第十一章 微探究小专题1 三角形的高、中线与面积问题 主书（习题课件）-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学（人教版，河北专版）

2024 人教版 八年级上册 数学 2 第十一章　三角形 微探究小专题1　 三角形的高、中线与面积问题 问题探究思考 问题1　见两垂直用面积法 【教材第9页习题11.1第8题改编】如图，在△ ABC 中， AB ＝2， BC ＝ 4， CE ⊥ AB 于点 E ，△ ABC 的高 AD 为6， CE 的长为多少？ 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 解：∵ S△ ABC ＝ AB · CE ＝ BC · AD ， ∴ AB · CE ＝ BC · AD ，即2 CE ＝4×6. ∴ CE ＝12， 即 CE 的长为12. 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 【变式1】如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ＝4， P 是 BC 边上任一点， PD ⊥ AB ， PE ⊥ AC ， D ， E 为垂足.若△ ABC 的 面积为6，问：腰 AB 上的高是多少？ PD ＋ PE 的值能否确定？若 能确定，值是多少？ 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 解：腰 AB 边上的高是3； PD ＋ PE 的值能确定，且 PD ＋ PE ＝3. AB 边上的高＝面积×2÷ AB ＝6×2÷4＝3. 如图，连接 AP . 由图，可得 S△ ABC ＝ S△ ABP ＋ S△ ACP . ∵ PD ⊥ AB ， PE ⊥ AC ， AB ＝ AC ＝4，△ ABC 的面积为6， ∴6＝ ×4× PD ＋ ×4× PE ＝2( PD ＋ PE ). ∴ PD ＋ PE ＝3. 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 【变式2】如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，若 AC 边上的高 BD ＝4， P 为 BC 上一点， PE ⊥ AC 于点 E ， PF ⊥ AB 于点 F ，求 PE ＋ PF 的值. 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 解：如图，连接 AP . ∵ S△ ABC ＝ S△ ABP ＋ S△ ACP ， S△ ABC ＝ AC · BD ， S△ ABP ＝ AB · PF ， S△ ACP ＝ AC · PE ， ∴ AC · BD ＝ AB · PF ＋ AC · PE . 又∵ AB ＝ AC ，∴ BD ＝ PE ＋ PF . ∵ BD ＝4，∴ PE ＋ PF ＝4. 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 根据变式1和变式2你得到的结论是： ⁠ ⁠ 等腰三角形底边上任意一点到两 腰的距离和等于一腰上的高.　 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 问题2　中线等分三角形的面积 (2023·唐山路南区期中)王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配 给两个儿子，则图中他所作的线段 AD 应该是△ ABC 的(　B　) A. 角平分线 B. 中线 C. 高 D. 任意一条线 B 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 【变式1】在如图1至图3中，△ ABC 的面积为 a ，如图1，延长△ ABC 的边 BC 到点 D ，使 CD ＝ BC ，连接 DA ，若△ ACD 的面积为 S1，则 S1 ＝ (用含 a 的代数式表示). 　 　 a 　 【解析】∵ BC ＝ CD ，即 AC 是△ ABD 的中线， ∴ S△ ABC ＝ S△ ACD . 又∵ S△ ABC ＝ a ， ∴ S△ ACD ＝ a ，即 S1＝ a . 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 【变式2】如图2，延长△ ABC 的边 BC 到点 D ，延长边 CA 到点 E ，使 CD ＝ BC ， AE ＝ CA ，连接 DE ，若△ DEC 的面积为 S2，则 S2＝ . (用含 a 的代数式表示). 2 a 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 【解析】如图，连接 AD . ∵ EA ＝ AC ， ∴ AD 是△ ECD 的中线. ∴ S△ EAD ＝ S△ ACD . 由【变式1】得 S△ ACD ＝ a ，则 S△ EAD ＝ S△ ACD ＝ a ， ∴ S2＝2 a . 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 【变式3】在图2的基础上延长 AB 到点 F ，使 BF ＝ AB ，连接 FD ， FE ，得到△ DEF (如图3)，此时，我们称△ ABC 向外扩展了一次，若 阴影部分的面积为 S3，则 S3＝ (用含 a 的代数式表示). 【解析】由变式2，得 S2＝2 a ， 同理可得 S△ AEF ＝ S△ BFD ＝ S△ DEC ＝2 a ， 则 S3＝6 a . 6 a 　 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 【变式4】应用：如图4，去年李叔叔在面积为10 m2的△ ABC 空地上栽 种了某种花卉，今年他准备扩大种植规模，把△ ABC 向外进行两次扩 展，扩展的区域面积共为多少平方米？ 解：扩展1次， S△ DEF ＝7 S△ ABC ＝7×10＝70(m2). 扩展2次， S△ MGH ＝7 S△ DEF ＝7×70＝490(m2). ∴扩展的区城面积共为490－10＝480(m2). 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 专题进阶小练 1. 如图所示，已知 AD ， AE 分别是△ ABC 的高和中线， AB ＝6 cm， AC ＝8 cm， BC ＝10 cm，∠ CAB ＝90°.试求： (1) AD 的长； 解：(1)∵∠ BAC ＝90°， AD 是边 BC 上的高， ∴ AB · AC ＝ BC · AD . ∴ AD ＝ ＝ ＝4.8(cm)， 即 AD 的长为4.8 cm. 1 2 3 4 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 (2)△ ABE 的面积. 解：(2)方法一：∵△ ABC 是直角三角形，∠ BAC ＝ 90°， AB ＝6 cm， AC ＝8 cm， ∴ S△ ABC ＝ AB · AC ＝ ×6×8＝24(cm2). 又∵ AE 是△ ABC 的中线， ∴ S△ ABE ＝ S△ AEC . ∴ S△ ABE ＝ S△ ABC ＝12(cm2). 1 2 3 4 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 ∴△ ABE 的面积是12 cm2. 方法二：∵ BE ＝ BC ＝5，由(1)知 AD ＝4.8， ∴ S△ ABE ＝ BE · AD ＝ ×5×4.8＝12(cm2). ∴△ ABE 的面积是12 cm2. 1 2 3 4 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 2. 如图所示，在△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 的中点.若 S△ AEC ＝3 cm2，则 S△ ABC 为多少？ 解：∵ E 是 AD 的中点， 即 CE 是△ ADC 的中线， ∴ S△ ADC ＝2 S△ AEC ＝2×3＝6(cm2). ∵ AD 是△ ABC 的中线， ∴ S△ ABC ＝2 S△ ADC ＝2×6＝ 12(cm2). 1 2 3 4 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 3. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AC 上的高 BD ＝4， AB ＝10， BE 是△ ABC 的中线， F 为 BC 上的三等分点.求点 F 到 AC 边的距离. 1 2 3 4 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 解：设点 F 到 AC 边的距离为 h . ∵ AB ＝ AC ， AB ＝10，∴ AC ＝10. ∴ S△ ABC ＝ AC · BD ＝ ×10×4＝20. 又∵ BE 是△ ABC 的中线， ∴ S△ BEC ＝ S△ ABC ＝10， EC ＝ AC ＝5. ∵ F 为 BC 上的三等分点， ∴ S△ EFC ＝ S△ BEC ＝ . ∵ S△ EFC ＝ EC · h ， ∴ h ＝ ＝ ，即点 F 到 AC 边的距离为 . 1 2 3 4 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 4. 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的 高相同，则它们的面积比等于对应底边的比.如图1， M 是 BC 上一点， 则有 ＝ .如图2，在△ ABC 中， M 是 BC 上一点， BM ＝ BC ， N 是 AC 的中点，若三角形 ABC 的面积是 m ，求四边形 CMDN 的 面积.(用含 m 的代数式表示) 1 2 3 4 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 解：解：如图，连接 CD . ∵ N 是 AC 的中点， ∴ ＝ ＝1. ∴ S△ ADN ＝ S△ CDN . 同理 S△ ABN ＝ S△ CBN . 　 设 S△ ADN ＝ S△ CDN ＝ a .∵△ ABC 的面积是 m ， 1 2 3 4 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 ∴ S△ ABN ＝ S△ CBN ＝ m . ∴ S△ BCD ＝ S△ ABD ＝ m － a . ∵ BM ＝ BC ，∴ ＝ . ∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ . ∴ S△ CDM ＝3 S△ BDM ， S△ ACM ＝3 S△ ABM . 1 2 3 4 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 ∴ S△ CDM ＝ S△ BCD ＝ × ＝ m － a ， S△ ACM ＝ S△ ABC ＝ m . ∵ S△ ACM ＝ S四边形 CMDN ＋ S△ ADN ＝ S△ CDM ＋ S△ CDN ＋ S△ ADN ，即 m ＝ m － a ＋ a ＋ a ，解得 a ＝ m .∴ S四边形 CMDN ＝ S△ CDM ＋ S△ CDN ＝ m － × m ＋ m ＝ m . 1 2 3 4 微探究小专题1　三角形的高、中线与面积问题 $$