专题02 三角形重难点题型汇编（十一大题型）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

专题02 三角形重难点题型汇编（十一大题型） 【题型01：三角形的三边关系】 【题型02：三角形中线与面积问题】 【题型03：三角形中线与周长问题】 【题型04：根据三角形的三边关系化简】 【题型05：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 【题型06：三角形内角和定理与折叠问题综合】 【题型07：三角形内角和定理与新定义问题综合】 【题型08：多边形的对角线】 【题型09：截角问题】 【题型10：多边形内角和和外角和的综合运算】 【题型11：多边形内角和和外角和的综合实际应用】 【题型01：三角形的三边关系】 1．已知三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边．根据三角形的三边关系可得，再解不等式可得答案． 【详解】解：设三角形的第三边为，由题意可得： ， 即， 故选：C． 2．若三角形三边长为 4 ， ，11 ，则 x 的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三条边的关系和一元一次不等式的解法，根据三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边，列不等式求解即可得出答案． 【详解】解：根据三角形三边关系可得出， 解得：， 故选：D． 3．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质；设，由三角形的三边关系定理得出，再由边长为正数得出，即可得出结果．掌握三角形的三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设， ∵在中，，若其周长为， ∴， ∵，即， 解得：， 又∵， 解得：， ∴， 即． 故选：B． 4．若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则这样的三角形共有 个． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．设第三边的长为，根据三角形的三边关系的定理可以确定的取值范围，进而得到答案． 【详解】解：设第三边的长为，则 ， 所以． 为整数， 可取3，4，5，6，7． ∴这样的三角形共有5个， 故答案为：5． 5．一个三角形的两边长分别为5和7，若x为最长边且为整数，则此三角形的周长为 ． 【答案】19或20或21或22或23 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，就可以求出第三边的长，从而求得三角形的周长． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：， ∴， ∵x为最长边且为整数， ∴， ∴x的值是7或8或9或10或11， ∵，，，，， ∴此三角形的周长为19或20或21或22或23． 故答案为：19或20或21或22或23． 【题型02：三角形中线与面积问题】 6．如图，在中，D是的中点，若的面积是4，则的面积是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积和中线的性质：三角形的中线将三角形分为相等的两部分，知道中线将三角形面积分为相等的两部分是解题的关键．根据中线将三角形面积分为相等的两部分即可求解． 【详解】∵在中，D是的中点，的面积是4， ∴的面积是的面积的一半 ∴的面积是2 故选：B． 7．如图，在△中，，，，是边上的中线，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利用三角形的中线求面积，先求出的面积，根据中线平分面积即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴； 故选A． 8．如图，已知和分别是和的中线，若的面积是8，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，根据三角形的中线把三角形分成的两个三角形面积相等，即可求出的面积，利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：A． 10．如图所示，在中，已知点分别是的中点，且的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，，，，再由的面积为，就可得到的面积，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 同理可证， ∴点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 11．如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点顺次连接成，若的面积是5，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线性质；熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 连接，由题意得，，由三角形的中线性质即可得出的面积． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【题型03：三角形中线与周长问题】 12．如图，在中，点D是边上的中点，若和的周长分别为16和11，则的值为（    ） A．5 B．11 C．16 D．27 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念，根据线段中点的概念得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵点D是边上的中点， ， 的周长为16， 的周长为11， ， 的周长的周长， 故选：A． 13．如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴， 由的周长为，的周长， ∵的周长比的周长大， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，在中，点E是的中点，，，的周长是25，则的周长是 ． 【答案】22 【分析】根据点E是的中点，得到，根据，的周长是25，得到继而得到，结合解答即可． 本题考查了中点的意义，三角形周长的计算，熟练掌握中点和三角形周长的意义是解题的关键． 【详解】 解：∵的周长是25，， ∴， ∵， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴的周长， 故答案为：22． 15．如图，E是边的中点，若，的周长比的周长多1，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握理解三角形中线的定义是解题关键． 先根据三角形中线的定义可得，再根据三角形的周长公式即可得． 【详解】解：E是边的中点， ， 的周长比的周长多1，且， ， 即， ， 故答案为：5． 16．如图，在中，，，是中线．若的周长为19，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的周长公式，根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长之差，掌握中线的定义及三角形的周长公式是解题的关键． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∴的周长为：， 的周长为：， ∴与的周长差为：， ∵的周长为， ∴的周长为， 故答案为：． 【题型04：根据三角形的三边关系化简】 17．已知三边分别是、、， 化简 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解． 【详解】解：∵、、分别为的三边长， ∴，， ∴，，， ∴ 故答案为：． 18．已知a、b、c 是三角形的三边长，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，绝对值的意义，整式的加减运算，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．根据三角形的三边关系可知，，，进而去绝对值符号，合并同类项即可． 【详解】解：a、b、c 是三角形的三边长， ，， ，， ， 故答案为：． 19．已知a、b、c是一个三角形的三边长． (1)若，，则c的取值范围是_______． (2)试化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，化简绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边；正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数． （1）由三角形三边关系定理即可得到答案； （2）由绝对值的意义和三角形三边关系定理即可化简． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：， ． 故答案为：． （2）解：，，， ． 20．已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； (2)化简． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系、化简绝对值，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）由三角形三边关系结合三角形的周长是小于22的偶数，得出，即可得出答案； （2）由三角形三边关系得，再利用绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解： 的三边长是，， ，即， 三角形的周长是小于22的偶数， ， 或； （2）解：由三角形三边关系得：， ，， ． 21．已知，，是三边的长． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)化简． 【答案】(1)等边三角形 (2) 【分析】本题考查化简绝对值、不等式的性质、三角形的三边关系和三角形分类； （1）根据非负数的性质，可得出，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1） ， 且， ， 为等边三角形； （2），，是的三边长， ，，， ，，， ． 【题型05：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 22．如图，在中，，，于点D，平分交于点E，于点F． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了三角形内角和定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）先求出，再根据角平分线的定义得出结论； （2）利用三角形内角和定理求出，利用直角三角形性质求出结论． 【详解】（1）解： 平分 ； （2）由（1）知 又 23．如图，中，，于， 平分交于， (1)当，时，求的度数； (2)猜想：与、有什么关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的角平分线和高的定义； （1）先利用三角形的内角和求得，再利用角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得，，进而求解即可； （2）利用三角形的内角和定理、角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求得，，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴ ∵，时 ∴， ∴ （2）解： 解：∵，分别是的高和角平分线， ∴，， ∴ ． 24．中，，是高，是三角形的角平分线． (1)当，时，求的度数； (2)根据第（1）问得到的启示，与之间有怎样的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理： （1）由三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义求得，进而根据角的和差关系即可得到答案； （2）由三角形内角和定理求得，根据角平分线的定义求得，进而根据角的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵是高，是三角形的角平分线．， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在中，， ∵是的高， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴ ． 即． 25．如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点O，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)10° (2)125° 【分析】 本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由角平分线的定义得，结合直角三角形的两个锐角互余，得，即可作答． （2）先由角平分线的定义得，再运用三角形的内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴ ∵是高， ∴在中， ∴ （2）解：∵是角平分线 ∴ ∴ 【题型06：三角形内角和定理与折叠问题综合】 26．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为点E，交于点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，长方形的性质以及三角形内角和定理，根据折叠的性质，可以得到的度数，然后再根据平行线的性质得到的度数，最后由三角形内角和定理可得结论． 【详解】解：由折叠的性质得到，， ∵， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴ 故选：A． 27．如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可得：，，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 28．如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点的位置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题）三角形内角和定理以及平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．由折叠的性质得到，再利用三角形内角和定理及平角的定义即可求出所求的度数． 【详解】解：由折叠的性质得：， ， ， ， ， 故选：D． 29．如图，将沿折叠，点A落在点F处，已知，则 度． 【答案】50 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理、折叠的性质等知识点，灵活运用三角形的内角和是是解答本题的关键．根据折叠的性质可知，利用平角是求出与的和，然后利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 故答案为：． 30．如图，在中，，点D在B边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则度数为 ． 【答案】/67度 【分析】根据折叠的性质和直角三角形的有关知识求解即可．本题考查的是直角三角形和折叠的性质，解题的关键是根据折叠的性质找到对应相等的角． 【详解】解：将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，， ，， ∵， ， ， ， 故答案为：． 31．如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 ． 【答案】72 【分析】本题主要考查了翻折变换、三角形的内角和定理等知识点，设，根据翻折不变性可知，，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． 【详解】设，根据翻折不变性可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：72． 32．如图，把长方形纸片沿折痕折叠，使点与点重合，点落在点处，，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】此题考查翻折问题，关键是根据折叠前后图形全等和长方形性质解答．根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可． 【详解】解：∵把长方形纸片沿折痕折叠，使点B与点D重合，点A落在点G处， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠，， 故答案为：． 33．如图，中，，点D在上，连接，将沿对折得到，点E恰好在上，若，则 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，根据折痕是角平分线，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵将沿对折得到， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型07：三角形内角和定理与新定义问题综合】 34．新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则称△ABC为“n倍角三角形”. 例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”. (1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“_______倍角三角形”. (2)如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数. 【答案】(1)2 (2)18°或54° 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠D，根据n倍角三角形的定义判断； （2）根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定义分情况讨论计算，得到答案． 【详解】（1）解：在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°， 则∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°， ∴∠D＝2∠E， ∴△DEF为“2倍角三角形”， 故答案为：2； （2）解：∵∠C＝36°， ∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°， ∵∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D， ∴∠DAB＝∠BAC，∠DBA＝∠ABC， ∴∠DAB+∠DBA＝×144°＝72°， ∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°， ∵△ABD为“6倍角三角形”， ∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD， 当∠ADB＝6∠ABD时，∠ABD＝18°， 当∠ADB＝6∠BAD时，∠BAD＝18°，则∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°， 综上所述，∠ABD的度数为18°或54°． 【点睛】本题考查的是新定义、三角形内角和定理、角平分线的定义，正确理解n倍角三角形的定义是解题的关键． 35．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”    (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，D是边上一点（不与点A，B重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②、都是“友爱三角形”，理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）①利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可；②由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论； （2）利用“友爱三角形”的定义解答即可；利用分类讨论的方法，根据“友爱三角形”的定义解答即可． 【详解】（1）解：① 是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； ②、都是“友爱三角形”， 理由： 是中边上的高， ， ，， ， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， 为“友爱三角形” ； （2）解：的度数为或， 是“友爱三角形”，D是边上一点（不与点A，B重合）， 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 36．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”． 例如：，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． (1)已知和互为“伙伴角”，且，则 ． (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交于D、E两点 ①若，且和互为“伙伴角”，求的度数； ②如图2所示，的平分线交于点F，当和互为“伙伴角”时，的度数为多少？ 【答案】(1)或 (2)①；②或 【分析】本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理等，注意分情况讨论，是解题的关键． （1）考虑两种情况，即，根据“伙伴角”的定义，再结合补角的定义即可解答； （2）①设的度数为，则，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到 ，利用“伙伴角”的概念，列方程即可解答； ②考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，用表示，列方程，即可解答． 【详解】（1）解：当时，， ， ； 当时，， ， ， 故答案为：或； （2）①设的度数为， ，则， ∵的平分线分别交于两点， ， ， ， ， ， 可得， 解得， ； ②设的度数为， ， ， 平分， ， 根据①可得， ， 当时，可得； 当时，可得； 综上所述，的度数为或． 【题型08：多边形的对角线】 37．过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是（   ） A．六 B．七 C．八 D．九 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线，掌握过n边形的一个顶点可以作条对角线是解题关键．过n边形的一个顶点可以作条对角线，据此解答即可． 【详解】解：设多边形的边数是n， 由题意得：， ． 这个多边形的边数是七． 故选：B． 38．从某多边形一个顶点出发连接其余各顶点得7条对角线，则这个多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了一个顶点出发的对角线条数，牢记公式是解题的关键．根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式求出边数即可得解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形从一个顶点出发可引出7条对角线， ， 解得． 故选：D． 39．某多边形由一个顶点引出的对角线可以将该多边形分成10个三角形，则这个多边形的边数是（  ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】此题考查了多边形对角线条数，n边形从一个顶点出发可以引出条对角线，把多边形分成个三角形，据此作答即可. 【详解】解：设这个多边形的边数是n，则，解得， 即这个多边形的边数是12， 故选：B. 40．从多边形的一个顶点出发，可以作8条对角线，则该多边形的边数是（    ） A．九 B．十 C．十一 D．十二 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的对角线，掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线求解即可． 【详解】解：设多边形边数为n，由题意得： ， ， 故选：C． 【题型09：截角问题】 41．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 【答案】D 【分析】分三种情况，画出图形，即可得出结果． 【详解】解：如图，减去一个角有三种情况，    ∴剩下纸片的角的个数为3或4或5； 故选D． 【点睛】本题主要考查了在不同情况下正方形的不同剪法，做此题考虑要全面不要遗漏，解答此题应根据题意，结合图形进行操作，进而得出结论． 42．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 【答案】C 【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故选C 【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 43．一个n边形削去一个角后变成(n+1)边形，其内角和变为2 520°，则原多边形的边数是 (    ) A．7 B．10 C．14 D．15 【答案】D 【分析】根据多边形内角和公式可得：(n+1)边形内角和＝(n+1-2)×180=2520度，可求得结果. 【详解】因为(n+1)边形内角和＝(n+1-2)×180=2520度 所以多边形边数n＝2520÷180+1＝15 故选D 【点睛】本题考查了多边形内角和公式，熟练掌握公式是解题的关键. 44．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 【答案】5或6或7 【分析】实际画图，数形结合，可知六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图所示： 六边形可以是五边形，六边形，七边形截去一个角后得到． 故答案为：5或6或7． 【点睛】本题主要考查了多边形，此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 【题型10：多边形内角和和外角和的综合运算】 45．若正多边形的一个外角的度数为，则这个正多边形的内角和度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理及多边形的内角和公式．先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和． 【详解】解：正多边形的边数为：， 则这个多边形是正八边形， 所以该正多边形的内角和为． 故选：C． 46．一个正多边形，它的每个内角都等于相邻外角的5倍，则这个正多边形是（    ） A．正五边形 B．正十边形 C．正十二边形 D．不存在 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形外角和内角和综合，设这个正多边形的一个外角的度数为，则这个正多边形的一个内角的度数为，根据正多边形一个内角的度数和一个外角的度数之和为180度建立方程求出一个外角的度数，再根据正多边形外角度数之和为360度即可求出对应的边数． 【详解】解：设这个正多边形的一个外角的度数为，则这个正多边形的一个内角的度数为， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数为， 故选：C． 47．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和问题，设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式和外角和并结合题意得出等式，计算即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得：， 故这个多边形的边数是， 故选：C． 48．如图所示，七边形中，的延长线相交于点O，若图中的和为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的外角和，任意多边形的外角和均为，延长交于点，可得据此即可求解． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ∵任意多边形的外角和均为， 且的和为， ∴ 即： ∴ 故选：D 49．一个正多边形的一个内角是与其相邻的一个外角的3倍，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】8 【分析】首先设正多边形的一个外角等于，由在正多边形中，一个内角的度数恰好等于它相邻的外角的3倍，即可得方程：，解此方程即可求得答案．此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，方程思想的应用是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的一个外角等于， ∵一个内角的度数恰好等于它相邻的外角的3倍， ∴这个正多边形的一个内角为：， ∴， 解得：， ∴这个正多边形的边数是：． 故答案为：8． 50．一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数． 【答案】这个多边形的边数为9 【分析】本题主要考查了多边形外角和和内角和综合，设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为，外角和为360度，结合题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为9． 【题型11：多边形内角和和外角和的综合实际应用】 51．创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和定理的应用．由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和，即可求出答案． 【详解】解：由题意可知机器人所走的路线为一个正多边形， 该正多边形的边数为：， 他需要走次才会回到原来的起点， 即一共走了（米）． ​故选：C． 52．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行进和旋转，某一指令规定：机器人先向前方行走，然后左转，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人一共走了（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】第一次回到原处正好转了，正好构成一个正十八边形，求出周长即可． 【详解】解：机器人第一次回到原处，转了一周共， ，共走了次， 机器人走了． 故选：C． 【点睛】此题考查了多边形的外角和的应用，本题是一个实际问题，要理解“回到原处”就是转了，我们平时要多做这种类型的题目，学会抓住关键词即可快速得到正确答案． 53．如图，蚂蚁先从点A出发前进，向右转，再前进，又向右转，…，这样一直走下去，那么蚂蚁第一次回到出发点A时，一共走了 ．    【答案】30 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角的应用，解题的关键是判断出蚂蚁所走的路线为正多边形，牢记任何一个多边形的外角和都是，正多边形的每一个外角都相等． 由题意可知蚂蚁所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案． 【详解】解：蚂蚁从点出发最后回到出发点时正好走了一个正多边形， 根据外角和定理可知正多边形的边数为， 则一共走了（厘米）． 故答案为：30． 54．小宇阅读了一篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图所示的图片，图中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美．如图是从图图案中提取的由六条线段组成的图形，若，则的度数是 ．    【答案】/300度 【分析】本题考查了多边形的外角，根据外角和为即可求解． 【详解】多边形的外角和等于 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角形重难点题型汇编（十一大题型） 【题型01：三角形的三边关系】 【题型02：三角形中线与面积问题】 【题型03：三角形中线与周长问题】 【题型04：根据三角形的三边关系化简】 【题型05：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 【题型06：三角形内角和定理与折叠问题综合】 【题型07：三角形内角和定理与新定义问题综合】 【题型08：多边形的对角线】 【题型09：截角问题】 【题型10：多边形内角和和外角和的综合运算】 【题型11：多边形内角和和外角和的综合实际应用】 【题型01：三角形的三边关系】 1．已知三角形的两边长分别为和，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（   ） A． B． C． D． 2．若三角形三边长为 4 ， ，11 ，则 x 的取值范围是（      ） A． B． C． D． 3．在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则这样的三角形共有 个． 5．一个三角形的两边长分别为5和7，若x为最长边且为整数，则此三角形的周长为 ． 【题型02：三角形中线与面积问题】 6．如图，在中，D是的中点，若的面积是4，则的面积是（　　） A．1 B．2 C．2.5 D．3 7．如图，在△中，，，，是边上的中线，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，已知和分别是和的中线，若的面积是8，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图所示，在中，已知点分别是的中点，且的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 11．如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点顺次连接成，若的面积是5，则的面积是 ． 【题型03：三角形中线与周长问题】 12．如图，在中，点D是边上的中点，若和的周长分别为16和11，则的值为（    ） A．5 B．11 C．16 D．27 13．如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ． 14．如图，在中，点E是的中点，，，的周长是25，则的周长是 ． 15．如图，E是边的中点，若，的周长比的周长多1，则 ． 16．如图，在中，，，是中线．若的周长为19，则的周长为 ． 【题型04：根据三角形的三边关系化简】 17．已知三边分别是、、， 化简 18．已知a、b、c 是三角形的三边长，化简： ． 19．已知a、b、c是一个三角形的三边长． (1)若，，则c的取值范围是_______． (2)试化简：． 20．已知的三边长是． (1)若，且三角形的周长是小于22的偶数，求的值； (2)化简． 21．已知，，是三边的长． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)化简． 【题型05：三角形内角和定理与角平分线、高的综合运算】 22．如图，在中，，，于点D，平分交于点E，于点F． (1)求的度数； (2)求的度数． 23．如图，中，，于， 平分交于， (1)当，时，求的度数； (2)猜想：与、有什么关系，并说明理由． 24．中，，是高，是三角形的角平分线． (1)当，时，求的度数； (2)根据第（1）问得到的启示，与之间有怎样的等量关系，并说明理由． 25．如图所示，在中，是高，、是角平分线，它们相交于点O，，． (1)求的度数； (2)求的度数 【题型06：三角形内角和定理与折叠问题综合】 26．如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为点E，交于点O．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 27．如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 28．如图，是一张纸片，把沿折叠，点C落在点的位置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 29．如图，将沿折叠，点A落在点F处，已知，则 度． 30．如图，在中，，点D在B边上，将沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则度数为 ． 31．如图甲所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到边上的E点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为（如图丙），则的大小为 ． 32．如图，把长方形纸片沿折痕折叠，使点与点重合，点落在点处，，则的度数为 ． 33．如图，中，，点D在上，连接，将沿对折得到，点E恰好在上，若，则 ． 【题型07：三角形内角和定理与新定义问题综合】 34．新定义：在△ABC中，若存在最大内角是最小内角度数的n倍(n为大于1的正整数)，则称△ABC为“n倍角三角形”. 例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，则∠C＝30°，因为∠A最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC为“3倍角三角形”. (1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，则△DEF为“_______倍角三角形”. (2)如图，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD为“6倍角三角形”，请求出∠ABD的度数. 35．定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”    (1)如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求、的度数． ②若是中边上的高，则、都是“友爱三角形”吗？为什么？ (2)如图2，在中，，，D是边上一点（不与点A，B重合），连接，若是“友爱三角形”，直接写出的度数． 36．【定义】如果两个角的差为，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”． 例如：，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”． (1)已知和互为“伙伴角”，且，则 ． (2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交于D、E两点 ①若，且和互为“伙伴角”，求的度数； ②如图2所示，的平分线交于点F，当和互为“伙伴角”时，的度数为多少？ 【题型08：多边形的对角线】 37．过多边形的一个顶点可以作4条对角线，则这个多边形的边数是（   ） A．六 B．七 C．八 D．九 38．从某多边形一个顶点出发连接其余各顶点得7条对角线，则这个多边形的边数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 39．某多边形由一个顶点引出的对角线可以将该多边形分成10个三角形，则这个多边形的边数是（  ） A．11 B．12 C．13 D．14 40．从多边形的一个顶点出发，可以作8条对角线，则该多边形的边数是（    ） A．九 B．十 C．十一 D．十二 【题型09：截角问题】 41．将一张正方形的纸片减去一个角后，剩下纸片的角的个数为（    ） A．5 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 42．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 43．一个n边形削去一个角后变成(n+1)边形，其内角和变为2 520°，则原多边形的边数是 (    ) A．7 B．10 C．14 D．15 44．一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ． 【题型10：多边形内角和和外角和的综合运算】 45．若正多边形的一个外角的度数为，则这个正多边形的内角和度数为（    ） A． B． C． D． 46．一个正多边形，它的每个内角都等于相邻外角的5倍，则这个正多边形是（    ） A．正五边形 B．正十边形 C．正十二边形 D．不存在 47．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 48．如图所示，七边形中，的延长线相交于点O，若图中的和为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 49．一个正多边形的一个内角是与其相邻的一个外角的3倍，则这个正多边形的边数是 ． 50．一个多边形的内角和比外角和的4倍少180度，求这个多边形的边数． 【题型11：多边形内角和和外角和的综合实际应用】 51．创客小组的同学给机器人设定了如图的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转……照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 52．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行进和旋转，某一指令规定：机器人先向前方行走，然后左转，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人一共走了（    ） A． B． C． D． 53．如图，蚂蚁先从点A出发前进，向右转，再前进，又向右转，…，这样一直走下去，那么蚂蚁第一次回到出发点A时，一共走了 ．    54．小宇阅读了一篇《东方窗棂之美》的文章，文章中有一张如图所示的图片，图中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美．如图是从图图案中提取的由六条线段组成的图形，若，则的度数是 ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$