精品解析：山西省临汾市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

山西省2023-2024年高二期中检测试题数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 现有6幅不同的风景画，2幅不同的人物画，3幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 11种 B. 18种 C. 30种 D. 36种 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合的定义计算. 【详解】共有幅画，所以共有种不同的选法. 故选：A. 2. 现有10本散文集，5本诗歌，若从这15本课外读物中任取3本，则至少有1本是散文集的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求都是诗歌的概率，再根据对立事件的概率求解即可. 【详解】从这15本课外读物中任取3本，则至少有1本是散文集的对立事件是， 从这15本课外读物中任取3本，则3本都是诗歌， 所以所求概率为. 故选：A 3. 核糖核酸（RNA）是存在于生物细胞及部分病毒、类病毒中的携带遗传信息的物质.参与形成RNA的碱基有4种，分别用A，C，G，U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由20个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（ ） A. 24 B. 80 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】每个碱基有4种可能，根据分步乘法计数原理，可得不同的RNA 分子的种数为. 故选：D 4. 一个家庭有5个成员，其中有父、母亲以及3个孩子，现安排站一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队，则不同的站法种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 16 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】相邻问题利用捆绑法可得答案. 【详解】安排站一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队， 则不同的站法种数为. 故选：B. 5. 若，则（ ） A. 121 B. 122 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别令、所得两式相加可得答案. 【详解】令，得； 令，得， 两式相加得 所以. 故选：C. 6. 在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，盒子中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率，则下列结论正确的是（ ） A. A，B两个盒子并联后FG 段畅通的概率为 B. D，E两个盒子串联后GH 段畅通的概率为 C. C，D，E三个盒子混联后GK 段畅通的概率为 D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率大于整个电路不通的概率 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率、相互独立事件的概率，逐项分析计算即可判断得解. 【详解】对于A，A，B两个盒子并联后FG 段畅通的概率为，A错误； 对于B，D，E两个盒子串联后GH段畅通的概率为，B错误； 对于C，由选项B知，GH 熔断的概率为， 因此C，D，E三个盒子混联后GK 段畅通的概率为，C错误； 对于D，由选项AC知，整个电路畅通的概率为不通的概率为，D正确. 故选：D 7. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排含甲、乙的六名航天员开展实验，其中天和核心舱安排三人，剩下的两个实验舱每个实验舱至少安排一人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案有（ ） A. 16种 B. 52种 C. 88种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】先分类讨论应用组合数和排列数计算再应用加法原理求和即可. 【详解】按照甲、乙是否在天和核心舱划分情况： ①甲、乙有且只有一人在天和核心舱，需要在除甲、乙外的四人中选两人去天和核心舱，剩下的三人去剩下的两个实验舱，有种不同的安排方案； ②甲、乙都不在天和核心舱，从甲、乙外的四人中选三人去天和核心舱，再将甲、乙安排去剩下的两个实验舱，且一人去一个实验舱， 剩下一人可以去问天实验舱和梦天实验舱中的任何一个实验舱，有种不同的安排方案. 根据分类加法计数原理，共有种不同的安排方案. 故选：C. 8. 将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（ ） A. 56 B. 126 C. 210 D. 462 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合“隔板法”，即可求解. 【详解】将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班， 每个班至少有1个名额的分法， 类比于用5个隔板插入10个小球中间的空隙中，将球分成6堆， 由于 10 个小球中间共有9个空隙， 因此共有 种不同的分法. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. A与相互独立 B. 与相互对立 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合相互独立事件、对立事件的意义逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，即，A与相互独立，A正确； 对于B，由选项A知，，则，即与不互斥，不对立，B错误； 对于CD，，C正确，D错误. 故选：AC 10. 已知随机变量 X 的分布列为 x 0 1 2 P a b c 0.25 且a，b，c成等差数列，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 可能等于0.1 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分布列的性质，结合已知求出，利用方差的性质判断A；利用互斥事件的概率计算判断B；利用期望的性质计算判断C；举例说明判断D. 【详解】依题意，，解得， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，则， 解得或，C错误； 对于D，当时，，D正确. 故选：ABD 11. 单个水果的质量Y（单位:克）服从正态分布，且，规定单个水果的质量与15克的误差不超过2克即是优质品.现从这批水果中随机抽取n个，其中优质品的个数为 X，下列结论正确的是（ ）. A. 若，则的最大值为3 B. 若，当取最大值时， C. 当，n为偶数时， D. 若 ，，则n的最小值为6 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由二项分布的方差公式直接验算即可判断；对于B，由题意列出不等式组即可验算；对于C，由二项分布概率的可加性即可验算；对于D，由题意得，将它转换为关于的不等式即可求解. 【详解】由题意可知，优质品的质量位于13克至17克之间，即，可知. 对于 A，， 当且仅当时，取得最大值3，故A正确. 对于 B，，当取最大值时，， 即，解得，即或9，故B错误. 对于 C，，故C正确. 对于 D，，因为，所以， 所以，化简得， 令， 因为，所以单调递减， 又，，所以n的最小值为5，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，为两个随机事件，已知，，，则_______. 【答案】## 【解析】 【分析】借助条件概率乘法公式计算即可得. 【详解】由， 则有，所以. 故答案为：. 13. 已知展开式中所有奇数项的二项式系数和为64，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互不相邻的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质求出，再求出展开式的有理项项数，利用不相邻的排列问题求解即得. 【详解】依题意，，解得，因此二项式的展开式共8项， 展开式的通项为， 当时，是有理项，则展开式的有理项共 4项， 所以将展开式中的各项重新排列，其中有理项互不相邻的概率. 故答案为： 14. 如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有____种不同的涂色方法；若区域D 不能涂甲油漆，则共有_______种不同的涂色方法. 【答案】 ①. 1200 ②. 960 【解析】 【分析】直接由分类、分步计数原理即可求解. 【详解】第一空：若C，E的涂色相同，则共有种方法； 若C，E的涂色不相同，则共有种方法. 故共有种不同的涂色方法. 第二空：因为区域D不能涂甲油漆，所以区域D 的涂色方法有4种. 若C，E的涂色相同，则共有种方法； 若C，E的涂色不相同，则共有种方法. 故共有种不同的涂色方法. 故答案为：1200，960. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）解方程：. （2）计算：. （3）解不等式. 【答案】（1），（2），（3）或 【解析】 【分析】（1）根据排列数公式计算可得答案； （2）根据组合数公式计算可得答案； （3）根据排列数公式计算可得答案；. 【详解】（1）因为，所以. 又因为，所以，解得； （2）因为， 所以 ； （3）因为，所以. 因为，所以， 即，解得， 所以，又，所以或. 16. 某研究小组为更好地诊断某种疾病，调查了大量患者该种疾病的各种医学指标，发现大部分患者有一项指标大幅高于正常水平，而这在未患病群体中并不常见.现随机抽取200人，得到了如下数据：20人患病，其中该项指标大幅高于正常水平的有15人；不患病人群中有70人该项指标大幅高于正常水平. （1）用频率估计概率，已知某人指标大幅高于正常水平，求其患病的概率； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为患病与指标大幅高于正常水平有关联? 附 α 0.05 0.01 0.005 x 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）； （2）有关联. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率计算即得. （2）完善列联表，计算的观测值，并回答问题. 【小问1详解】 指标大幅高于正常水平的有85人，其中患者有15人， 所以某人指标大幅高于正常水平，其患病的概率. 【小问2详解】 依题意，列联表如下：（单位:人） 该种疾病 该项指标 合计 大幅高于正常水平 不大幅高于正常水平 某人患病 某人未患病 合计 零假设为：患病与指标大幅高于正常水平无关联. ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为患病与指标大幅高于正常水平有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 17. 全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为2018−2023年全球新能源汽车的销售量情况统计. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号 1 2 3 4 5 6 销售量/百万辆 2.02 2.21 3.13 6.70 10.80 14.14 若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题： （1）求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）； （2）求关于的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量. 附：线性回归方程，其中，， 样本相关系数. 参考数据：，，，. 【答案】（1）. （2），15.46百万辆 【解析】 【分析】（1）利用相关系数 公式即可求解； （2）根据已知数据，利用公式先求出，进而求出，得到线性回归方程，再利用线性回归方程进行预测即可. 【小问1详解】 因为， ， 所以， ， 所以. 【小问2详解】 由题意得， 所以 得关于的线性回归方程为 所以可以预测2024年全球新能源汽车的销售量为百万辆. 18. 某工厂生产一批机器零件，现随机抽取 100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表: 性能指标 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 （1）求该项性能指标的样本平均数的值.若这批零件的该项指标 X 近似服从正态分布 ，其中近似为样本平均数的值，，试求的值. （2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.03，现从这批零件中随机抽取一件. ①求这件零件是次品的概率； ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ，，. 【答案】（1）；0.1359 （2）①；②；③1 【解析】 【分析】（1）计算出平均数后可得，结合正态分布的性质计算即可得解； （2）①借助全概率公式计算即可得；②借助条件概率公式计算即可得；③借助二项分布期望公式计算即可得. 【小问1详解】 ， 因为，所以， 则 ； 【小问2详解】 ①设“抽取的零件为甲机床生产”记为事件， “抽取的零件为乙机床生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件， 则，，，， 则； ②； ③由（1）及（2）①可知，这批零件是次品且性能指标在内的概率， 且随机变量， 所以， 所以随机变量Y的数学期望为1. 19. 2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球中国队以3：0战胜日本队夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人．现从这7人中随机抽取3人参与传球训练 （1）求抽到甲参与传球训练的概率； （2）记主攻手和自由人被抽到的总人数为，求的分布列及期望； （3）若恰好抽到甲，乙，丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为，假设球一直没有掉地上，求经过n次传球后甲接到球的概率． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . （3） 【解析】 【分析】（1）利用选取组合数公式，立即可得到； （2）其的可能取值为0，1，2，3，并且满足超几何分布列，利用超几何分布的概率公式求解即可； （3）解法一：假设经过n次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分别为，，，结合题意得到，从而构造成是等比数列，再用累加法可求得通项，即求得结果；解法二：利用递推数列思想，假设经过次传球后，排球被甲接到球的概率为，从而可得递推关系，然后构造等比数列求出概率通项公式. 【小问1详解】 设“抽到甲参与传球训练”记为事件，则. 【小问2详解】 由题意知的可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 即. 【小问3详解】 解法一：设经过n次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分别为，，， 易得：，， 当时，，，， 则， 由，得，， 代入，得， 则，即， 所以是首项为，公比为的等比数列， ， 则时：，，， 由累加法得： ，可得， 又令时，，满足， 所以. 解法二：经过次传球后，排球被甲接到球的概率为． 则，即 而， 所以是首项为，公比为的等比数列， 则，则 【点睛】关键点点睛：第三问构造递推关系，即先假设经过n次传球后，排球被甲、乙、丙接到的概率分别为，，，然后根据要传给某一个人，则必须由前一次球传给另两个人的事件概率，再利用全概率公式就可得到传给这个人的概率如：，，；如果是假设经过次传球后，排球被甲接到球的概率为，则有，只有找到递推关系，再利用构造成等比数列来研究通项，还可以利用累加法来研究通项. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2023-2024年高二期中检测试题数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 现有6幅不同的风景画，2幅不同的人物画，3幅不同的水彩画，从这些画中选1幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 11种 B. 18种 C. 30种 D. 36种 2. 现有10本散文集，5本诗歌，若从这15本课外读物中任取3本，则至少有1本是散文集的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 核糖核酸（RNA）是存在于生物细胞及部分病毒、类病毒中的携带遗传信息的物质.参与形成RNA的碱基有4种，分别用A，C，G，U表示.在一个RNA分子中，各种碱基能够以任意次序出现，假设某一RNA分子由20个碱基组成，则不同的RNA分子的种数为（ ） A. 24 B. 80 C. D. 4. 一个家庭有5个成员，其中有父、母亲以及3个孩子，现安排站一排照一张全家福，要求父、母亲相邻站队，则不同的站法种数为（ ） A. 24 B. 48 C. 16 D. 12 5. 若，则（ ） A. 121 B. 122 C. D. 6. 在如图所示的电路中，5个盒子表示保险匣，盒子中所示数值表示通电时保险丝熔断的概率，则下列结论正确的是（ ） A. A，B两个盒子并联后FG 段畅通的概率为 B. D，E两个盒子串联后GH 段畅通的概率为 C. C，D，E三个盒子混联后GK 段畅通的概率为 D. 当开关合上时，整个电路畅通的概率大于整个电路不通的概率 7. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排含甲、乙的六名航天员开展实验，其中天和核心舱安排三人，剩下的两个实验舱每个实验舱至少安排一人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案有（ ） A. 16种 B. 52种 C. 88种 D. 72种 8. 将10个诗歌朗诵比赛名额全部分给6个不同的班，每个班至少有1个名额，则不同的分配方案种数为（ ） A. 56 B. 126 C. 210 D. 462 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. A与相互独立 B. 与相互对立 C. D. 10. 已知随机变量 X 的分布列为 x 0 1 2 P a b c 0.25 且a，b，c成等差数列，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 可能等于0.1 11. 单个水果的质量Y（单位:克）服从正态分布，且，规定单个水果的质量与15克的误差不超过2克即是优质品.现从这批水果中随机抽取n个，其中优质品的个数为 X，下列结论正确的是（ ）. A. 若，则的最大值为3 B. 若，当取最大值时， C. 当，n为偶数时， D. 若 ，，则n的最小值为6 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，为两个随机事件，已知，，，则_______. 13. 已知展开式中所有奇数项的二项式系数和为64，现将展开式中的各项重新排列，则有理项互不相邻的概率为_______. 14. 如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有____种不同的涂色方法；若区域D 不能涂甲油漆，则共有_______种不同的涂色方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）解方程：. （2）计算：. （3）解不等式. 16. 某研究小组为更好地诊断某种疾病，调查了大量患者该种疾病的各种医学指标，发现大部分患者有一项指标大幅高于正常水平，而这在未患病群体中并不常见.现随机抽取200人，得到了如下数据：20人患病，其中该项指标大幅高于正常水平的有15人；不患病人群中有70人该项指标大幅高于正常水平. （1）用频率估计概率，已知某人指标大幅高于正常水平，求其患病的概率； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为患病与指标大幅高于正常水平有关联? 附 α 0.05 0.01 0.005 x 3.841 6.635 7.879 17. 全球新能源汽车产量呈上升趋势.以下为2018−2023年全球新能源汽车的销售量情况统计. 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 年份编号 1 2 3 4 5 6 销售量/百万辆 2.02 2.21 3.13 6.70 10.80 14.14 若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题： （1）求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）； （2）求关于的线性回归方程，并据此预测2024年全球新能源汽车的销售量. 附：线性回归方程，其中，， 样本相关系数. 参考数据：，，，. 18. 某工厂生产一批机器零件，现随机抽取 100件对某一项性能指标进行检测，得到一组数据，如下表: 性能指标 66 77 80 88 96 产品件数 10 20 48 19 3 （1）求该项性能指标的样本平均数的值.若这批零件的该项指标 X 近似服从正态分布 ，其中近似为样本平均数的值，，试求的值. （2）若此工厂有甲、乙两台机床加工这种机器零件，且甲机床的生产效率是乙机床的生产效率的2倍，甲机床生产的零件的次品率为0.02，乙机床生产的零件的次品率为0.03，现从这批零件中随机抽取一件. ①求这件零件是次品的概率； ②若检测出这件零件是次品，求这件零件是甲机床生产的概率； ③在①的条件下，若从这批机器零件中随机抽取300件，每次抽取的结果相互独立，记抽出的零件是次品，且该项性能指标恰好在内的零件个数为，求随机变量的数学期望（精确到整数）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则 ，，. 19. 2023年10月7日，杭州第19届亚运会女子排球中国队以3：0战胜日本队夺得冠军，这也是中国女排第9个亚运冠军，她们用汗水诠释了几代女排人不屈不挠、不断拼搏的女排精神，某校甲、乙、丙等7名女生深受女排精神鼓舞，组建了一支女子排球队，其中主攻手2人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人．现从这7人中随机抽取3人参与传球训练 （1）求抽到甲参与传球训练的概率； （2）记主攻手和自由人被抽到的总人数为，求的分布列及期望； （3）若恰好抽到甲，乙，丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为，假设球一直没有掉地上，求经过n次传球后甲接到球的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $