6.4.3 余弦定理、正弦定理（第1课时）课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章　平面向量及其应用 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.掌握余弦定理及其推论. 2.借助向量的运算,探索余弦定理的证明过程. 3.能够利用余弦定理解决有关问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点　余弦定理与解三角形 1.文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和　　　　这两边与它们夹角的　　　　　　　的两倍.  2.符号语言:在△ABC中,a2=　　　　　　　,b2=　　　　　　　, c2=　　　　　　　.  3.在△ABC中,cos A=　　　　　,cos B=　　　　　,cos C=　　　　　.  4.一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 减去 余弦的积 b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B 　a2+b2-2abcos C 名师点睛 应用余弦定理解三角形的类型 (1)已知两边及其夹角求第三边及其他两角. (2)已知三边求三角. 过关自诊 1.在△ABC中,已知其中两边和一个内角可以求第三边吗? 提示 可以求,在余弦定理公式中有四个量,知道两边和一个内角的情况下转化为解关于第三边的一元二次方程,相应解的个数可能为0,1,2,要结合实际情况进行取舍. 2.在△ABC中,已知三边长分别为a,b,c,如何判断三角形的形状? 提示 不妨设a<b<c,则当a2+b2<c2时,△ABC为钝角三角形;当a2+b2=c2时,△ABC为直角三角形;当a2+b2>c2时,△ABC为锐角三角形. 3.[北师大版教材习题]在△ABC中,已知b=1,c=2,A=60°,则a=　　　　.  解析 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=12+22-2×1×2cos 60°=3,故a= . 4.[苏教版教材例题]在△ABC中,已知acos B=bcos A,求证:△ABC为等腰三角形. 整理,得a2=b2. 因为a>0,b>0,所以a=b. 因此,△ABC为等腰三角形. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　已知两边及一角解三角形 【例1】 (1)在△ABC中,已知b=3,c=2 ,A=30°,求a; (2)在△ABC中,已知b=3,c=3 ,B=30°,求角A、角C和边a. 规律方法　已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以利用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边.本质是方程思想的应用,四个量中“知三求一”. 变式训练1(1)在△ABC中,AB=5,BC=1,tan B= ,则AC=　　　;  (2)在△ABC中,cos A= ,a=4,b=3,则c=　　　.  5 探究点二　已知三边解三角形 【例2】 (1)在△ABC中,若a2+b2+ab=c2,则角C=　　　;  120° (2)在△ABC中,已知a∶b∶c=2∶ +1),求各内角的度数. 变式探究本例(2)中,将条件变为“三角形的三条边长分别为 ”,求其最大角与最小角之和. 规律方法　已知三角形的三边解三角形的方法 探究点三　利用余弦定理判断三角形形状 【例3】 (1)在△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cos Asin B=sin C,试判断三角形的形状; 解 ∵A+B+C=180°,∴sin C=sin(A+B). ∵2cos Asin B=sin C, ∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B, ∴sin Acos B-cos Asin B=0,∴sin(A-B)=0. ∵0°<A<180°,0°<B<180°, ∴-180°<A-B<180°, ∴A-B=0°,即A=B. 又(a+b+c)(a+b-c)=3ab, ∴a2+b2-c2=ab,∴cos C= . ∵0°<C<180°,∴C=60°,∴△ABC为等边三角形. (2)在△ABC中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状. 规律方法　三角形形状的判断方法 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从“统一”入手,即使用转化思想解决问题.一般有两条思考路线:①先化边为角,再进行三角恒等变换,求出三角之间的数量关系.②先化角为边,再进行代数恒等变换,求出三边之间的数量关系. (2)判断三角形的形状时,经常用到以下结论: ①△ABC为直角三角形⇔a2=b2+c2或c2=a2+b2或b2=a2+c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2+b2>c2,且b2+c2>a2,且c2+a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2+b2<c2或b2+c2<a2或c2+a2<b2. ④若sin 2A=sin 2B,则A=B或A+B= . 变式训练2已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc. (1)求A的大小; (2)若b+c=2a=2 ,试判断△ABC的形状. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)余弦定理. (2)余弦定理解决的两类问题. (3)余弦定理的简单应用. 2.方法归纳:化归转化、数形结合. 3.常见误区:易忽略三角形中的隐含条件. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a= ,b=3,A=60°,则c=(　　) A.1 B.2 C.4 D.6 C 解析 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即13=9+c2-3c,即c2-3c-4=0,解得c=4(负值舍去). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2.[探究点二]若△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则 的值 为(　　) A.19 B.14 C.-18 D.-19 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 3.(多选题)[探究点一]在锐角三角形ABC中,b=1,c=2,则a的值不可以 是(　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 6.[探究点三]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足c=2acos B,则△ABC的形状是　　　　　　　　.  等腰三角形 ∴a2=b2,∴a=b, ∴△ABC的形状是等腰三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 7.[探究点二]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b= a,则cos A=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 8.[探究点二]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=3b,则cos B的最小值是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9.[探究点二]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a-b=4,a+c=2b,且最大角为120°,则此三角形的最大边长为　　　　　.  14 解析 已知a-b=4,则a>b且a=b+4.又a+c=2b,则b+4+c=2b,所以b=c+4,则b>c,从而知a>b>c,所以a为最大边,故A=120°,b=a-4,c=2b-a=a-8.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc=(a-4)2+(a-8)2+(a-4)(a-8),即 a2-18a+56=0,解得a=4或a=14.又b=a-4>0,所以a=14,即此三角形的最大边长为14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (1)b的值; (2)角A的大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 利用c2=a2+b2-2abcos C, 整理得b2-2b-15=0,解得b=5或-3(负值舍去), 故b=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 B 级 关键能力提升练 AC 解析 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,∴4=b2+12-6b,即b2-6b+8=0,∴b=2或b=4.经检验,b=2与b=4均符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14.在△ABC中,a,b,c为角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 15.在△ABC中,若a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则角C等于(　　) A.60° B.45°或135° C.120° D.30° B 解析 ∵a4+b4+c4=2c2(a2+b2), ∴(a2+b2)2-2c2(a2+b2)+c4-2a2b2=0, ∴(a2+b2-c2)2-2a2b2=0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 16.(多选题)在钝角△ABC中,若c=8,A= ,则边a的值可能为(　　) A.7 B.9 C.12 D.16 AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 17.在△ABC中,AB=3,BC= ,AC=4,则A=　　　　　,AC边上的高为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19.若2a+1,a,2a-1为钝角三角形的三边长,求实数a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 C 级 学科素养创新练 21.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2 x+2=0的两根,2cos(A+B)=1. (1)求角C的大小; (2)求AB的长. 证明 由余弦定理,得a·=b·, 解 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=32+(2)2-2×3×2cos 30°=3,所以a=. 解 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得32=a2+(3)2-2a×3×cos 30°,即a2-9a+18=0,解得a=3或a=6.当a=3时,A=30°,C=120°;当a=6时,由余弦定理的推论,得cos A==0. ∴A=90°,∴C=60°. 3 解析 由tan B=,得cos B=.由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=52+12-2×5×1×=18,所以AC=3. 解析 由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即16=9+c2-6×c,整理得5c2-18c-35=0,解得c=5或c=-(舍去),故c=5. 解析 由a2+b2+ab=c2,得a2+b2-c2=-ab.由余弦定理的推论,得cos C==-,故C=120°. ∶( 解 由a∶b∶c=2∶∶(+1),令a=2k,b=k,c=(+1)k(k>0).由余弦定理的推论,得cos A=,∴A=45°.cos B=,∴B=60°. ∴C=180°-A-B=180°-45°-60°=75°. 2,+1 解 因为+1>>2,所以最大角与最小角所对的边分别为+1,2.设长为的边所对的角为θ,由余弦定理的推论,得cos θ=,所以θ=60°,故最大角与最小角之和为180°-60°=120°. 解 由acos B+acos C=b+c,结合余弦定理的推论得a·+a·=b+c,即=b+c,整理,得(b+c)(a2-b2-c2)=0.因为b+c≠0,所以a2=b2+c2,故△ABC是直角三角形. 解 (1)∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc, ∴a2=b2+c2-bc, 而a2=b2+c2-2bccos A, ∴2cos A=1,∴cos A=. ∵A∈(0,π),∴A=. (2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A,且a=, ∴()2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc.① 又∵b+c=2,与①联立,解得bc=3, ∴∴b=c=, 于是a=b=c=,即△ABC为等边三角形. 解析 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,依题意,得a=5,b=6,c=7. ∴=||·||·cos(π-B)=-ac·cos B.由余弦定理得b2=a2+c2-2ac·cos B,∴-ac·cos B=(b2-a2-c2)=(62-52-72)=-19,∴=-19. 解析 若a为最大边,则b2+c2-a2>0,即a2<5, ∴a<,若c为最大边,则a2+b2>c2,即a2>3,∴a>,故<a<. 4.[探究点二]在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,已知 2acos C=2b+c,则角A等于(　　) A. B. C. D. 解析 ∵2acos C=2b+c,∴由余弦定理的推论,得2a·=2b+c,化简可得b2+c2-a2=-bc, ∴cos A==-. 又A∈(0,π),∴A=.故选D. 5.[探究点二]在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为(　　) A. B. C. D.3 解析 在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,由余弦定理的推论, 得cos A=, ∴A=60°. ∴边AC上的高h=AB·sin A=3sin 60°=.故选B. 解析 ∵c=2acos B,∴c=2a·, 解析 由B=C,得b=c=a.由余弦定理的推论,得cos A=. 解析 由余弦定理得cos B=,又a=3b,所以cos B=≥2, 当且仅当,即c=2b时,等号成立. 所以cos B的最小值是. 10.[探究点一]在△ABC中,cos C=,c=8,a=7,求: 解 (1)a=7,cos C=,c=8, (2)因为cos A=, 且A∈(0,π),所以A=. 11.(多选题)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2, cos A=,则b=(　　) A.2 B.3 C.4 D.2 12.[2023全国高一专题练习]在△ABC中,b=3,c=a,B=,则cos C=(　　) A. B. C.- D.- 解析 由题意,在△ABC中,b=3,c=a,B=, 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得9=a2+3a2-2a×a×,即a2=9,a=3, 故a=b,即A=B=, 所以C=π-A-B=,则cos C=-.故选D. 13.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若>0,则△ABC(　　) 解析 由>0得-cos C>0,所以cos C<0,从而C为钝角,因此△ABC一定是钝角三角形. A. B. C. D. 解析 cos B=,∵0<B<π,∴B∈. ∴(a2+b2-c2+ab)(a2+b2-c2-ab)=0, ∴a2+b2-c2+ab=0或a2+b2-c2-ab=0. ∵cos C=,∴cos C=-. ∵0°<C<180°,∴C=135°或45°.故选B. 解析 ∵c=8,A=, ∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=b2-8b+64=(b-4)2+48. 若B为钝角,由余弦定理得cos B=<0,即a2+c2-b2<0,a2<b2-64, 则b2-8b+64<b2-64,8b>128,b>16. 结合二次函数的性质可知a2>(16-4)2+48=192,a>8,a=16符合题意. 若C为钝角,则a<8,由于A=,则0<B<,b<a. 由余弦定理得cos C=<0,a2+b2-64<0,a2<64-b2, 即b2-8b+64<64-b2,b2-4b<0,0<b<4,此时48<a2<64,即4<a<8,所以a=7符合题意.故选AD. 解析 由余弦定理的推论,可得cos A=, 又0<A<π,∴A=,∴sin A=. 则AC边上的高h=ABsin A=3×. 18.如图,在△ABC中,已知点D在边BC上,AD⊥AC于点A,sin∠BAC=, AB=3,AD=3,则BD的长为　　　　.  解 因为2a+1,a,2a-1是三角形的三边长, 所以解得a>,此时2a+1最大.要使2a+1,a,2a-1是三角形的三边长,还需a+2a-1>2a+1,解得a>2. 设最长边2a+1所对的角为θ,则θ>90°, 所以cos θ=<0,解得<a<8. 综上可知实数a的取值范围是,8. 20.设△ABC是锐角三角形,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且 sin2A=sin+Bsin-B+sin2B. (1)求A的值; (2)若=12,a=2,且b<c,求b,c的值. 解 (1)因为sin2A=sin+Bsin-B+sin2B=cos2B-sin2B+sin2B=, 所以sin A=或sin A=-(舍去).又A为锐角,所以A=. (2)由=12,可得cbcos A=12,① 由(1),知A=,所以cb=24,② 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,a=2及①,得c2+b2=52,③ 由②③得(c+b)2=100,所以c+b=10, 所以c,b是一元二次方程x2-10x+24=0的两个根, 由b<c,解得c=6,b=4. 解 (1)∵cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-,且C∈(0,π),∴C=. (2)∵a,b是方程x2-2x+2=0的两根, ∴ ∴AB2=b2+a2-2abcos C=(a+b)2-ab=10, ∴AB=. $$