6.2.3 向量的数乘运算课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章　平面向量及其应用 6.2.3　向量的数乘运算 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算律,理解其几何意义. 2.理解两个平面向量共线的含义. 3.了解平面向量的线性运算性质,能用已知向量表示未知向量. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　向量的数乘运算 定义 一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个　　　　,这种运算叫做向量的数乘,记作　　　　  长度 |λa|=　　　　　  方向 λ>0 λa的方向与a的方向　　　  λ<0 λa的方向与a的方向　　　  规定 当λ=0或a=0时,λa=0 名师点睛 1.λa的几何意义就是把向量a沿着与a相同(λ>0)或相反(λ<0)的方向伸长(|λ|>1)或缩短(|λ|<1)到原来的|λ|倍或|λ|. 2.要注意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算,如:2+a,1-0无意义. 向量 λa |λ||a|　 相同 相反 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)实数与向量的积是一个向量.(　　) (2)若λa=0,则a=0(其中λ为实数).(　　) (3)|λa|=λ|a|.(　　) 2.向量λa的方向和大小与向量a的关系是怎样的? √ × × 提示 λa是一个向量,当λ>0时,与a方向相同;当λ<0时,与a方向相反;当λ=0时,λa=0,方向不确定.|λa|=|λ||a|. 3.实数与向量可以相乘,那么能否相加或相减呢? 提示 不能进行加减,像a+λ,a-λ(λ为实数)都是没有意义的. 知识点2　数乘向量的运算律 1.数乘向量的运算律 (1)λ(μa)=　　　　　;  (2)(λ+μ)a=　　　　+　　　　;  (3)λ(a+b)=　　　　　.  特别地,有(-λ)a=　　　　　=　　　　　;λ(a-b)=　　　　　　.  2.向量的　　　　、　　　　、　　　　运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=　　 　　.  (λμ)a λa μa λa+λb -(λa) λ(-a) λa-λb 加 减 数乘 λμ1a±λμ2b 过关自诊 1.化简 的结果是(　　)　　　　　　　　　　　 A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b B 知识点3　向量共线定理 1.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使　　　　　　　　.  2.要证明向量a(a≠0),b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa即可. 3.由该性质定理知,若向量 有公共点A,从而A,B,C三点共线,这是证明三点共线的重要方法. b=λa 名师点睛 该定理中a≠0的原因 (1)若a=b=0,则实数λ存在,但λ并不唯一,此时定理不成立. (2)若b≠0,a=0,则不存在实数λ,使b=λa,此时定理也不成立. 过关自诊 1.设A,B,C是三个不同的点,λ是实数, 是A,B,C三点共线的什么条件? 2.分别指出以下各题中A,B,C三点是否一定共线.如果共线,指出线段AB与BC的长度之比. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　　向量的线性运算 【例1】 (1)[北师大版教材习题]化简下列各式. ①4(2a+3b)+3(a-b)-b; (2)已知2x+3y=a,x-4y=2b,试用a,b表示x,y. 规律方法　向量数乘运算的方法 向量的数乘运算类似于多项式的代数运算,如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等 变形手段在数与向量的乘积中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. 变式训练1(1)计算:①3(a-b)-2(a+2b); ②2(2a+6b-3c)-3(-3a+4b-2c). 解 ①原式=3a-3b-2a-4b=a-7b. ②原式=4a+12b-6c+9a-12b+6c=13a. (2)已知2a-b=m,a+3b=n,用m,n表示a,b. 探究点二　用已知向量表示未知向量 D 变式探究本例(1)中,设AC与BD相交于点O,F是线段OD的中点,AF的延长线交DC于点G,试用a,b表示 规律方法　用已知向量表示其他向量的一般步骤 探究点三　向量共线问题 A,B,D (2)设a,b是不共线的两个非零向量.若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值. 解 ∵8a+kb与ka+2b共线, ∴存在实数λ,使得8a+kb=λ(ka+2b), 即(8-λk)a+(k-2λ)b=0. ∴k=2λ=±4. 规律方法　证明或判断三点共线的方法 (2)利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值. 变式训练2设两个非零向量a与b不共线. (2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线. (2)解 ∵ka+b与a+kb共线, ∴存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb, ∴(k-λ)a=(λk-1)b. ∵a,b是不共线的两个向量, ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)向量的数乘及其运算律. (2)向量共线定理. (3)三点共线的常用结论. 2.方法归纳:数形结合、分类讨论. 3.常见误区:忽视零向量这一个特殊向量. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A 级 必备知识基础练 1.(多选题)[探究点一]下面四种说法,其中正确的是(　　) A.对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb B.对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na C.对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b D.对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n AB 解析 由向量数乘的运算律,得A,B均正确.对于C,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b,错误.对于D,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n,错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3.[探究点一]设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则 等于(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 等腰梯形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 -2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 B 级 关键能力提升练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 解析 设E,F,D分别是AC,AB,BC的中点, 由于O是三角形ABC的重心, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.(多选题)已知向量a,b是两个非零向量,在下列条件中,一定能使向量a,b共线的是(　　) A.2a-3b=4e且a+2b=-2e B.存在相异实数λ,μ,使λa-μb=0 C.xa+yb=0(其中实数x,y满足x+y=0) AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解析 选项A中,联立2a-3b=4e和a+2b=-2e,消去向量e可得出4a+b=0, ∴b=-4a,且a≠0,所以向量a,b共线. 选项B中,∵a,b都是非零向量,且λ≠μ,λa-μb=0, ∴λ,μ都不为0,∴a= b,所以向量a,b共线. 选项C中,当x=y=0时,满足x+y=0,此时对任意的向量a,b都有xa+yb=0, ∴得不出向量a,b共线; 选项D中,∵在梯形中AB与CD不一定平行,∴得不出向量a,b共线.故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17.如图所示,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上,且 BN= BD.求证:M,N,C三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 C 级 学科素养创新练 18.用向量运算刻画三角形的重心. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (1)解 设点D,F分别是AB,BC的中点,连接CD,AF交于点G,则G为△ABC的重心, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2a+8b)-(4a-2b)] 解析 原式=(a+4b-4a+2b)=(-3a+6b)=-a+2b.故选B. 2.若2y-a-(c+b-3y)+b=0,其中a,b,c为已知向量,则未知向量y=　　　　　　　　.  a-b+c　 解析 将原等式变形为2y-a-c-b+y+b=0,即y-a-c+b=0,y=a-b+c, ∴y=a-b+c)=a-b+c. =λ,则共线.又 =λ 提示 由=λ知,共线,故A,B,C三点共线,反之也成立,故=λ是A,B,C三点共线的充要条件. (1)=-2; (2). 解 (1)∵=-2,∴共线. 又∵有公共点C,∴A,B,C三点共线. ∵, ∴=-2, ∴=-3,∴||=3||, ∴AB∶BC=3∶1. (2)∵,∴共线. 又∵有公共点A,∴A,B,C三点共线. ∵=2=2(), ∴=-2, ∴||=2||,∴AB∶BC=2∶1. 3.[人教B版教材例题]已知A,B,C是三个不同的点,=a-b,=2a-3b, =3a-5b.求证:A,B,C三点共线. 证明 因为=(2a-3b)-(a-b)=a-2b, =(3a-5b)-(a-b)=2a-4b, 所以=2,因此A,B,C三点共线. ②(a+2b)-(3a-2b)-a. 解 ①4(2a+3b)+3(a-b)-b=8a+12b+3a-3b-b=11a+8b. ②(a+2b)-(3a-2b)-a=a+b-2a+b-a=(-2-1)a+()b=-a+b. 解 由x-4y=2b,可得x=4y+2b,代入2x+3y=a,可得2(4y+2b)+3y=a,于是8y+4b+3y=a,解得y=a-b, 再代入x=4y+2b中可得x=a+b. 解 由2a-b=m,可得2a-m=b,代入a+3b=n可得a+3(2a-m)=n,解得a=m+n,代入2a-m=b可得b=-m+n. 【例2】 (1)如图所示,在▱ABCD中,E是BC的中点.若=a,=b,则=(　　) A.a-b B.a+b C.a+b D.a-b 解析 =a-b.故选D. (2)如图所示,D,E分别是△ABC的边AB,AC的中点,M,N分别是DE,BC的中点.已知=a,=b,试用a,b分别表示. 解 由三角形中位线定理,知DE BC, 故,即a. =-a+b+a=-a+b. =-a-b+a=a-b. . 解 因为DG∥AB,所以△DFG∽△BFA. 又因为DF=OD=BD=BD, 所以. 所以a+b. 【例3】 (1)已知非零向量e1,e2不共线,如果=e1+2e2,=-5e1+6e2, =7e1-2e2,则共线的三个点是　　　　　.  解析 ∵=e1+2e2,=-5e1+6e2+7e1-2e2=2(e1+2e2)=2, ∴共线,且有公共点B,∴A,B,D三点共线. ∵a与b不共线,∴解得λ=±2, (1)要判定A,B,C三点是否共线,①只需看是否存在实数λ,使得有公共点. (1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线; (1)证明 ∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b), ∴=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5. ∴共线. 又它们有公共点B,∴A,B,D三点共线. 2.[探究点三]已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则(　　) 解析 ∵向量=2a+4b,=a+2b, ∴=2,即A,B,D三点共线. A. B. C. D. 解析 如图,) =×2. 4.[探究点二]若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是　　　　　.  解析 由已知得=-, 因此,且||≠||,所以四边形ABCD是梯形. 又因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形. 5.[探究点三]已知O,A,B是平面内任意三点,点P在直线AB上,若=3+x,则x=　　　　　.  解析 因为点P在直线AB上,所以=λ,λ∈R,即=λ(),即=λ+(1-λ),所以所以x=-2. 6.[探究点二]如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD, =a,=b. (1)用a,b分别表示向量; (2)求证:B,E,F三点共线. (1)解 ∵)=(a+b), ∴(a+b). ∵b,∴=-a+b. (2)证明 由(1)知=-a+b,=-a+(a+b)=-a+b=, ∴.∴共线. 又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线. 7.[探究点一](1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求-a-b+(2b-a); 解 原式=a-b-a+b+2b-a=a+b=-a+b. ∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-(3i+2j)+(2i-j)=i+j=-i-5j. 解 将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b. 与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,∴x=a+b. ∴y=3x-b=3-b=a-b. 8.如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则等于(　　) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 9.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足 =0,若实数λ满足=λ,则λ的值为(　　) A.2 B. C.3 D.6 解析 -2. 又=0,即=-, ∴=-3=λ=-λ,∴λ=3. 10.已知△ABC的重心为O,则向量=(　　) A. B. C.- D.- 所以×()=×() =-.故选C. 11.如图,在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠BAD=90°,AD=AB=2,CD=1,动点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),且=m+n(m,n∈R),则的最小值是(　　) A.3 B.3+2 C.4 D.4+2 12.O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足+λ(),λ∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　) D.已知梯形ABCD,其中=a,=b 14.在平行四边形ABCD中,=a,=b,=3,M为BC的中点,则=　　　　　,=　　　　　.(用a,b表示)  -b-a -a+b　 解析 如图,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴,又=3,∴A,N,C三点共线,且=-,则 =-b-a, b-(a+b)=-a+b. 15.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=　　　 =　　　　.  解析 ∵-3+2=0, ∴=2(),∴=2, ∴=2,∴=2. 16.已知在△OBC中,A是线段BC的中点,D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设=a,=b.用向量a与b表示向量. 解 ∵=a,=b,点A是BC的中点, ∴=-a. ∴=-a-b. 证明 设=a,=b,则由向量减法的三角形法则可知 a-b. 又∵N在BD上且BN=BD, ∴)=(a+b),∴(a+b)-b =a-b=a-b), ∴,∴共线. 又∵有公共点C,∴C,M,N三点共线. (1)已知△ABC,求一点G满足=0. (2)求证:满足条件=0的点G是△ABC的重心. 延长CD到点E,使得DE=GD,连接AE,BE,BG,如图, 由向量加法的平行四边形法则,得=2, 因为点G为△ABC的重心, 所以||=2||, 故=2,所以=2=0,所以△ABC的重心G满足题意. (2)证明 因为=0,所以=-, 以GA,GB为邻边作▱GAEB,连接GE,由向量加法的平行四边形法则, 得,所以, 设AB与GE交于点D,由平行四边形的性质可知点 D为AB和GE的中点,所以=2,即点G在中线CD上. 同理可证点G也在其他两边的中线上,即点G是三角形三条中线的交点,所以点G为△ABC的重心. $$