第十一章 微探究小专题3 三角形的角平分线问题探究思考 主书（习题课件）-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学（人教版，河北专版）

2024 人教版 八年级上册 数学 2 第十一章　三角形 微探究小专题3　三角形的角平分线 问题探究思考 问题1　“两内角”平分线问题 在△ ABC 中. 　 　 微探究小专题3　三角形的角平分线问题探究思考 (1)如图1，若 BP ， CP 分别平分∠ ABC ，∠ ACB ，则∠ P 与∠ A 的数量 关系是什么？请说明理由. 解：∠ P ＝90°＋ ∠ A . 微探究小专题3　三角形的角平分线问题探究思考 理由：在△ BPC 中，∠ P ＋∠ PBC ＋∠ PCB ＝180°， ∴∠ P ＝180°－(∠ PBC ＋∠ PCB ). ∵ BP ， CP 分别平分∠ ABC ，∠ ACB ， ∴∠ PBC ＝ ∠ ABC ，∠ PCB ＝ ∠ ACB . ∴∠ PBC ＋∠ PCB ＝ (∠ ABC ＋∠ ACB ). 在△ ABC 中，∠ ABC ＋∠ ACB ＝180°－∠ A ， ∴∠ P ＝180°－ (∠ ABC ＋∠ ACB )＝180°－ (180°－∠ A )＝90°＋ ∠ A . 微探究小专题3　三角形的角平分线问题探究思考 (2)如图2，若∠ ABP ＝ ∠ ABC ，∠ ACP ＝ ∠ ACB ，则∠ P 与∠ A 的 数量关系是 ⁠. ∠ P ＝60°＋ ∠ A 　 微探究小专题3　三角形的角平分线问题探究思考 延伸　如图3， P 是△ ABC 内一点，且∠ BPC ＝133°，∠ ABP ，∠ ACP 的10等分线分别交于点 G1， G2，…， G9，若∠ BG1 C ＝70°，直 接写出∠ A 的度数. 解：∠ A ＝63°. 微探究小专题3　三角形的角平分线问题探究思考 【解析】∠ BPC ＝180°－(∠ PBC ＋∠ PCB )＝180°－(180°－∠ A －∠ ABP －∠ ACP )，即∠ BPC ＝∠ ABP ＋∠ ACP ＋∠ A ，① 同理，∠ BG1 C ＝∠ ABG1＋∠ ACG1＋∠ A . ∵∠ ABP ，∠ ACP 的10等分线分别交于点 G1， G2，…， G9， ∴∠ ABG1＝ ∠ ABP ，∠ ACG1＝ ∠ ACP . ∴∠ BG1 C ＝ (∠ ABP ＋∠ ACP )＋∠ A . 微探究小专题3　三角形的角平分线问题探究思考 由①，得∠ ABP ＋∠ ACP ＝∠ BPC －∠ A ， ∴∠ BG1 C ＝ (∠ BPC －∠ A )＋∠ A . ∵∠ BPC ＝133°，∠ BG1 C ＝70°， ∴70°＝ (133°－∠ A )＋∠ A ， 解得∠ A ＝63°. 微探究小专题3　三角形的角平分线问题探究思考 问题2　“一内角一外角”平分线问题 如图，在△ ABC 中， BD 平分∠ ABC ， CD 平分△ ABC 的外角∠ ACE ， BD ， CD 相交于点 D . 微探究小专题3　三角形的角平分线问题探究思考 (1)若∠ A ＝86°，求∠ D 的度数； 解：(1)在△ ABC 中，∠ ACE ＝∠ A ＋∠ ABC ，在△ BCD 中，∠ DCE ＝∠ D ＋∠ DBC . ∵ BD ， CD 分别 平分∠ ABC ，∠ ACE ，∴∠ DBC ＝ ∠ ABC ，∠ DCE ＝ ∠ ACE . ∴∠ D ＝∠ DCE －∠ DBC ＝ ∠ ACE － ∠ ABC ＝ (∠ ACE －∠ ABC )＝ ∠ A . ∵∠ A ＝86°，∴∠ D ＝43°. 微探究小专题3　三角形的角平分线问题探究思考 (2)若∠ A ＝α，求∠ D 的度数(用含α的式子表示). 解：(2)同(1)，∠ D ＝ ∠ A ，∵∠ A ＝α， ∴∠ D ＝ α. 微探究小专题3　三角形的角平分线问题探究思考 思考1　若∠ ABD ＝ ∠ ABC ，∠ ACD ＝ ∠ ACE ，则∠ D 与∠ A 的数 量关系是 ⁠； 思考2　如图，作 CP 平分∠ ACB 交 BD 于点 P ，你能直接运用∠ BPC 与 ∠ A 的关系得出∠ D 与∠ A 的关系吗？请说明理由. ∠ D ＝ ∠ A 　 微探究小专题3　三角形的角平分线问题探究思考 解：∠ D ＝ ∠ A . 理由：∵ CD 平分∠ ACE ， CP 平分∠ ACB ，∴∠ DCA ＝ ∠ ACE ，∠ ACP ＝ ∠ ACB . ∴∠ DCA ＋∠ ACP ＝ (∠ ACE ＋∠ ACB )＝ ×180° ＝90°.∴∠ DCP ＝90°.∵∠ BPC ＝∠ DCP ＋∠ D ，∴∠ BPC ＝90° ＋∠ D . 微探究小专题3　三角形的角平分线问题探究思考 又∵∠ BPC ＝180°－(∠ PBC ＋∠ PCB )＝180°－( ∠ ABC ＋ ∠ ACB )＝180°－ (∠ ABC ＋∠ ACB )＝180°－ (180°－∠ A )＝180° －90°＋ ∠ A ＝90°＋ ∠ A . ∴90°＋∠ D ＝90°＋ ∠ A . ∴∠ D ＝ ∠ A . 微探究小专题3　三角形的角平分线问题探究思考 问题3　“两外角”平分线问题 如图，在△ ABC 中， BD ， CD 分别平分△ ABC 的外角∠ CBF ，∠ BCE ， BD ， CD 相交于点 D . 若∠ A ＝70°，则∠ D ＝ ⁠°. 55　 微探究小专题3　三角形的角平分线问题探究思考 思考　如图， BP ， CP 分别平分∠ ABC ，∠ ACB ，它们相交于点 P ，你能直接运用∠ BPC 与∠ A 的关系得出∠ D 与∠ A 的关系吗？ 请说明理由. 解：∠ D ＝90°－ ∠ A . 微探究小专题3　三角形的角平分线问题探究思考 理由：∵ BP 平分∠ ABC ， BD 平分∠ CBF ，∴∠ PBD ＝∠ PBC ＋∠ DBC ＝ (∠ ABC ＋∠ CBF )＝ ×180°＝90°.同理∠ PCD ＝90°.∵∠ BPC ＝180°－∠ PBC －∠ PCB ＝180°－ (∠ ABC ＋∠ ACB )＝180° － (180°－∠ A )＝90°＋ ∠ A ，∴∠ D ＝360°－(∠ PBD ＋∠ PCD ＋∠ BPC )＝180°－∠ BPC ＝180°－(90°＋ ∠ A )＝90°－ ∠ A . 微探究小专题3　三角形的角平分线问题探究思考 $$