专题2.18 弧长、扇形面积与圆锥侧面积（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.18 弧长、扇形面积与圆锥侧面积（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】弧长公式 　　 　　 【知识点二】扇形面积公式 1.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 　　半径为R的圆中 　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 【知识点三】圆锥的侧面积和全面积 　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 　　圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 　　圆锥的侧面积， 圆锥的全面积:. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】弧长公式（求弧长、半径、圆心角） 【例1】（2024·江西·中考真题）如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是半圆O的切线； （2）当时，求的长． 【变式1】（22-23九年级上·贵州黔西·期中）小明同学在计算某扇形的面积和弧长时，分别写出如下式子：，，经核对，两个结果均正确，则下列说法正确的（    ） A．该扇形的圆心角为，直径是4 B．该扇形的圆心角为，直径是3 C．该扇形的圆心角为，直径是6 D．该扇形的圆心角为，直径是4 【变式2】（24-25九年级上·全国·假期作业）(1)已知扇形的圆心角为，弧长等于，则该扇形的半径是 ； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为 ． 【题型2】扇形面积公式（求扇形面积、半径、圆心角） 【例2】（23-24九年级上·吉林四平·阶段练习）如图，为的直径，点是上方上异于的点，点是的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知圆心角为的扇形面积为，那么扇形的弧长为（    ） A．3 B．6 C． D． 【变式2】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在正五边形中，以点为圆心、为半径作．若阴影部分的面积是，则正五边形的边长为 ． 【题型3】求弓形（旋转图形、不规则图形）面积 【例3】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是的内接三角形，，，D 为延长线上一点，． （1）求证：是的切线； （2）如果的半径为 4，求阴影部分的面积． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，，，，把绕点顺时针旋转至的位置，使点的对应点落在斜边上，则图中阴影部分的面积是 ． 【题型4】求圆锥侧面积 【例4】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥侧面，求围成的圆锥的高以及圆锥的全面积． 【变式1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，的斜边，一条直角边，现以边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如果圆锥的底面半径为，母线长为，那么它的侧面积等于 ． 【题型5】求圆锥的高、展形图的圆心角 【例5】（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，在半径为4的扇形中，，点C是上的一个动点（不与点A，重合），连接，，，，垂足分别为点D，E．   （1）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径； （2）在中是否存在长度为定值的边？若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由． 【变式1】（2024·四川达州·三模）如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·宁夏吴忠·一模）如图，用一个半径为，弧长为的扇形铁皮制作一个无底的圆锥，则圆锥的高 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·辽宁·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，若，，求的长． 【例2】（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 2、拓展延伸 【例1】（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求的长． （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【例2】（2024·广东广州·一模）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.18 弧长、扇形面积与圆锥侧面积（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】弧长公式 　　 　　 【知识点二】扇形面积公式 1.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 　　半径为R的圆中 　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 【知识点三】圆锥的侧面积和全面积 　　连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 　　圆锥的母线长为l，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 　　圆锥的侧面积， 圆锥的全面积:. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】弧长公式（求弧长、半径、圆心角） 【例1】（2024·江西·中考真题）如图，是半圆O的直径，点D是弦延长线上一点，连接，． （1）求证：是半圆O的切线； （2）当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等边三角形的判定和性质，弧长公式，熟知相关性质和计算公式是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角为直角结合已知条件，可得，即可得，进而可证得结论； （2）连接，证明为等边三角形，求得，利用弧长公式即可解答． 解：（1）证明：是半圆O的直径， ， ， ， ， 是半圆O的切线； （2）解：如图，连接， ， 为等边三角形， ，， ， ． 【变式1】（22-23九年级上·贵州黔西·期中）小明同学在计算某扇形的面积和弧长时，分别写出如下式子：，，经核对，两个结果均正确，则下列说法正确的（    ） A．该扇形的圆心角为，直径是4 B．该扇形的圆心角为，直径是3 C．该扇形的圆心角为，直径是6 D．该扇形的圆心角为，直径是4 【答案】D 【分析】根据，，可以写出和的形式，然后即可判断哪个选项是正确的，本题得以解决． 解：，， ，， 该扇形的圆心角为，直径是4， 故选：D． 【点拨】本题考查扇形面积的计算、弧长的计算，解答本题的关键是明确扇形的和． 【变式2】（24-25九年级上·全国·假期作业）(1)已知扇形的圆心角为，弧长等于，则该扇形的半径是 ； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为 ． 【答案】 2 /60度 【分析】此题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用扇形弧长公式代入求解即可． 解：（1）设扇形的半径为R， 则根据题意，得， 解得. 故该扇形的半径是2． （2）根据弧长公式得， 解得， 故扇形圆心角的大小为． 故答案为：2；． 【题型2】扇形面积公式（求扇形面积、半径、圆心角） 【例2】（23-24九年级上·吉林四平·阶段练习）如图，为的直径，点是上方上异于的点，点是的中点，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等． （1）连接，由，得，而得到，由平行线的性质可得，从而即可得证； （2）由圆周角定理可得，由勾股定理可得，从而得到，再由进行计算即可． 解：（1）证明：连接， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：为的直径， ， ，， ， ， 由（1）得， ， 图中阴影部分的面积是． 【变式1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知圆心角为的扇形面积为，那么扇形的弧长为（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，弧长公式，设扇形半径为，根据扇形面积公式得出，求出，再利用弧长公式计算即可，熟练掌握扇形面积公式和弧长公式是解此题的关键． 解：设扇形半径为， 由题意得：， 解得：， 扇形的弧长为， 故选：C． 【变式2】（2024·山东济南·模拟预测）如图，在正五边形中，以点为圆心、为半径作．若阴影部分的面积是，则正五边形的边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了正多边形和圆、扇形的面积计算等知识，确定扇形的圆心角的度数后利用扇形面积计算公式列方程即可得到结论． 解：在正五边形中，， ∴阴影部分的面积为， 解得， 故答案为：6． 【题型3】求弓形（旋转图形、不规则图形）面积 【例3】（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是的内接三角形，，，D 为延长线上一点，． （1）求证：是的切线； （2）如果的半径为 4，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和求弓形的面积： （1）圆周角定理结合等边对等角，求出，进而得到，即可得证； （2）连接，过点作，用扇形的面积减去三角形的面积求出阴影部分的面积即可． 解：（1）证明：∵， ∴的度数为， ∴优弧的度数为：， ∴优弧所对的圆心角的度数为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）连接，过点作， 则：， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为． 【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方形的边长为2，为对角线的交点，点，分别为，的中点．以为圆心，为半径作圆弧，再分别以，为圆心，为半径作圆弧，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．连接，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形面积减去直角三角形的面积之差． 解：连接，，如图， 正方形的边长为2，为对角线的交点， 由题意可得：，经过点，且，． 点，分别为，的中点， ， ，． 以为弦的两个弓形面积相等． ． 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）如图，中，，，，把绕点顺时针旋转至的位置，使点的对应点落在斜边上，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质．将图中不规则阴影部分的面积，转化为规则的扇形和三角形面积之间的关系即可解决问题． 解：由旋转可知， ，． ， ． ，， ． 在中， ， ． 故答案为：． 【题型4】求圆锥侧面积 【例4】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图所示，已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥侧面，求围成的圆锥的高以及圆锥的全面积． 【答案】高厘米，全面积为平方厘米 【分析】本题考查圆锥展开图及扇形的弧长面积公式，勾股定理，根据圆锥展开图扇形弧长等于底面圆周长求出底面半径，结合勾股定理求出高，再根据面积公式求解即可得到答案； 解：由图形可得， 扇形的弧长， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为：． ∴圆锥全面积圆锥侧面积+圆锥底面积． 【变式1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，的斜边，一条直角边，现以边所在直线为轴将这个三角形旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的计算和点、线、面、体，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 可得圆锥的底面半径为，母线长为，再根据圆锥的侧面积底面周长母线长即可得出答案． 解：圆锥的侧面积为． 故选：． 【变式2】（2024·江苏宿迁·模拟预测）如果圆锥的底面半径为，母线长为，那么它的侧面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的周长公式和扇形面积公式，解题的关键是熟记公式． 首先根据底面半径求出底面圆的周长，然后根据圆锥的侧面积公式进行计算． 解：∵圆锥的底面半径为， ∴底面周长， 又∵母线长为， ∴； 故答案为：． 【题型5】求圆锥的高、展形图的圆心角 【例5】（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，在半径为4的扇形中，，点C是上的一个动点（不与点A，重合），连接，，，，垂足分别为点D，E．   （1）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径； （2）在中是否存在长度为定值的边？若存在，请求出这条边的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在， 【分析】（1）设该圆锥的底面半径为r，根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的弧长列式即可得到答案； （2）连接，由垂径定理得到D为中点，E为中点．则为的中位线．得到．再求出的长，即可得到的长，结论得证； （1）解：设该圆锥的底面半径为r， 由题意得． 解得， 即该圆锥的底面半径为1． （2）存在，的长为定值．如图，连接．    ∵，， ∴D为中点，E为中点． ∴为的中位线． ∴． ∵，， ∴． ∴． 【点拨】此题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式、垂径定理、三角形中位线定理的等知识，数形结合是解题的关键． 【变式1】（2024·四川达州·三模）如图，用一个圆心角为的扇形纸片围成一个底面半径为，侧面积为的圆锥，则该扇形的圆心角为为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，根据圆锥侧面积计算公式，得出，进而根据弧长公式进行求解即可． 解：设圆锥的母线长为， ∵ ∴ ∴ 解得： 故选：C． 【变式2】（2023·宁夏吴忠·一模）如图，用一个半径为，弧长为的扇形铁皮制作一个无底的圆锥，则圆锥的高 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键，根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理计算，得到答案． 解：∵弧长为， ∴圆锥的底面周长为， ∵圆锥的底面半径为， 则圆锥的高， 故答案为∶8． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·辽宁·中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，，在的延长线上，． （1）如图1，求证：是的切线； （2）如图2，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）连接，则，故，由，得到，而，则，由，得，因此，故，则是的切线； （2）连接，可得，则，故，由，得，那么长为． 解：（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴长为：． 【点拨】本题考查了圆周角定理，切线的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性质，弧长公式等，正确添加辅助线是解决本题的关键． 【例2】（2024·广东广州·中考真题）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可． 解：设圆锥的半径为，则圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，且扇形的半径是5， 扇形的弧长为， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为， 圆锥的体积为， 故选：D． 2、拓展延伸 【例1】（23-24九年级上·江西赣州·期末）如图，平分，与相切于点A，延长交于点C，过点O作，垂足为B． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为2，，求的长． （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】（1）由与相切于点A，可得出，由角平分线线的性质定理即可得出，即可得出是的切线． （2）利用勾股定理得出，线段的和差得出，设，则，利用勾股定理解，即可求出x． （3）根据求解即可． 解：（1）证明：∵与相切于点A， ∴， ∵平分，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵的半径为2， ∴， ∵，， ∴，， ∵，都是的切线， ∴设，则， ∴在中 ，即， 解得， ∴． （3）在中，，， ∴，， ∴， ∴， ，， ∴ 【点拨】本题主要考查了证明某直线是圆的切线，角平分线的性质定理，勾股定理以及求不规则图形的面积等知识． 【例2】（2024·广东广州·一模）综合与实践 主题：装饰锥形草帽． 素材：母线长为、高为的锥形草帽（如图（））和五张颜色不同（红、橙、黄、蓝、紫）、足够大的卡纸． 步骤：将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形． 步骤：将剪下的扇形卡纸依次粘贴在草帽外表面，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表而且卡纸连接处均无缝隙、不重叠，便可得到五彩草帽． 计算与探究： （）计算红色扇形卡纸的圆心角的度数； （）如图（），根据（）的计算过程，直接写出圆锥的高、母线长与侧面展开图的圆心角度数之间的数量关系： ． 【答案】（）；（）． 【分析】（）设底面圆的半径为，由勾股定理可得，根据，求出，再根据红、橙、黄、蓝、紫卡纸圆心角即可求解； （）设底面圆的半径为，则，由即可求解； 本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长，掌握圆锥底面圆的周长等于圆锥侧面展开图扇形的弧长是解题的关键． 解：（）设底面圆的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵将红、橙、黄、蓝、紫卡纸依次按照圆心角的比例剪成半径为的扇形， ∴红色扇形卡纸的圆心角的度数为； （）∵设底面圆的半径为， 则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$