专题2.19 弧长、扇形面积与圆锥侧面积（专项练习）（基础练）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.19 弧长、扇形面积与圆锥侧面积（专项练习）（基础练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2024·贵州·中考真题）如图，在扇形纸扇中，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南安阳·一模）一个扇形的弧长是，半径是4，则该扇形的圆心角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，是圆O的直径，弦，，，则（　） A． B． C． D． 5．（2024·内蒙古赤峰·二模）一个圆锥的侧面积是，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·全国·课后作业）《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 7．（2023·湖南·中考真题）如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（    ）    A． B． C． D． 8．（2024·浙江衢州·一模）某款扫地机器人的俯视图是一个等宽曲边三角形（分别以正的三个顶点A，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若已知，则曲边的长为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·甘肃兰州·一模）把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C．若，则（    ）    A． B． C． D． 10．（21-22九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边上，则点A运动路径的长度为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2024·北京·三模）已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为 ． 12．（2024·吉林长春·模拟预测）一个闹钟的时针长是，从下午1点到下午4点，时针所扫过的面积是 ． 13．（2024·江苏南京·模拟预测）若圆锥的母线长为4，底面圆的半径长为3，那么该圆锥的高是 ． 14．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，折痕交于点，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 15．（24-25九年级上·全国·课后作业）若一个圆锥的底面圆的半径为2，母线长为3，则该圆锥侧面展开图的圆心角是 °． 16．（23-24九年级上·山东泰安·期中）如图，有一个圆锥形粮堆，正三角形的边长为6m，粮堆母线的中点P处有一只老鼠正在吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面P处捉老鼠，小猫所经过的最短路程是 m． 17．（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）某公园摩天轮是一种大型转轮状机械建筑设施，上面挂在轮边缘的是供乘客乘搭的座舱，坐在摩天轮上慢慢往上转可以从高处俯瞰春天的景色．如图①，A，B表示摩天轮上的两个座舱，如图②所示为其示意图．点O是圆心，半径为，A，B是圆上的两点，，则的长为 m（结果保留）． 18．（2024·吉林四平·一模）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，使一块三角尺；角的顶点和另一块三角尺的直角顶点重合，记为点O，点C在边上，点A、D在的两侧，以O为圆心，长为半径画，分别交于点E、F，则的长为 （结果保留）． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）19．（2024·湖南长沙·一模）如图，已知，，观察图中尺规作图痕迹，判断P点位置，求弧的长度．    20．（8分）（2024·江苏宿迁·一模）如图，是的弦，经过圆心交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积． 21．（10分）（23-24九年级上·河北邢台·期中）如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角，   （1）求的长． （2）求此圆锥高的长． 22．（10分）（23-24九年级下·辽宁铁岭·期中）如图，四边形是正方形，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长．（结果保留） 23．（10分）（23-24八年级下·四川达州·期中）如图，已知是等边三角形，边长为8，将绕点O顺时针旋转． （1）用尺规作出旋转后的三角形； （2）求点C的对应点的坐标； （3）求线段扫过的面积． 24．（12分）（23-24九年级上·江苏无锡·期中）平面内一个正n边形，将平面内与正n边形的各顶点距离都小于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“伴侣形”．将正n边形内与其各顶点距离都大于等于边长的所有点组成的图形称为这个正n边形的“远伴侣形”． 【观察】如图1，边长为1的等边，分别以A、B、C为圆心，长为半径画圆弧，则三条弧，，及其内部所组成的图形上的点到各顶点距离都小于等于1，我们把这个图形称为正的“伴侣形”． 【判断】 （1）______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“伴侣形”，______（填“是”或“不是”）所有的正多边形都有“远伴侣形”； 【操作】 （2）如图2，边长为1的正方形，请作出正方形的“伴侣形”（将此“伴侣形”打上阴影），求此正方形的“伴侣形”的周长；    【探究】 （3）结合图3分析，若正n边形的边长为1，则当时，其“远伴侣形”的周长为______，则当时，“远伴侣形”的周长为______；      【归纳】 （4）边长为1的正n边形（），其“远伴侣形”的周长为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】本题考查了弧长，根据弧长公式∶求解即可． 【详解】解∵，， ∴的长为， 故选∶C． 2．B 【分析】利用弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆心角为，根据题意得： ， 解得：， ∴该扇形的圆心角的度数是，故B正确． 故选：B． 【点拨】本题主要考查了弧长公式的应用，解题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式． 3．B 【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积底面半径母线长． 【详解】解：， 故选：B． 4．C 【分析】此题考查了垂径定理、扇形面积的计算，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．根据垂径定理得出，证明，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：如图，设线段，交于点E， ∵是的直径，弦， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而求得扇形的弧长，除以即为圆锥的底面圆半径，利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，则， 解得：， ∴圆锥侧面展开图的弧长为： ∴圆锥的底面圆半径是， ∴圆锥的高为 故选C． 6．D 【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C， 由题意可知， ∴， 在中， ， ∴矢， ∴该弧田的面积为， 故选：D． 7．C 【分析】根据底面周长等于的长，即可求解． 【详解】解：依题意，的长， 故选：C． 【点拨】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于的长是解题的关键． 8．B 【分析】本题考查的是正多边形和圆的知识，掌握弧长公式是解题的关键．根据正三角形的性质求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得是正三角形， ， 的长为：． 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，连接，，根据切线的性质得到，，推出四边形是正方形，求得ZBOC=90°，，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】解：连接，    ∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴,， ∴ 故选∶C． 10．B 【分析】根据题意确定为等边三角形，从而得出的度数，结合，代入弧长运算公式即可得出答案． 【详解】解：， ， 又， 为等边三角形， ， ， 则运动路径的长度． 故选：B． 【点拨】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是根据题意判断为等边三角形，另外要求同学们熟练掌握弧长的计算公式． 11． 【分析】本题考查扇形面积公式，根据扇形面积公式直接代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵一个扇形的面积是，弧长是， ∴， 解得：， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．先求出从1点到下午4点扫过的角度，再根据扇形面积的计算公式计算即可． 【详解】解：由题知，时针从1点到下午4点扫过， 闹钟的时针长是， ． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的定义是解题的关键．根据圆锥的定义以及勾股定理即可得到答案． 【详解】解：圆锥的母线长为4，底面圆的半径长为3， 该圆锥的高是， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查的是求不规则图形面积，扇形面积公式，折叠的性质等知识点．在解答此题时要注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．首先连接，由折叠的性质，可得，，，则可得是等边三角形，是等腰直角三角形，故可得出的长，再根据即可得出结论． 【详解】解：连接， 由翻折而成， ，， ， 是等边三角形． ， ， ， 是等腰直角三角形． ， ， ． 故答案为：． 15．240 【分析】本题考查了圆锥的计算：理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键． 【详解】圆锥侧面展开图的弧长是， 设圆心角的度数是，则， 解得， 故答案为：． 16． 【分析】由题意得，圆锥的底面半径为3m，母线线长为6m．求出底面周长，根据圆的底面周长等于展开后扇形的弧长，可求得展开后扇形的圆心角为，即圆锥侧面展开为半圆．点正好在半圆的中点处，由此得为直角三角，根据勾股定理即可求出的长，即小猫所经过的最短路径． 本题主要考查了圆锥的侧面展开图，及弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 【详解】为正三角形， ， ， ∵底面积圆的周长等于展开后扇形的弧长，得： ， ，则， （m）， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式，利用弧长公式求解． 【详解】解：由题意的长． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了弧长公式，根据题意可知圆心角的度数为：，然后根据弧长公式计算即可；熟知弧长公式是关键． 【详解】解：由题意得， 在中， 故答案为： 19．，详见解析 【分析】本题考查了作图−基本作图，弧长公式等知识点，由作图可知，点P在角的角平分线与弧的交点上，再根据弧长公式求解即可，熟记弧长公式是解题的关键． 【详解】由作图可知，点P在角的角平分线与弧的交点上， ∴， ∴弧的长． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的基本性质，切线定理，勾股定理的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线定理，勾股定理的应用，即可． （1）连接，根据，求出，根据，则，即可； （2）根据，则，再根据，，求出，；根据勾股定理求出，根据三角形的外角，则，阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积，即可． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）∵是的切线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 21．(1) (2) 【分析】（1）根据弧长公式进行求解即可； （2）先求出底面半径，再用勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】（1）解：的长． （2）设的长为r，则，解得． 在中，， 由勾股定理得． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定与性质、弧长的求解等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）证即可； （2）根据题意求出即可求解； 【详解】（1）证明：由题意得：， ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：连接，如图所示： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的长为： 23．(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转前后图形是全等形的性质，且将绕点O顺时针旋转的条件，进行作图即可； （2）根据等边三角形的性质以及勾股定理，分别得出，结合点所在的象限，作进一步的分析，即可作答． （3）运用扇形面积公式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如上图所示： 点C的对应点的坐标是点， ∵是等边三角形，边长为8， ∴ ∴ ∵点在第三象限 ∴； （3）解：∵是等边三角形，边长为8，将绕点O顺时针旋转 ∴ 24．(1)不是；不是 (2)图形见详解， (3)， (4) 【分析】（1）根据定义判断正多边形的中心点到顶点的距离即可得到结论； （2）利用定义即可画出正方形的“伴侣形”， 连接、和，根据定义有为等边三角形，得，求得，结合弧长公式即可求得答案； （3）当，连接、、和，由题意得，则和为等边三角形，得，由和的度数，即可求得的长度，则有“远伴侣形”的周长；当时，“远伴侣形”的周长同理即可求得； （4）结合前面的求解过程先求一段弧长对应的角度，再求其弧长即可解得“远伴侣形”的周长． 【详解】（1）解：不是所有的正多边形都有“伴侣形”，当时，“伴侣形”为一个点，当时没有“伴侣形”，即当正多边形的中心到顶点的距离大于边长便没有“伴侣形”； 不是所有的正多边形都有“远伴侣形”，当时没有“远伴侣形”，即当正多边形的中心到顶点的距离小于边长便没有“伴侣形”； （2）如图，    设“伴侣形”的两个顶点为E、F，连接、和，如图，    由题意得，则为等边三角形，得， ∴，同理， ∴， 则， 故正方形的“伴侣形”的周长， （3）   连接、、和，如图， 由题意得，则和为等边三角形，得， ∵， ∴ 则， 故当时，其“远伴侣形”的周长为， 当时，“远伴侣形”的周长为， （4）． 【点拨】本题主要考查新定义下的正多边形中心点到顶点的距离、正多边形一边对应新定义下所围成的角度和弧长公式，解题的关键是要理解并画出“伴侣形”和“远伴侣形”，再结合角度和弧长公式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$