14.3.2 第1课时 运用平方差公式因式分解 主书（习题课件）-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学（人教版，河北专版）

2024 人教版 八年级上册 数学 2 第十四章　整式的乘法与因式分解 14.3　因式分解 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 直接用平方差公式分解因式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1. 在下列各多项式中，不能用平方差公式因式分解的是(　D　) A. a2－16 b2 B. －1＋4 m2 C. －36 x2＋ y2 D. － m2－1 D 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 【解析】A. 原式＝( a －4 b )( a ＋4 b )，不符合题意； B. 原式＝(2 m ＋1)(2 m －1)，不符合题意； C. 原式＝(6 x ＋ y )( y －6 x )，不符合题意； D. 原式不能利用平方差公式进行因式分解，符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 2. 下列分解因式正确的是(　B　) A. 3 x2＋ x ＝3 x ( x ＋1) B. － a2＋9＝－( a ＋3)( a －3) C. xy ＋ x ＋1＝ x ( y ＋1)＋1 D. x ＋ y ＋ x － y ＝2( x ＋ y ) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 3. (2023·杭州中考)分解因式：4 a2－1＝(　A　) A. (2 a －1)(2 a ＋1) B. ( a －2)( a ＋2) C. ( a －4)( a ＋1) D. (4 a －1)( a ＋1) 【解析】A. 3 x2＋ x ＝ x (3 x ＋1)，故此选项不符合题意； B. － a2＋9＝－( a2－9)＝－( a ＋3)( a －3)，故此选项符合题意； C. xy ＋ x ＋1无法分解因式，故此选项不符合题意； D. x ＋ y ＋ x － y 无法分解因式，故此选项不符合题意. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 4. (2023·上海中考)分解因式：－ n2＋9＝ ⁠. 5. 把下列各式因式分解. (3－ n )·(3＋ n )　 (1) x2－25 y2； 解：原式＝( x ＋5 y )( x －5 y ). (2)－4 m2＋25 n2. 解：原式＝(5 n ＋2 m )(5 n －2 m ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 (3) a4－1； 解：原式＝( a2－1)( a2＋1)＝( a ＋1)( a －1)·( a2＋1). (4)81 a4－ b4. 解：原式＝(9 a2－ b2)(9 a2＋ b2)＝(3 a ＋ b )·(3 a － b )(9 a2＋ b2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 6. 已知4 m ＋ n ＝40，2 m －3 n ＝5，求( m ＋2 n )2－(3 m － n )2的值. 解：( m ＋2 n )2－(3 m － n )2＝( m ＋2 n ＋3 m － n )( m ＋2 n －3 m ＋ n )＝ －(4 m ＋ n )(2 m －3 n )， 当4 m ＋ n ＝40，2 m －3 n ＝5时，原式＝－40×5＝－200. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 先提取公因式再用平方差公式分解因式 7. 分解因式： x3－4 x ＝(　C　) A. x ( x2－4 x ) B. x ( x ＋4)( x －4) C. x ( x ＋2)( x －2) D. x ( x2－4) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 8. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信 息： a － b ， x － y ， x ＋ y ， a ＋ b ， x2－ y2， a2－ b2分别对应下列六个 字：中、爱、我、国、游、美，现将( x2－ y2) a2－( x2－ y2) b2因式分解， 结果呈现的密码信息可能是(　C　) A. 我爱美 B. 中国游 C. 爱我中国 D. 美我中国 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 9. (2023·哈尔滨中考)把多项式 mx2－16 m 分解因式的结果是 ⁠ ⁠. 【解析】 mx2－16 m ＝ m ( x2－16)＝ m ( x ＋4)( x －4). 10. 分解因式：2 m2－18＝ ⁠. 【解析】 2 m2－18＝2( m2－9)＝2( m ＋3)( m －3). m ( x ＋4) ( x －4)　 2( m ＋3)( m －3)　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 11. 如图，边长为 m ＋3的正方形纸片剪去一个边长为 m 的正方形后， 用剩余部分剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙).若拼成的长方形一条边 长为3，则另一条边长为(　A　) A. 2 m ＋3 B. 2 m ＋6 C. m ＋3 D. m ＋6 【解析】由题意得 S阴影＝( m ＋3)2－ m2＝ m2＋6 m ＋9－ m2＝6 m ＋9＝ 3(2 m ＋3)，∴拼成的长方形的另一条边长为2 m ＋3. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 12. 已知 x2－4 y2＝36， x ＋2 y ＝18，求 x ， y 的值. 解：∵ x2－4 y2＝( x ＋2 y )( x －2 y )＝36， x ＋2 y ＝18， ∴ x －2 y ＝2. 联立方程，得 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 13. 计算：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－12. 解：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－12 ＝(1002－992)＋(982－972)＋(962－952)＋…＋(22－12) ＝100＋99＋98＋97＋96＋95＋…＋2＋1 ＝5 050. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 14. 将一条40 cm长的彩带剪成两段，恰好可用来围两张大小不同的正 方形壁画的边(不计算接头处).已知两张壁画的面积相差40 cm2，这条彩 带应剪成多长的两段？ 解：设较大正方形的边长为 x cm，则较小正方形的边长为(10－ x )cm. 由题意，得 x2－(10－ x )2＝40，( x ＋10－ x )( x －10＋ x )＝40，10(2 x － 10)＝40，解得 x ＝7. ∴4 x ＝28，4(10－ x )＝12， 故这条彩带应剪成28 cm和12 cm的两段. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 15. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整 数为“神秘数”.如：4＝22－02，12＝42－22，20＝62－42，因此4，12，20都是“神秘数”. (1)28和2 018这两个数是“神秘数”吗？为什么？ 解：(1)∵28＝82－62，∴28是神秘数； 2 018不是神秘数，它无法表示为两个连续偶数的平方差. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 (2)设两个连续偶数为2 k 和2 k ＋2( k 取非负整数)，由这两个连续偶数构 造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？ 解：(2)∵(2 k ＋2)2－(2 k )2＝8 k ＋4＝4(2 k ＋1)， ∴由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 (3)两个连续奇数的平方差(取正数)是神秘数吗？为什么？ 解：(3)设这两个连续奇数为2 n －1和2 n ＋1，则(2 n ＋1)2－(2 n －1)2＝ (2 n ＋1＋2 n －1)·(2 n ＋1－2 n ＋1)＝4×2 n .结合(2)中结果，可知2 k ＋1 恒为奇数，2 n 恒为偶数，∴4(2 k ＋1)≠4×2 n ，∴两个连续奇数的平方 差不是神秘数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 16. 观察下列各式： 32－12＝8×1； 52－32＝8×2； 72－52＝8×3； 92－72＝8×4； … (1)根据你发现的规律直接写出第8个式子； 解：(1)第8个式子：172－152＝8×8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 (2)你能用一个含 n ( n 为正整数)的等式来表示上述规律吗？如果能，请 说明其正确性. 解：(2)规律：(2 n ＋1)2－(2 n －1)2＝8 n . (2 n ＋1)2－(2 n －1)2＝(2 n ＋1＋2 n －1)·(2 n ＋1－2 n ＋1)＝4 n ×2＝8 n . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.3.2　公式法　 第1课时　运用平方差公式因式分解 素养达标 能力突破 基础通关 $$