6.2.1 向量的加法运算课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章　平面向量及其应用 6.2.1　向量的加法运算 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.借助实例掌握向量加法的概念以及向量加法的几何意义. 2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,会进行向量的加法运算. 3.掌握向量加法的交换律和结合律,会用它们进行计算. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　向量的加法及其运算法则 1.向量加法的定义:求两个向量　　　　的运算,叫做向量的加法,两个向量的和仍然是一个向量.  向量加法定义的体现 和 3.向量加法的平行四边形法则:已知两个不向量共线a,b,在平面内取任意一点O,作 ,以OA,OB为邻边作▱OACB,则以O为起点的_________　　　　(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.  4.向量加法的三角形法则与平行四边形法则的记忆口诀: (1)三角形法则:作平移,首尾连,由起点指终点; (2)平行四边形法则:作平移,共起点,四边形,对角线. 5.规定:对于零向量与任意向量a,规定:a+0=0+a=a. 名师点睛 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别与联系 区别有两个:(1)三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;(2)三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和. 联系:三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半,当两个向量不共线时,两种加法法则在本质上是一致的. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量.(　　) (3)对于任意两个向量,都可利用平行四边形法则求出它们的和向量.(　　) (4)若a+b=0,则a=0且b=0.(　　) √ √ × × 2.当向量a,b是两个非零的共线向量时,如何求这两个向量的和向量? 提示 当向量a,b是向量共线时,不能用平行四边形法则作出两个向量的和向量,但可以用三角形法则作出两个向量的和向量,分两向量同向和反向两种情形: ①同向 ②反向 3.在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是(　　) C 知识点2　向量加法的运算律 1.向量加法的交换律:a+b=　　　　.  2.向量加法的结合律:　　　　　=a+(b+c).  过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)向量的加法与实数的加法类似,都满足交换律和结合律.(　　) b+a (a+b)+c √ √ 2.已知非零向量a,b,c,则向量(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(b+a),c+(a+b)中,与向量a+b+c相等的个数为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.5 D 解析 由向量加法的交换律与结合律可知,所给的5个向量都与a+b+c相等. 0 知识点3　|a+b|与|a|,|b|之间的关系 对任意两个向量a,b,有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向相同的非零向量时,等号成立. 名师点睛 当a与b不共线时,|a+b|<|a|+|b|的几何意义为三角形两边之和大于第三边. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) 2.当向量a与b不共线时,|a+b|<|a|+|b|的几何意义是什么? × × 提示 三角形两边之和大于第三边. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　　已知向量作和向量 【例1】 [人教B版教材习题]如图: (1)以A为始点,作出a+b; (2)以B为始点,作出c+d+e. 解 (1)如图所示; (2)如图所示. 规律方法　 探究点二　　向量加法与运算律 【例2】 设A,B,C,D是平面上的任意四点,试化简: 规律方法　解决向量加法运算时应关注两点 (1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算. (2)要灵活运用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注意勿将0写成0. 变式训练2如图,四边形ABDC为等腰梯形,AB∥CD,AC=BD,CD=2AB,E为CD的中点.化简: 探究点三　　利用向量加法法则解决实际问题 【例3】 在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和. 变式探究本例中,这架飞机到达C地医院后,往正南方向飞行多大距离即可由此按正西方向飞回A地? 解 如图,由点C作垂线,垂足为D, 规律方法　向量加法应用的关键及技巧 (1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量. (2)应用技巧:①准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量;②将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)向量加法的三角形法则. (2)向量加法的平行四边形法则. (3)向量三角不等式. (4)向量加法的运算律. 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区:向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接,平行四边形法则要注意把向量移到共同起点. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 级 必备知识基础练 1.[探究点二]在四边形ABCD中, ,则四边形ABCD是(　　) A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.平行四边形 D 解析 由平行四边形法则可得,四边形ABCD是以AB,AD为邻边的平行四边形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3.(多选题)[探究点一]已知向量a∥b,且|a|≠|b|,则向量a+b的方向可能(　　) A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反 C.与向量b的方向相同 D.与向量b的方向相反 ABCD 解析 ∵a∥b,且|a|≠|b|,∴a与b共线,它们的和的方向可能与a同向或反向,与b同向或反向. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.[探究点二]如图,在平行四边形ABCD中,写出下列各式的结果: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.[探究点三]一艘船在水中航行,如果此船先向南偏西30°方向行驶2 km,然后又向西行驶 2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.[探究点二]如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 B 级 关键能力提升练 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A.a∥b B.a+b=a C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b| AC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.如果|a|=6,|b|=3,那么|a+b|的取值范围是　　　　　.  [3,9] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.△ABC是正三角形,给出下列等式: 其中正确的有　　　　.(写出所有正确等式的序号)  ①③ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.[苏教版教材例题]在长江南岸某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船在静水中的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C 级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2.向量加法的三角形法则:已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作=a,=b,则向量　　　　叫做a与b的和,记作a+b,即a+b==　　　　.上述求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.  =a,=b 向量 (2).(　　) =a+b. =a+b. A. B. C. D.=0 解析 因为,所以C错误. (2).(　　) 3.化简:(1)()+=　　　　　.  (2)=　　　　　.  解析 ()+=()+. (1).(　　) (2)||+||=||.(　　) 变式训练1如图,已知正方形ABCD,=a,=b,=c,试作向量a+b+c. 解 由已知得a+b=,又=c,所以延长AC至E,使||=||, 则a+b+c=即所求,如图. (1); (2); (3). 解 (1)=()+. (2)=()+()=0+0=0. (3)=0. (1); (2); (3). 解 由已知得四边形ACEB,四边形ABDE均为平行四边形. (1). (2)(答案不唯一). (3) =()+()+ ==0. 解 如图所示,设分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B地按南偏东55°的方向飞行800 km. 则飞机飞行的路程指的是||+||;两次飞行的位移的和指的是 . 依题意,有||+||=800+800=1 600(km). 又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°. 所以||==800(km). 其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80°. 从而飞机飞行的路程是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800 km,方向为北偏东80°. 因为∠BAC=45°,所以∠CAD=90°-35°-45°=10°,在Rt△ACD中, CD=ACsin 10°=800sin 10°(km).即往正南方向飞行800sin 10° km,即可由此按正西方向飞回A地. 2.[探究点二]在边长为1的正方形ABCD中,||等于(　　) A.0 B.1 C. D.3 解析 ||=||=||=1. 4.[探究点二]向量()+()+化简后等于(　　) A. B. C. D. 解析 ()+()+. (1)=　　　　　;  (2)=　　　　　;  (3)=　　　　　;  (4)=　　　　　.  (2). 解析 (1)由平行四边形法则可知,. (3). (4)=0. 6.[探究点二]若菱形ABCD的边长为2,则||等于　　　　.  解析 因为四边形ABCD是菱形,所以||=||=2. 7.[探究点一]已知||=3,||=3,∠AOB=60°,求||. 解 如图,作平行四边形OACB, ∵||=||=3,∴四边形OACB为菱形. 连接OC,AB,则OC⊥AB,设垂足为D. ∵∠AOB=60°,∴AB=||=3. ∴在Rt△OAD中,OD=, ∴||=||=×2=3. 解 如图,用表示船的第一次位移,用表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知, 所以可表示两次位移的和位移.由题意知, 在Rt△ABC中,∠BAC=30°, 则BC=AC=1,AB=. 在等腰三角形ACD中,AC=CD=2, 所以∠D=∠DAC=∠ACB=30°, 所以∠BAD=60°,AD=2AB=2,所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°,位移的大小为2 km. (1); (2). 解 (1). (2)=0. 10.在正六边形ABCDEF中,=(　　) A. B. C. D.0 解析 如图,连接AD,BE,设AD与BE交于O点,则, ∴=0. 故选D. 11.(多选题)设a=()+(),b是任一非零向量,则下列选项正确的有(　　) 解析 ∵a=()+()==0, 又b为任一非零向量,∴A,C正确. ①||=||; ②||=||; ③||=||. 解 如图,设表示水流的速度,表示渡船在静水中的速度,表示渡船实际垂直过江的速度. 因为, 所以四边形ABCD为平行四边形. 在Rt△ACD中,因为∠ACD=90°, ||=||=12.5,||=25, 所以∠CAD=30°. 所以渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30°. 15.在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O且||=||=1,=0,cos∠DAB=.求||与||. 解 ∵=0,∴. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又||=||=1,知四边形ABCD为菱形. 又cos∠DAB=,∠DAB∈(0,π),∴∠DAB=60°. ∴△ABD为正三角形. ∴||=||=||=2||=,||=||=||=1. $$