，求出半径，进而求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 即， 是的直径，是的切线， ， ， 又为半径， 为的切线； （2）解：过点作，垂足为， ， ， ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ． 21．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是∶ （1）利用圆周角定理，切线的性质可得出，，利用余角的性质可得出，利用等边对等角可得出，然后等量代换即可得证； （2）利用三角形外角的性质求出的度数，然后利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）证明∶∵是的直径， ∴，即， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据四边形是正方形，为的直径，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，为的直径， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的长度为． 【点拨】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 23． 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 24．(1)① ②，后面过程见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）①根据得到点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上，再根据圆周角定理求出答案； ②根据图形结合推理过程直接解答即可； （2）连接，由对称性得到，得到点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动，当点M在线段上时，有最小值，利用勾股定理求出，即可得到的最小值； （3）连接交于点O，证明，得到，推出，得到点P的运动路径是以为直径的圆弧，根据弧长公式求出点P的运动路径长为． 【详解】（1）解：①∵， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上， 如图1，∴，故答案为：； ②∵，∴， ∵，∴，∴， ∴点P在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点P，此时最小， ∵点O是的中点， ∴， 在中，，，， ∴，∴． ∴最小值为2，故答案为：； （2）解：如图3，连接， ∵点B，点M关于直线对称，∴， ∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值， ∵，，∴， ∴的最小值为，故答案为：4； （3）解：如图4，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴点P的运动路径是以为直径的圆弧， ∴点P的运动路径长为． 【点拨】此题考查了圆周角定理，弧长公式，三角形全等的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握各定理并熟练应用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$