6.2.2 向量的减法运算课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章　平面向量及其应用 6.2.2　向量的减法运算 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.理解相反向量的概念. 2.借助实例和平面向量的几何表示理解向量减法的意义,掌握向量减法的运算法则及其几何意义. 3.能运用向量的加法与减法解决相关问题. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　相反向量 定义 与向量a长度　　　　,方向　　　　的向量,叫做a的相反向量  性质 ①零向量的相反向量仍是零向量 ②a+(-a)=(-a)+a=　　　  ③如果a,b互为相反向量,那么a=　　　,b=-a,a+b=0 若a+b=0,则|a|=|b|  相等 相反 0 -b 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)相反向量就是方向相反的向量.(　　) (2)若a+b=0,则a,b互为相反向量;反之也成立.(　　) (3)相反向量一定是平行向量,平行向量不一定是相反向量.(　　) × √ √ 2.如图,四边形ABCD 是平行四边形,AC与BD相交于点O,下列互为相反向量的是(　　) C 知识点2　向量减法运算及其几何意义 定义 a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的　　　　  作法 已知向量a,b,在平面内任取一点O,作 几何意义  用几何法求两个向量的差时,这一步至关重要 如果把两个向量a,b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b的 　　　指向向量a的　　　的向量  相反向量 终点 终点 名师点睛 1.若向量a,b为非零不向量共线,则a,b与a-b围成三角形,故称这种作两向量差的方法为向量减法的三角形法则. 2.求两个向量的差就是要把两个向量的起点放在一起,它们的差是以减向量的终点为起点,以被减向量的终点为终点的向量,可简记为“共起点,连终点,指向被减”. 过关自诊 1.当两个非零向量a,b共线时,如何作图得a-b? 图① 图② 2.若a,b是不共线的向量,则|a+b|与|a-b|的几何意义是什么? A.a+b B.a-b C.b-a D.-a-b C 重难探究·能力素养全提升 探究点一　　向量减法的几何意义 A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c A (2)[北师大版教材例题]如图,已知向量a,b,c,求作向量a-b+c. 规律方法　 变式训练1如图所示,已知向量a,b,c,求作向量a-b-c. 图① 图② 探究点二　　向量的加法与减法运算 【例2】 化简下列各向量的表达式: 规律方法　向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和; (2)起点相同且为差. 做题时要注意观察是否有这两种形式,同时要注意逆向应用. 变式训练2[人教B版教材习题]化简下列各式: 探究点三　　向量减法几何意义的应用 【例3】 (1)在四边形ABCD中, ,则四边形ABCD是(　　) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 B 规律方法　1.用向量法解决平面几何问题的步骤 (1)将平面几何问题中的量抽象成向量. (2)转化为向量问题,进行向量运算. (3)将向量问题还原为平面几何问题. 2.用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键 (1)利用向量证明线段平行且相等,从而证明四边形为平行四边形,只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可. (2)根据图形灵活运用向量的运算法则,找到向量之间的关系是解决此类问题的关键. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)向量的减法运算. (2)向量减法的几何意义. 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区:忽视向量共起点时才可进行向量的减法运算. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 级 必备知识基础练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.[探究点一]如图,已知六边形ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心, A.a+b B.b-a C.c-b D.b-c D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ABC　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a+c-b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 矩形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)a-b; (2)a-b+c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 级 关键能力提升练 ABD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A.A,B,C三点必在同一条直线上 B.△ABC必为等腰三角形,且∠ABC为顶角 C.△ABC必为直角三角形,且∠ABC=90° D.△ABC必为等腰直角三角形 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A.点P在△ABC内部 B.点P在△ABC外部 C.点P在直线AB上 D.点P在直线AC上 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ①④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 级 学科素养创新练 (2)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在直线互相垂直? (3)当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|? (4)a+b与a-b有可能为相等向量吗?为什么? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵a+b与a-b所在直线互相垂直,∴AC⊥BD. 又四边形ABCD为平行四边形, ∴四边形ABCD为菱形,即a,b应满足|a|=|b|. ∵矩形的两条对角线相等,∴当a与b所在直线互相垂直, 即AD⊥AB时,满足|a+b|=|a-b|. (4)不可能.因为▱ABCD的两条对角线不可能平行,所以a+b与a-b不可能为共线向量,更不可能为相等向量. A. B. C. D. 解析 向量的模相等,方向相反,互为相反向量. 提示 当a,b同向时.如图①,作=a,=-b,则=a-b. 当a,b反向时.如图②,作=a,=-b,则=a+(-b)=a-b. 提示 如图所示,设=a,=b,则=a+b,=a-b.因为四边形OACB是平行四边形,所以|a+b|=||,|a-b|=||,分别是以OA,OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长. 3.在△ABC中,若=a,=b,则=(　　) 解析 =b-a. 【例1】 (1)如图所示,四边形ABCD中,若=a,=b,=c,则=(　　) 解析 =()-=a+c-b.故选A. 解 如图,在平面上任取一点O,作=a,=b,则=a-b. 再作=c,连接BD,则=a-b+c. 解 (方法一)先作a-b,再作a-b-c即可. 如图①所示,以A为起点分别作向量,使=a,=b.连接CB,得向量=a-b,再以C为起点作向量,使=c,连接DB,得向量.则向量即所求作的向量a-b-c. (方法二)先作-b,-c,再作a+(-b)+(-c),如图②. (1)作=-b和=-c; (2)作=a,则=a-b-c. (1); (2)()-(); (3)()-(). 解 (1). (2)()-()=()-()==0. (3)()-()=()-()==0. (1); (2)()-. 解 (1); (2)()-. .若||=|| 解析 ∵, ∴四边形ABCD为平行四边形, ∵||=||,∴||=||. ∴四边形ABCD为矩形.故选B. (2)已知||=6,||=9,求||的取值范围. 解 ∵|||-|||≤||≤||+||, 且||=9,||=6,∴3≤||≤15. 当同向时,||=3; 当反向时,||=15. ∴||的取值范围为[3,15]. 变式探究将本例(2)的条件改为“||=8,||=5”,求||的取值范围. 解 ∵,||=8,||=5, |||-|||≤||≤||+||, ∴3≤||≤13. 当同向时,||=3;当反向时,||=13. ∴||的取值范围是[3,13]. 1.[探究点三]在边长为1的正三角形ABC中,||的值为(　　) A.1 B.2 C. D. 解析 如图,作菱形ABCD,则||=||=||=. 其中=a,=b,=c,则=(　　) 解析 =b-c. 3.(多选题)[探究点二]下列四个式子可以化简为的是(　　) A.+() B.()+() C. D. 解析 对于A,+()=()+;对于B,;对于C,;对于D,.故选ABC. 4.[探究点三]在矩形ABCD中,||=2,||=4,则||=　 　　.  4 解析 在矩形ABCD中,=2,所以||=2||=4. 5.[探究点一]如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则=　　　　　.  解析 由已知得,则 =a+c-b. 6.[探究点三]在平行四边形ABCD中,若||=||,则四边形ABCD的形状为　　　　　.  解析 如图,因为,所以||=||.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知,平行四边形ABCD是矩形. 7.[探究点一]如图,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,=b,=c,试作向量: 解 (1)在正方形ABCD中,a-b=.连接BD,箭头指向B,即可作出a-b. (2)过B作BF∥AC,交DC的延长线于F,连接AF,则四边形ABFC为平行四边形, ∴a+c=. 在△ADF中,=a+c-b=a-b+c, ∴即为所求. 8.(多选题)下列四式中能化简为的是(　　) A.()- B.()+() C.()- D.()+ 解析 对于A,()-; 对于B,()+()=+0=; 对于C,()-=2, 所以C不能化简为; 对于D,()+. 9.平面上有三点A,B,C,设m=,n=,若m,n的长度恰好相等,则有(　　) 10.已知A,B,C为三个不共线的点,P为△ABC所在平面内一点,若,则下列结论正确的是(　　) 解析 ∵,∴, ∴,即. 故点P在边AC所在的直线上. 11.如图,在正六边形ABCDEF中,与相等的向量有　　　　　.(填序号)  ①;②;③; ④;⑤;⑥;⑦. 12.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,且||=4,|| =||,则||=　　　　.  解析 以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,由向量加减法的几何意义可知,, ∵||=||,∴||=||, 又||=4,M是线段BC的中点, ∴||=|=|=2. 13.如图,在四边形ABCD中,,对角线AC与BD交于点O,设=a,=b,用a和b表示. 解 ∵, ∴四边形ABCD是平行四边形, ∴点O是DB的中点,也是AC的中点, ∴=b-a, =-=-b-a. 14.如图所示,点O是△ABC内一点,AO交BC于点D,BO交AC于点E,CO交AB于点F.已知=a,=b,=c,=e,=d,=f,试用a,b,c,d,e,f表示. 解 =c-a; =d-a; =d-b; =b-a+f-c; =f-d. 15.如图,在▱ABCD中,=a,=b. (1)用a,b表示. 解 (1)=a+b,=a-b. (2)由(1)知,a+b=,a-b=. (3)|a+b|=|a-b|,即||=||. $$