6.4.1 平面几何中的向量方法6.4.2 向量在物理中的应用举例课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章　平面向量及其应用 6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用举例 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.能运用平面向量的知识解决一些简单的平面几何问题和物理问题. 2.掌握用向量法解决平面几何问题的两种基本方法——选择基底法和建系坐标法. 3.通过具体问题的解决,理解用向量知识研究物理问题的一般思路与方法,培养探究意识和应用意识,体会向量的工具作用. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　向量在平面几何中的应用 1.由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的___________　　　　　　　及　　　　　　表示出来,因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.  2.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”,即 (1)建立平面几何与向量的联系,用　　　　表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为　　　　问题;  (2)通过　　　　运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;  (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 线性运算 数量积 向量 向量 向量 3.(1)证明线段平行或点共线问题,常用共线向量定理:a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔x1y2-x2y1=0[a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0]. (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质:a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0[a=(x1,y1),b=(x2,y2)]. 过关自诊 1.平面几何的哪些问题可以借助向量处理?试举几个例子. 提示 平面几何中可以借助向量处理的问题有很多,例如平行问题可借助向量共线解决,垂直问题可借助向量数量积解决,求线段的长可借助求向量的模解决,求角的大小可借助向量夹角公式解决等等. A.是正三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形 D.形状无法确定 C 3.已知四边形ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线,求证:AC⊥BD. 知识点2　向量在物理中的应用 1.物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向量. 2.物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法. 3.利用向量方法解决物理问题的基本步骤: (1)问题转化,即把物理问题转化为数学问题; (2)建立模型,即建立以向量为载体的数学模型; (3)求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等; (4)回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题. 过关自诊 1.物理学中的哪些问题可以借助向量处理?试举几个例子. 提示 例如物理学中的矢量的合成与分解即为向量的合成与分解,做功问题即为向量的数量积运算等等. 2.在平面直角坐标系中,作用于坐标原点的两个力为F1=(1,1),F2=(2,3),为使它们平衡,需在原点施加力F3=　　　　　.  (-3,-4) 解析 由题意知,F1+F2+F3=0, ∴F3=-F1-F2=-(F1+F2)=(-3,-4). 重难探究·能力素养全提升 探究点一　向量在平面几何中的应用 角度1　平行或共线问题 规律方法　证明A,B,C三点共线的步骤 证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线→说明两向量有公共点→下结论:三点共线 变式训练1[人教B版教材例题]如图所示,已知平行四边形ABCD中,E,F在对角线BD上,并且BE=FD.求证:四边形AECF是平行四边形. 角度2　垂直问题 【例2】 如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是矩形,用向量证明:PA⊥EF. (方法二)以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系. 规律方法　向量法证明平面几何中AB⊥CD的方法 变式训练2如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证: AF⊥DE. 角度3　长度问题 【例3】 如图,在平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长. 变式训练3已知△ABC,∠BAC=60°,AB=2,AC=3,则BC的长为(　　) B 角度4　夹角问题 【例4】 已知矩形ABCD,AB= ,AD=1,E为DC上靠近D的三等分点,求∠EAC的大小. 变式探究本例中,条件不变,试问:在BC上是否存在点M,使得∠EAM=45°?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由. 规律方法　平面几何中夹角问题的求解策略 利用平面向量解决几何中的夹角问题时,本质是将平面图形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解,这类问题也有两种方向,一是利用基底法,二是利用坐标运算.在求解过程中,务必注意向量的方向. 探究点二　向量在物理中的应用 角度1　用向量解决力学问题 【例5】 [苏教版教材例题]如图,无弹性的细绳OA,OB的一端分别固定在A,B处,同样的细绳OC下端系着一个称盘,且使得OB⊥OC,试分析OA,OB,OC三根绳子受力的大小,并判断哪根绳子受力最大. 解 设OA,OB,OC三根绳子所受的力分别为a,b,c, 则a+b+c=0. 如图,因为a,b的合力为c'=a+b, 所以|c|=|c'|. 规律方法　力的合成与分解的向量解法 运用向量解决力的合成与分解时,实质就是向量的线性运算,因此可借助向量运算的平行四边形法则或三角形法则进行求解. 变式训练4一个物体受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用处于平衡状态,已知F1,F2成60°角,且|F1|=3 N,|F2|=4 N,则F1与F3夹角的余弦值是　　　　.  角度2　用向量解决速度问题 【例6】 在风速为 的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向. 解 设ω为风速,va为有风时飞机的航行速度,vb为无风时飞机的航行速度,va=vb+ω.如图所示. 规律方法　速度问题的向量解法 运用向量解决物理中的速度问题时,一般涉及速度的合成与分解,因此应充分利用三角形法则与平行四边形法则将物理问题转化为数学中的向量问题,正确地作出图形解决问题. 变式训练5一船以8 km/h的速度向东航行,船上的人测得风自北方来;若船速加倍,则测得风自东北方向来,求风速的大小及方向. 解 分别取正东、正北方向上的单位向量i,j组成基底,设风速为xi+yj. 依题意第一次船速为8i,第二次船速为16i. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)利用向量解决平面几何中的平行(垂直)、长度、角度等问题. (2)利用向量解决物理学中的位移、速度、 力做功等问题. 2.方法归纳:数学建模. 3.常见误区:不能将几何、物理问题建立起向量模型. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一(角度4)]在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.[探究点二(角度1)]体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分,某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态,若两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为360 N,则该学生的体重m(单位:kg)约为(　　) (参考数据:取重力加速度大小g=10 m/s2, =1.732) A.64 B.62 C.76 D.60 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.[探究点二(角度2)]一条河宽为80 000 m,一船从A处出发垂直航行到达河正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为 　　　　 h.  5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.[探究点二(角度1)]用两条成120°角的等长的无弹性的绳子悬挂一个灯具,如图所示,已知灯具受到的重力为10 N,则每根绳子的拉力大小为 　　　　　 N.  10 解析 设重力为G,每根绳的拉力分别为F1,F2,则由题意得F1,F2与-G都成60°角,且|F1|=|F2|.∴|F1|=|F2|=|G|=10 N,∴每根绳子的拉力都为10 N. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.[探究点一(角度3)·2023河南洛阳月考]如图,E,F分别是四边形ABCD的边AD,BC的中点,AB=1,CD=2,∠ABC=75°,∠BCD=45°,则线段EF的长 是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.[探究点一(角度2)]如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°, CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.[探究点二(角度2)]某人骑摩托车以20 km/h的速度向西行驶,感觉到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h时,他又感觉到风从西南方向吹来,求实际风速的大小和方向. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 设v1表示20 km/h的速度,在无风时,此人感觉到的风速为-v1,实际的风速为v,那么此人所感觉到的风速为v+(-v1)=v-v1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项中,其中正确的是(　　) A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小 C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变 AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是　　　　　 km/h.  解析 如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.一条东西方向的河流两岸平行,河宽250 m,河水的速度为向东2 km/h.一艘小货船准备从河南岸的码头A处出发,航行到位于对岸B(AB与河岸的方向垂直)的正西方向并且与B相距250 m的码头C处卸货.若水流的速度与小货船的速度(自身动力产生的速度)的合速度的大小为6 km/h,则当小货船的航程最短时,航行的合速度方向与正西方向的夹角为　　　　　,小货船的速度大小为　　　　　km/h.  30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.求证: AP=AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 学科素养创新练 17.如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 则a=e+c,b=e+d, 所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2. 由已知可得a2-b2=c2-d2, 所以c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2, (3)求夹角问题,用夹角公式:cos θ=(θ为向量a与b的夹角). 求线段的长度或说明线段相等,利用向量模的公式: |a|=[a=(x,y)]或||=[A(xA,yA),B(xB,yB)]. 2.在△ABC中,若()·()=0,则△ABC(　　) 解析 ()·()==0,即||=||,∴CA=CB,则△ABC是等腰三角形. 证明 ∵, ∴=()·()=||2-||2=0. ∴,即AC⊥BD. 【例1】 如图,在平行四边形ABCD中,已知DE=AB,DF=DB,求证:A,E,F三点共线. 证明 因为DE=AB,DF=DB, 所以. 于是=-,因此. 又因为有公共点F,所以A,E,F三点共线. 证明 由已知可设=a,=b,则=a+b,=b+a. 又因为a+b=b+a, 所以, 因此AE∥FC,且AE=FC,从而可知四边形AECF是平行四边形. 证明 (方法一)设正方形边长为a,由于P是对角线BD上的一点,可设=λ(0<λ<1).则-λ-λ()=(1-λ)-λ. 又因为=(1-λ)-λ, 所以=[(1-λ)-λ]·[(1-λ)-λ]=(1-λ)2-(1-λ)λ-λ(1-λ)+λ2=-λ(1-λ)a2+λ(1-λ)a2=0, 因此,故PA⊥EF. 设正方形边长为a,由于P是对角线BD上的一点, 设DP=λDB=λa(0<λ<1), 则A(0,a),P(λa,λa),E(a,λa),F(λa,0), 于是=(-λa,a-λa),=(λa-a,-λa),因此=-λa(λa-a)-(a-λa)λa =-λ2a2+λa2-λa2+λ2a2=0,因此,故PA⊥EF. 方法一:①选择一组向量组成基底;②用基底表示的值为0;④给出几何结论AB⊥CD. 方法二:建立适当的平面直角坐标系,先求的值为0,从而得到几何结论AB⊥CD. 证明 (方法一)设=a,=b, 则|a|=|b|,a·b=0,又=-a+=b+, 所以=-a2-a·b+=-|a|2+|b|2=0.故,即AF⊥DE. (方法二)如图,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),=(2,1),=(1,-2). 因为=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,所以,即AF⊥DE. 解 设=a,=b,则=a-b,=a+b,而||=|a-b|==2,① ||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b. ∵由①得2a·b=1,∴||2=6, ∴||=,即AC=. A.7 B. C. D.19 解析 ∵, ∴=()2=-2=9-2×3×2×cos 60°+4=7, ∴||=,即BC的长为. 解 如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),C(,1),E(,1),=(,1), , =2. cos∠EAC=. ∵0<∠EAC<,∴∠EAC=. 解 存在.理由如下: 假设在BC上存在点M,使得∠EAM=45°,不妨设M(,y0)(0≤y0≤1),则=(,y0). 因为,而∠EAM=45°,所以cos<>=,整理得+6y0-3=0,解得y0=-3+2或y0=-3-2, 由于-3+2∈[0,1],-3-2∉[0,1], 因此在BC上存在点M,使得∠EAM=45°,且此时BM=-3+2. 在▱OB'C'A'中,因为, 所以||>||,||>||, 即|a|>|b|,|a|>|c|.故细绳OA受力最大. - 解析 因为物体处于平衡状态,所以F1+F2+F3=0. 因此F3=-(F1+F2),于是|F3|== =, 设F1与F3的夹角是θ. 又F2=-(F1+F3),所以|F2|= ===4, 解得cos θ=-. 75()km/h 设||=|va|,||=|ω|,||=|vb|,作AD∥BC,CD⊥AD于点D,BE⊥AD于点E,则∠BAD=45°. 设||=150,则||=75(). ∴||=||=||=75,||=75. 从而||=150,∠CAD=30°. ∴|vb|=150 km/h,方向为北偏西60°. 依题意可得 解得x=8,y=-8,即风速为8i-8j, 因此风速为西北方向,大小为8 km/h. A.- B. C.0 D. 3.[探究点一(角度3)·2023湖南怀化一模]已知点G是△ABC的重心, =λ+μ(λ,μ∈R),若A=120°,=-2,则||的最小值是(　　) A. B. C. D. 　 证明 =()·() = = = =-|2+|2. 因为CA=CB,所以-|2+|2=0,故AD⊥CE. 如图,令=-v1, =-2v1,实际风速为v. ∵, ∴=v-v1. 这就是骑车人感觉到的从正南方向吹来的风的速度. ∵,∴=v-2v1. 这就是当车的速度为40 km/h时,骑车人感觉到的风速. 由题意,得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC, ∴△DCA为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°, ∴DA=DC=BC.∴|v|=20 km/h. ∴实际风速的大小是20 km/h,为东南风. 9.O是平面ABC内的一定点,P是平面ABC内的一动点.若()·()=()·()=0,则O为△ABC的(　　) 解析 设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB与水平方向夹角为θ(0<θ<),则|F|cos θ=|f|,∴|F|=. ∵θ增大,cos θ减小,∴|F|增大. ∵|F|sin θ增大,∴船的浮力减小. 2 由图知,||=4,||=8,则∠AOB=60°.又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan 60°=2. 即河水的流速是2 km/h. 12.在四边形ABCD中,若=(1,2),=(-4,2),则向量的夹角为　　　　　,四边形ABCD的面积为　　　　　.  解析 由=1×(-4)+2×2=0知,故向量的夹角为. 又∵||=,||==2, ∴四边形ABCD的面积S=|||=×2=5. 2 证明 如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系, 设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),=(2,-2). 设=λ,则=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ). 又=(-1,2),由题设,所以=0, 所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=.所以.所以. 又=(1,0),所以cos∠ADB=,cos∠FDC=, 又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC. 证明 建立如图所示的平面直角坐标系,设AB=2, 则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2),F(0,1).设点P坐标为(x,y), 则=(x,y-1),=(2,1). ∵,∴x=2(y-1),即x=2y-2. 同理,由,得y=-2x+4, 由 ∴点P的坐标为.∴||==2=||,即AP=AB. 解 如图,设表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,表示飞机从B地按南偏东55°的方向飞行800 km. 则飞机飞行的路程指的是||+||, 两次飞行的位移的和指的是. 依题意,有||+||=800+800=1 600(km). 又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°, 所以||==800(km), 其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°. 从而飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800 km,方向为北偏东80°. 证明 设=a,=b,=e,=c,=d, 所以e·(c-d)=0.因为=d-c,所以=e·(d-c)=0,所以,即AD⊥BC. $$