第十四章 微探究小专题9 乘法公式的综合应用 主书（习题课件）-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学（人教版，河北专版）

2024 人教版 八年级上册 数学 2 第十四章　整式的乘法与因式分解 微探究小专题9　乘法公式的综合应用 乘法公式的应用 1. 计算： (1)( x2＋1)2－4 x2； 解：原式＝ x4＋2 x2＋1－4 x2＝ x4－2 x2＋1. (2)[( a ＋2 b )(2 b － a )]2. 解：原式＝(4 b2－ a2)2＝16 b4－8 a2 b2＋ a4. 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题9　乘法公式的综合应用 利用乘法公式进行简便运算 2. 利用乘法公式进行简便运算. (1)1 007×993＋49； 解：原式＝(1 000＋7)(1 000－7)＋49＝1 0002－49＋49＝106. (2)2 0232－2 024×6＋15.　　　 解：原式＝(2 024－1)2－2 024×6＋15＝2 0242－2 024×8＋16＝(2 024 －4)2＝2 0202＝4 080 400. 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题9　乘法公式的综合应用 利用乘法公式变形求代数式的值 3. 已知 x ＋ y ＝3， xy ＝－12，求下列各式的值： (1) x2＋ y2； 解：原式＝( x ＋ y )2－2 xy ＝33. (2)( x － y )2； 解：原式＝( x ＋ y )2－4 xy ＝57. (3) x2－ xy ＋ y2. 解：原式＝( x ＋ y )2－3 xy ＝45. 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题9　乘法公式的综合应用 4. 已知 a ＋ ＝3，求下列各式的值： (1) ； 解： ＝ a2－2＋ ＝ －4. ∵ a ＋ ＝3， ∴ ＝32－4＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题9　乘法公式的综合应用 (2) a4＋ . 解： a4＋ ＝ －2， a2＋ ＝ －2. ∵ a ＋ ＝3，∴ a2＋ ＝32－2＝7. ∴ a4＋ ＝72－2＝47. 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题9　乘法公式的综合应用 5. 已知 m － n ＝－3， mn ＝4. (1)求(3－ m )(3＋ n )的值； 解：∵ m － n ＝－3， mn ＝4， ∴原式＝9－3( m － n )－ mn ＝9＋9－4＝14. (2)求 m4＋ n4的值. 解：∵ m － n ＝－3， mn ＝4， ∴原式＝( m2＋ n2)2－2 m2 n2＝[( m － n )2＋2 mn ]2－2 m2 n2＝[(－3)2＋2×4]2－2×42＝257. 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题9　乘法公式的综合应用 利用乘法公式对数式的关系进行探究 6. [发现] 两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数， 且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和. [验证]如，(2＋1)2＋(2－1)2＝10为偶数，请把10的一半表示为两个正整 数的平方和. [探究]设“发现”中的两个已知正整数为 m ， n ，请验证“发现”中的 结论正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题9　乘法公式的综合应用 解：[验证]10的一半为5，5＝1＋4＝12＋22. [探究]( m ＋ n )2＋( m － n )2＝ m2＋2 mn ＋ n2＋ m2－2 mn ＋ n2＝2 m2＋2 n2＝2( m2＋ n2). 故两个正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数 的一半也可以表示为两个正整数的平方和. 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题9　乘法公式的综合应用 7. [发现]　任意三个连续偶数的平方和是4的倍数. [验证](1)22＋42＋62的结果是4的几倍？ 解：[验证](1)∵22＋42＋62＝4＋16＋36＝56＝4×14， ∴22＋42＋62的结果是4的14 倍. 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题9　乘法公式的综合应用 (2)设三个连续偶数的中间一个为2 n ，写出它们的平方和，并说明是4的倍数. (2)三个连续偶数分别为2 n －2，2 n ，2 n ＋2，则(2 n －2)2＋(2 n )2＋(2 n ＋2)2＝4 n2－8 n ＋4＋4 n2＋4 n2＋8 n ＋4＝12 n2＋8＝4(3 n2＋2). ∴三个连续偶数的平方和是4的倍数. 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题9　乘法公式的综合应用 [延伸](3)任意三个连续奇数的平方和，被12除的余数是几呢？请写 出理由. [延伸](3)设三个连续奇数分别为2 n －1，2 n ＋1，2 n ＋3(其中 n 是整数)， 则(2 n －1)2＋(2 n ＋1)2＋(2 n ＋3)2＝4 n2－4 n ＋1＋4 n2＋4 n ＋1＋4 n2＋ 12 n ＋9＝12 n2＋12 n ＋11＝12( n2＋ n )＋11， ∴任意三个连续奇数的平方和被12 除的余数是11. 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题9　乘法公式的综合应用 乘法公式与几何图形结合 8. 两个边长分别为 a 和 b 的正方形如图放置(图1)，其未叠合部分(阴影) 面积为 S1.若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形(图2)，比较两个 图阴影部分的面积，可以得到乘法公式 .(用 式子表示) ( a ＋ b )( a － b )＝ a2－ b2 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题9　乘法公式的综合应用 若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为 b 的小正方形(图3)，两 个小正方形叠合部分(阴影)面积为 S2. (1)直接用含 a ， b 的代数式表示 S2，则 S2＝ ⁠； 2 b2－ ab 　 【解析】 S2＝ b (2 b － a )＝2 b2－ ab . 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题9　乘法公式的综合应用 (2)若 a ＋ b ＝8， ab ＝13，求 S1＋ S2的值； (2)解：由题图1，3可知 S1＋ S2＝ a2－ b2＋2 b2－ ab ＝ a2＋ b2－ ab . ∵ a ＋ b ＝8， ab ＝13， ∴ S1＋ S2＝ a2＋ b2－ ab ＝( a ＋ b )2－3 ab ＝64－39＝25. 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题9　乘法公式的综合应用 (3)当 S1＋ S2＝28时，求出图4中阴影部分的面积 S3. 【解析】(3)解：由题图4可知， S3＝ a2＋ b2－ b ( a ＋ b )－ a2＝ ( a2＋ b2－ ab )， ∵ S1＋ S2＝ a2＋ b2－ ab ＝28， ∴ S3＝ ×28＝14. 1 2 3 4 5 6 7 8 微探究小专题9　乘法公式的综合应用 $$