6.3.1 平面向量基本定理6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章　平面向量及其应用 6.3.1　平面向量基本定理 6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.理解基底的定义,并能判断两个向量能否构成一个基底. 2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表示平面向量. 3.借助平面直角坐标系,掌握平面向量正交分解以及坐标表示的意义. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　平面向量基本定理 定理 条件 e1,e2是同一平面内的两个　　　　　　向量  结论 对于这一平面内的　　　　向量a,　　　　　　　一对实数λ1,λ2,使a=　　　　　　　　  基底 若e1,e2　　　　　　,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个　　　　  不共线 任一 有且只有 λ1e1+λ2e2　 不共线 基底 名师点睛 对平面向量基本定理的理解 (1)基底具备两个主要特征:①基底是由两个不共线的向量构成的;②基底的选择是不唯一的. (2)基底e1,e2确定后,平面内任一向量a的分解式是唯一的,特别地,当a1e1+a2e2=0时,恒有a1=a2=0. (3)用向量解决几何问题时,可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)平面内基底的选取是不唯一的.(　　) (2)零向量可以作为基底中的向量.(　　) (3)若向量a,b不共线,则{a+b,a-b}可以作为基底.(　　) 2.a=λ1e1+λ2e2中的一对实数λ1,λ2是否唯一? √ × √ 提示 当e1,e2不共线时,由平面向量基本定理知,λ1,λ2是唯一的;当e1,e2共线时,λ1,λ2不唯一. 3.设e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,则以下各组向量中不能作为基底的是(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.e1,e2 B.e1+e2,3e1+3e2 C.e1,5e2 D.e1,e1+e2 B 解析 ∵3e1+3e2=3(e1+e2),∴向量e1+e2,3e1+3e2共线,不可作为基底. 知识点2　平面向量的正交分解及坐标表示 1.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个　　　　　的向量,叫做把向量作正交分解.  2.平面向量的坐标表示 (1)基底:在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴方向　　　　的两个 　　　　向量分别为i,j,取{i,j}作为　　　　.  (2)坐标:对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对　　　　　叫做向量a的坐标,记作a=(x,y),其中,x叫做a在 　　　轴上的坐标,y叫做向量a在 　　　轴上的坐标.  互相垂直 相同 单位 基底 (x,y) x y (3)坐标表示:a=(x,y)叫做向量a的坐标表示. 写向量坐标时要有“=”,与点的坐标区分.如a=(1,2),点A(1,2) (4)特殊向量的坐标:i=　　　　,j=　　　　,0=　　　　.  (1,0) (0,1) (0,0) 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)在平面直角坐标系中,平面向量的坐标是唯一的.(　　) (2)向量的终点的坐标和该向量的坐标相同.(　　) (3)若两个向量的终点不同,则它们的坐标一定不同.(　　) 2.在直角坐标平面内,O为原点,向量 的坐标与点A的坐标有什么关系? √ × × 重难探究·能力素养全提升 探究点一　对平面向量基本定理的理解 【例1】 给出下列说法: ①若向量e1,e2不共线,则平面内的零向量不能用e1,e2表示; ②若向量e1,e2共线,则平面内任一向量a都不能用e1,e2表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式; ③若{e1,e2}是一个基底,则{e1+e2,e1-e2}也可以作为一个基底. 其中正确说法的序号是　　　.  ③ 解析 ①错误.零向量也可以用一个基底来线性表示. ②错误.当e1,e2共线时,平面内的与e1,e2共线的向量可以表示为λ1e1+λ2e2(λ1,λ2∈R)的形式,其余的向量则不可以. ③正确.当e1,e2不共线时,e1+e2与e1-e2一定不共线,故{e1+e2,e1-e2}可以作为基底. 规律方法　平面向量基本定理的四个要点 (1)不共线的向量e1,e2; (2)平面内的任意向量a; (3)存在唯一一对实数λ1,λ2; (4)a=λ1e1+λ2e2. 变式训练1设{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是(　　) A.e1+e2和e1-e2 B.3e1-4e2和6e1-8e2 C.e1+2e2和2e1+e2 D.e1和e1-e2 B 解析 选项B中,6e1-8e2=2(3e1-4e2),∴6e1-8e2与3e1-4e2共线,∴不能作为基底,选项A,C,D中两向量均不共线,可以作为基底.故选B. 探究点二　平面向量基本定理的应用 角度1　用基底表示向量 规律方法　用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. 角度2　平面向量基本定理的综合应用 -2 规律方法　借助向量的基底表示求向量的数量积 数量积的计算中,利用平面向量基本定理可以把需要的向量表示出来,再根据数量积的运算法则进行计算. 变式训练3 如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE. 探究点三　平面向量的坐标表示 【例4】 在平面直角坐标系中,如图,已知向量a,b,且|a|=4,|b|=3,求它们的坐标. 规律方法　求平面向量坐标的方法 (1)若i,j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+yj时,向量a的坐标即为(x,y). (2)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,利用三角函数的定义和性质进行计算. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)平面向量基本定理及其应用. (2)平面向量的正交分解及坐标表示. 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区:忽视基底中的向量不共线. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A 级 必备知识基础练 1.[探究点二]设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为(　　) A.0,0 B.1,1 C.3,0 D.3,4 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A.m>0,n>0 B.m>0,n<0 C.m<0,n>0 D.m<0,n<0 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4.(多选题)[探究点三]已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个选项,其中不正确的选项是(　　) A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y) B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2 C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y) BCD 解析 由平面向量基本定理,知A正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5.[探究点二]已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为　　　　　.  6 解析 由已知得,存在λ∈R,使得a=λb, 即xe1+2e2=3λe1+λye2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6.[探究点二]已知O,A,B是平面内任意不共线三点,点P在直线AB上,若 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.[探究点一]设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2. (1)求证:{a,b}可以作为一个基底; (2)以{a,b}为基底,表示向量c=3e1-e2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (1)证明 假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2). 所以λ不存在,故a,b不共线, 即{a,b}可以作为一个基底. (2)解 设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2) =(m+n)e1+(-2m+3n)e2. 故c=2a+b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 级 关键能力提升练 10.在△ABC中,AB=4,AC=2,点M是边BC的中点,则 的值为(　　) A.-6 B.6 C.-8 D.8 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 12.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的.若 ,E为BF的中点,则 =(　　) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j组成基底,对于平面内的一个向量a.若|a|=2,θ=45°,则向量a的坐标为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.[2023湖南湘潭期末]已知A(2,0),a=(x+3,x-3y-5),若a= ,其中O为原点,则x=　　　　　,y=　　　　　.  -1 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15.已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且 ,求点P的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 级 学科素养创新练 17.已知集合M={a|a=(1,2)+(3λ1,4λ1),λ1∈R},N={a|a=(-2,-2)+(4λ2,5λ2), λ2∈R},则M∩N等于(　　) A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)} C.{(-2,-2)} D.⌀ C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 提示 设=xi+yj,则向量的坐标(x,y)就是终点A的坐标;反过来,终点A的坐标(x,y)也就是向量的坐标. 【例2】 [北师大版教材例题]如图,已知点M,N,P分别是△ABC三边BC,CA,AB上的点,且.设=a,=b,选择基底{a,b},试写出向量在此基底下的分解式. 解 根据题意,得)=(b-a),=-=-b, 所以(b-a)-b=-a+b. 同理a+(b-a)=a+b, a-b. 变式训练2[2023江西赣州期中]在平行四边形ABCD中,点E和点B关于点D对称,=3.用表示. 解 ∵点E和点B关于点D对称, ∴=2, ∴+2+2()=-+2. ∵=3, ∴)=. 【例3】 正三角形ABC边长为2,设=2=3,则=　　 .  解析 )·()=)·()=×2×2××4+×4-×2×2×=-2. 证明 =()·() =· =· =· =-|2+|2. 因为CA=CB,所以-|2+|2=0,即=0,故AD⊥CE. 解 设a=(a1,a2),b=(b1,b2), 则a1=|a|cos 45°=2,a2=|a|sin 45°=2. b向量相对于x轴正方向的转角为120°, ∴b1=|b|cos 120°=-,b2=|b|sin 120°=. ∴a=(2,2),b=. 变式训练4已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=60°.求向量的坐标. 解 设点A(x,y), 则x=4cos 60°=2,y=4sin 60°=6, 即A(2,6),=(2,6). 解析 因为向量e1与e2不共线, 所以解得 2.[探究点二]如图所示,在△ABC中,AD=AB,BE=BC,则=(　　) A. B. C. D. 解析 )=. 3.[探究点二]如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足(　　) 所以故xy=3λ·=6. =3+x,则x=　　　　.  解析 ∵点P在直线AB上,且=3+x, ∴3+x=1,∴x=-2. 7.[探究点二]在长方形ABCD中,点E为CD的中点,设=a,=b,若=λa+μb,则λ+μ=　 .  解析 ∵在长方形ABCD中,点E为CD的中点, ∴,而=a,=b, ∴=b+a.∴λ+μ=. 由e1,e2不共线,得 所以解得 9.[探究点二·苏教版教材例题]如图,▱ABCD的对角线AC和BD交于点M,=a,=b,试用基底a,b表示. 解 =a+b. 因为平行四边形的对角线互相平分, 所以a+b. 从而=-=-a-b, )=a-b, =-b-a. 解析 ∵在△ABC中,点M是边BC的中点, ∴). 又,AB=4,AC=2, ∴)·()=)=(4-16)=-6.故选A. 11.如图,在△ABC中,,P是线段BD上一点,若=m,则实数m的值为(　　) A. B. C.2 D. A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b =a,=b ()　 解析 由题意知a=(2cos 45°,2sin 45°)=(). 解析 由题意知解得 ||=|| 解 设点P的坐标为(x,y).当P在线段AB上时,. ∴(x-3,y+4)=(-1-x,2-y),∴解得 ∴点P的坐标为(1,-1). 当P在线段AB的延长线上时,=-. ∴(x-3,y+4)=-(-1-x,2-y),∴此时无解. 综上所述,点P的坐标为(1,-1). 解 设=e1,=e2,则=-3e2-e1,=2e1+e2. ∵A,P,M和B,P,N分别共线, ∴存在实数λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,=μ=2μe1+μe2, ∴=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2. 又=2e1+3e2,∴解得 ∴,即=4∶1. 解析 令(1,2)+(3λ1,4λ1)=(-2,-2)+(4λ2,5λ2),即(1+3λ1,2+4λ1)=(-2+4λ2,-2+5λ2), ∴ 解得M∩N={(-2,-2)}. 18.如图所示,在△ABO中,, AD与BC相交于点M.设=a,=b. (1)试用向量a,b表示; (2)在线段AC上取点E,在线段BD上取点F,使EF过点M.设=λ=μ,其中λ,μ∈R.当EF与AD重合时,λ=1,μ=,此时=5;当EF与BC重合时,λ=,μ=1,此时=5.能否由此得出一般结论:不论E,F在线段AC,BD上如何变动,等式=5恒成立,请说明理由. 解 (1)设=ma+nb(m∈R,n∈R),由A,D,M三点共线,可知存在α(α∈R,且α≠-1)使得=α,则=α(). 又,所以a+b, 所以即m+2n=1.① 由B,C,M三点共线,可知存在β(β∈R,且β≠-1)使得=β,则=β(). 又,所以a+ b, 所以即3m+n=1.② 由①②得m=,n=,故a+b. (2)能得出结论. 理由如下:由于E,M,F三点共线,则存在实数γ(γ∈R,且γ≠-1)使得=γ,则=γ(),于是. 又=λ=μ, 所以a+b, 所以a+b=a+b,从而 所以消去γ得=5. $$