精品解析：四川省雅安市四校2023-2024学年高二下期期中联考数学试题

数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､芳生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦于净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册占70%，选择性必修第三册第六章占30%. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 现有6幅不同的风景画，2幅不同的人物画，3幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 11种 B. 18种 C. 30种 D. 36种 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合的定义计算. 【详解】共有幅画，所以共有种不同的选法. 故选：A. 2. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】对求导，然后将求出即可. 【详解】因为， 则， 所以，解得. 故选：B. 3. 核糖核酸（RNA）是存在于生物细胞及部分病毒、类病毒中的携带遗传信息的物质.参与形成RNA的碱基有4种，分别用A，C，G，U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由20个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（ ） A. 24 B. 80 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】每个碱基有4种可能，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA 分子的种数为. 故选：D 4. 已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出导函数，再将代入导函数即可求解. 【详解】因为， 所以，即该质点的瞬时速度是. 故选：D. 5. 已知正项等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据前n项和定义可得，结合等比数列的通项公式运算求解. 【详解】由题意可知：， 因为，则， 可得，所以. 故选：A. 6. 若，则（ ） A. 121 B. 122 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别令、所得两式相加可得答案. 【详解】令，得； 令，得， 两式相加得 所以. 故选：C. 7. 一个家庭有5个成员，其中有父、母亲以及3个孩子，现安排站一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队，则不同的站法种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 16 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】相邻问题利用捆绑法可得答案. 【详解】安排站一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队， 则不同的站法种数为. 故选：B. 8. 已知函数，若关于的方程有6个解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过导数判断函数的单调性，根据图象性质可知，方程的解有3个，分别为，结合二次函数的性质得，结合单调性解不等式即可. 【详解】当时，，则在上单调递增， 在上单调递减，最大值为. 易知在上单调递增，且， 可得的大致图象如图所示. 令，则方程解有3个，分别为， 不妨设，可得， 且，解得. 又在上单调递减，在上单调递增，所以，即. 设，易知在上单调递增，又， 所以的解集为. 综上，的取值范围为. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，各二项式系数的和为64，则（ ） A. B. C. 展开式中的系数为 D. 展开式中常数项为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式系数和的性质求出，即可判断AB；求出展开式的通项，令的指数等于即可判断C；令的指数等于即可判断D. 【详解】由题意，解得，故 A正确；B错误； 二项展开式的通项为， 令，则， 所以展开式中的系数为，故C正确； 令，则， 所以展开式中常数项为，故D错误. 故选：ACD. 10. 如图，直线与曲线，，，均相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据导数的定义和几何意义判断即可. 【详解】， ， 由图可知，且曲线在处比曲线更陡峭， 曲线在处比曲线更陡峭， 所以， 所以A，B，D选项正确，C错误， 故选：ABD. 11. 在数列每相邻的两项中间插入这两项的平均数，构造成一个新数列，这个过程称为原数列的一次“平均拓展”，再对新数列进行如上操作，称为原数列的二次“平均拓展”.已知数列的通项公式为，现在对数列进行次“平均拓展”，得到一个新数列，记为与之间的次平均拓展之和，为与之间的次平均拓展之和，，依此类推.将数列经过次“平均拓展”后得到的新数列的所有项之和记为，则（ ） A. B. C. 一定是偶数 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知，分析每次构造后的取值，总结出，即可判断A；由，即可判断B；分析可得，即可判断C；由，计算出结果，即可判断D. 【详解】由题可知表示与之间的次平均拓展之和， 所以数列每次构造所添加的个数相同，因此只需要研究一项即可. 对于而言， 第一次构造得到，其中； 第二次构造得到，其中； 第三次构造得到，其中； 第四次构造得到，其中； 由观察归纳，第次构造得到，则，故A正确； 设，则，故B错误； 因为经过次“平均拓展”得到的新数列的项分别为， 且由B项解题过程可知数列的各项分别为，……，，所以，故C正确； 因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：通过次构造得到，则添加的新数的个数为，数列每次构造所添加的个数相同，得出. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设数列的前项和为，若，则__________. 【答案】9 【解析】 【分析】由，代入计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：9. 13. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排含甲､乙的六名航天员开展实验，其中天和核心舱安排三人，剩下的两个实验舱每个实验舱至少安排一人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案有__________种. 【答案】88 【解析】 【分析】按照甲､乙是否在天和核心舱划分情况：甲､乙有且只有1人在天和核心舱、甲､乙都不在天和核心舱两种情况，再根据分类加法计数原理可得答案. 【详解】按照甲､乙是否在天和核心舱划分情况： ①甲､乙有且只有1人在天和核心舱，需要在除甲､乙外的四人中选两人去天和核心舱， 剩下的三人去剩下的两个实验舱，有种不同的安排方案； ②甲､乙都不在天和核心舱，从甲､乙外的四人中选三人去天和核心舱， 再将甲､乙安排去剩下的两个实验舱，且一人去一个实验舱， 剩下一人可以去问天实验舱和梦天实验舱中的任何一个实验舱， 有种不同的安排方案.根据分类加法计数原理， 共有种不同的安排方案. 故答案为：88. 14. 数列满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出，利用等差数列的定义可得答案. 【详解】因为， 所以， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得，故 故答案：. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）解方程：. （2）计算：. （3）解不等式. 【答案】（1），（2），（3）或 【解析】 【分析】（1）根据排列数公式计算可得答案； （2）根据组合数公式计算可得答案； （3）根据排列数公式计算可得答案；. 【详解】（1）因为，所以. 又因为，所以，解得； （2）因为， 所以 ； （3）因为，所以. 因为，所以， 即，解得， 所以，又，所以或. 16. 已知是函数的一个极值点. （1）求的值； （2）求的图象在处的切线方程； （3）若直线与的图象有3个交点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，解得的值，再检验即可； （2）由（1）可得函数解析式，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程； （3）利用导数求出函数的单调区间与极值，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，又， 因为是函数的一个极值点，所以，解得，经检验符合题意. 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以，切点为，切线的斜率为， 所以所求的切线方程为. 【小问3详解】 由（2）知的定义域为且， 令，解得或；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 又，当时，当时， 又， 因为直线与的图象有3个交点，所以， 即的取值范围为. 17. 设等差数列的前项和为，已知. （1）求； （2）记表示不超过的最大整数，如，若，数列的前项和为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设公差为求出，再由等差数列的定义得是等差数列，结合求出可得答案； （2）求出，由裂项相消求和可得答案. 【小问1详解】 因为为等差数列，设公差为， 所以，， 所以， 时，， 所以是公差为的等差数列， 所以， 解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以 所以. 18. 设数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与之间的关系分析可知数列是首项为，公比为的等比数列，进而可得通项公式； （2）由（1）可知：，利用错位相减法可得，结合恒成立问题分析求解即可. 【小问1详解】 因为， 当时，由，解得； 当时，则， 两方程相减得，即； 可知数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知：， 则， ， 两式相减得， 可得，即. 因， 可知是单调递增数列，且，可得， 因为对任意的恒成立，可得，解得， 所以的取值范围为. 19. 已知函数和． （1）若在上的最小值为，求的值； （2）若不等式恒成立，求的取值集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出得，再对进行分类讨论即可； （2）转化得，利用同构思想设，则再利用导数研究其最小值，得到，再次设新函数，利用导数得到其唯一零点. 【小问1详解】 ，， 若，则，所以在上单调递增，则无最小值，不符合题意， 所以，当时，单调递减， 当时，单调递增，所以， 由，得， 即或 因为，所以. 【小问2详解】 的定义域为， 由，得， 令函数，，则， 所以单调递增，得， 令函数，，则， 若，则在上单调递增，因为， 所以当时，，不符合题意，所以， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即恒成立， 令函数，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，即， 故，即， 所以的取值集合为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问采用同构思想，设函数，得到其单调性，转化为研究函数，再利用导数研究其最小值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､芳生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦于净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册占70%，选择性必修第三册第六章占30%. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 现有6幅不同的风景画，2幅不同的人物画，3幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 11种 B. 18种 C. 30种 D. 36种 2. 已知函数的导函数为，且满足，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2 3. 核糖核酸（RNA）是存在于生物细胞及部分病毒、类病毒中的携带遗传信息的物质.参与形成RNA的碱基有4种，分别用A，C，G，U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由20个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（ ） A. 24 B. 80 C. D. 4. 已知某质点的位移函数为，则当时，该质点的瞬时速度是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正项等比数列的前项和为，公比为，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若，则（ ） A. 121 B. 122 C. D. 7. 一个家庭有5个成员，其中有父、母亲以及3个孩子，现安排站一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队，则不同的站法种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 16 D. 12 8. 已知函数，若关于的方程有6个解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，各二项式系数的和为64，则（ ） A. B C. 展开式中的系数为 D. 展开式中常数项 10. 如图，直线与曲线，，，均相交，则（ ） A. B. C. D. 11. 在数列每相邻两项中间插入这两项的平均数，构造成一个新数列，这个过程称为原数列的一次“平均拓展”，再对新数列进行如上操作，称为原数列的二次“平均拓展”.已知数列的通项公式为，现在对数列进行次“平均拓展”，得到一个新数列，记为与之间的次平均拓展之和，为与之间的次平均拓展之和，，依此类推.将数列经过次“平均拓展”后得到的新数列的所有项之和记为，则（ ） A. B. C. 一定是偶数 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设数列的前项和为，若，则__________. 13. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排含甲､乙的六名航天员开展实验，其中天和核心舱安排三人，剩下的两个实验舱每个实验舱至少安排一人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案有__________种. 14. 数列满足，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. （1）解方程：. （2）计算：. （3）解不等式 16. 已知是函数的一个极值点. （1）求的值； （2）求的图象在处的切线方程； （3）若直线与的图象有3个交点，求的取值范围. 17. 设等差数列的前项和为，已知. （1）求； （2）记表示不超过的最大整数，如，若，数列的前项和为，求的值. 18. 设数列的前项和为，且满足. （1）求的通项公式； （2）设，数列前项和为，若对任意的恒成立，求的取值范围. 19. 已知函数和． （1）若在上的最小值为，求的值； （2）若不等式恒成立，求的取值集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$