第一章特殊的平行四边形检测题 2024-2025学年北师大版数学九年级上册

九年级数学第一章检测题 一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（5分）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等 2．（5分）下列说法中不正确的是（　　） A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等 3．（5分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（　　） ①当∠ABC＝90°时，它是矩形； ②当AC⊥BD时，它是菱形； ③当AB＝BC时，它是矩形； ④当AC＝BD时，它是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（5分）菱形和矩形都具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线长度相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 5．（5分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，则OE＝（　　） A．4 B．2 C．2 D． 6．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（　　） A．6 B．3 C．1.5 D．1 7．（5分）四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且ADBC，AD＝BC．下列条件：①AB＝CD；②AB＝AD；③AC＝BD；④AC⊥BD．要使四边形ABCD为正方形，须添加的条件是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②③或③④ 8．（5分）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　） A．α﹣90° B．180°﹣α C．α﹣45° D．270°﹣α 9．（5分）如图，在矩形ABCD中，DE∥AC，CE∥BD．AC＝4，则四边形OCED的周长为（　　）A．6 B．8 C．10 D．12 10．（5分）如图，在正方形ABCD中，F是边CD上一点，AF交对角线BD于点E，连结CE．若∠EAB＝58°，则∠CEF的度数为（　　） A．26° B．32° C．52° D．58° 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 11．（5分）如图，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为　 　． 12．（5分）如图，在矩形ABCD中，点P在边AD上，E、F分别为BC、PB的中点，若AB＝6，则线段EF的最小值为 　 　． 13．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝2，过点D作DE⊥AB于点E，点P为线段DE上任意一点，连接PA，PB，则图中阴影部分的面积为 　 　． 14．（5分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 　 　． 15．（5分）菱形的对角线长分别为6cm和8cm，则该菱形的面积等于 　 　cm2． 16．（5分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD＝4，则AB的长为 　 　． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 17．（10分）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE． （1）求证：△DCE≌△BCE； （2）求证：∠AFD＝∠EBC． 18．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠A＝60°，点E是DC边的中点，P是边BC上的动点，PE的延长线与AD的延长线交于点F，连接PD，CF． （1）求证：四边形PCFD是平行四边形； （2）当BP等于何值时，四边形PCFD是矩形？请说明理由； （3）当BP等于何值时，四边形PCFD是菱形？请说明理由． 九年级数学第一章检测题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（5分）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直平分且相等 【分析】平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质． 【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立． 故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分． 故选：A． 【点评】本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键． 2．（5分）下列说法中不正确的是（　　） A．四边相等的四边形是菱形 B．对角线垂直的平行四边形是菱形 C．菱形的对角线互相垂直且相等 D．菱形的邻边相等 【分析】由菱形的判定与性质即可得出A、B、D正确，C不正确． 【解答】解：A．四边相等的四边形是菱形；正确； B．对角线垂直的平行四边形是菱形；正确； C．∵菱形的对角线互相垂直且平分， ∴选项C不正确； D．菱形的邻边相等；正确； 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的性质；熟记菱形的性质和判定方法是解题的关键． 3．（5分）已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的有（　　） ①当∠ABC＝90°时，它是矩形； ②当AC⊥BD时，它是菱形； ③当AB＝BC时，它是矩形； ④当AC＝BD时，它是正方形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案． 【解答】解：①若∠ABC＝90°，则▱ABCD是矩形，选项说法正确； ②若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法正确； ③若AB＝BC，则▱ABCD是菱形，选项说法错误； ④若AC＝BD，则▱ABCD是矩形，选项说法错误； 故选：B． 【点评】此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 4．（5分）菱形和矩形都具有的性质是（　　） A．对角线互相平分 B．对角线长度相等 C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角 【分析】利用矩形的性质和菱形的性质对每个选项进行分析，即可得出答案． 【解答】解：∵菱形和矩形都是特殊的平行四边形，它们都具有平行四边形对角线互相平分的性质， ∴选项A符合题意； ∵矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等， ∴选项B不符合题意； ∵菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直， ∴选项C不符合题意； ∵菱形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角， ∴选项D不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解决问题的关键． 5．（5分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，∠ABC＝60°，BD＝4，则OE＝（　　） A．4 B．2 C．2 D． 【分析】根据菱形的性质可得，∠ABO＝30°，AC⊥BD，则BO＝2，再利用含30°角的直角三角形的性质可得答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴BO＝DO，∠ABO＝30°，AC⊥BD，AB＝AD， ∴BO＝2， ∴AO＝＝2， ∴AB＝2AO＝4， ∵E为AD的中点，∠AOD＝90°， ∴OE＝AD＝2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 6．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（　　） A．6 B．3 C．1.5 D．1 【分析】根据题意可知：MN是线段AC的垂直平分线，然后根据三角形相似可以得到点D为AB的中点，再根据直角三角形斜边上的中线和斜边的关系，即可得到CD的长． 【解答】解：由已知可得， MN是线段AC的垂直平分线， 设AC与MN的交点为E， ∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC， ∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE， ∴ED∥CB， ∴△AED∽△ACB， ∴， ∴， ∴AD＝AB， ∴点D为AB的中点， ∵AB＝3，∠ACB＝90°， ∴CD＝AB＝1.5， 故选：C． 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线、线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7．（5分）四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且ADBC，AD＝BC．下列条件：①AB＝CD；②AB＝AD；③AC＝BD；④AC⊥BD．要使四边形ABCD为正方形，须添加的条件是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．②③或③④ 【分析】因为AD∥BC，AD＝BC，所以四边形ABCD为平行四边形，添加①则可根据对角线相等的平行四边形是矩形，证明四边形是矩形，故可根据一组邻边相等的矩形是正方形来添加条件． 【解答】解：∵AD∥BC，AD＝BC ∴四边形ABCD为平行四边形 ∵AC＝BD ∴平行四边形ABCD是矩形 若AB＝AD 则四边形ABCD为正方形； 若AC⊥BD，则四边形ABCD是正方形． 故选：D． 【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种： ①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等； ②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 8．（5分）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　） A．α﹣90° B．180°﹣α C．α﹣45° D．270°﹣α 【分析】根据矩形的性质可得∠B＝∠EHG＝90°，利用三角形的外角可得∠3＝α﹣90°，然后再利用∠2＝∠EHG﹣∠3，进行计算即可解答． 【解答】解：如图： ∵四边形ABCD，四边形EFGH都是矩形， ∴∠B＝∠EHG＝90°， ∵∠1是△EBH的一个外角， ∴∠3＝∠1﹣∠B＝α﹣90°， ∴∠2＝∠EHG﹣∠3 ＝90°﹣（α﹣90°） ＝180°﹣α， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 9．（5分）如图，在矩形ABCD中，DE∥AC，CE∥BD．AC＝4，则四边形OCED的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】首先利用平行四边形的判定证明四边形ODEC为平行四边形，然后利用矩形的性质得到OD＝OC＝2即可求出四边形OCED的周长． 【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形ODEC为平行四边形， ∴DE＝OC，CE＝OD， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AC＝BD，OD＝OC＝OA＝OB， ∴OD＝OC＝2， ∴DE＝CE＝2， ∴四边形OCED的周长为8． 故选：B． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，同时也利用了平行四边形的判定与性质，题目比较简单． 10．（5分）如图，在正方形ABCD中，F是边CD上一点，AF交对角线BD于点E，连结CE．若∠EAB＝58°，则∠CEF的度数为（　　） A．26° B．32° C．52° D．58° 【分析】首先利用正方形的性质证明∴△ABE≌△CBE（SAS），然后利用全等三角形的性质和四边形的内角和定理求出∠AEC，最后利用邻补角的定义即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABE＝∠CBE，AB＝BC，而BE＝BE，∠ABC＝90°， ∴△ABE≌△CBE（SAS）， ∴∠BAE＝∠BCE＝58°， 而∠ABC＝90°， ∴∠AEC＝360°﹣∠BAE﹣∠BCE﹣∠ABC＝154°， ∴∠CEF＝180°﹣∠AEC＝26°． 故选：A． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，同时也利用了全等三角形的性质与判定，最后利用了四边形的内角和解决问题． 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 11．（5分）如图，矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为　5　． 【分析】设DE＝x，则AE＝8﹣x．根据折叠的性质和平行线的性质，得∠EBD＝∠CBD＝∠EDB，则BE＝DE＝x，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：设DE＝x，则AE＝8﹣x． 根据折叠的性质，得 ∠EBD＝∠CBD． ∵AD∥BC， ∴∠CBD＝∠ADB． ∴∠EBD＝∠EDB． ∴BE＝DE＝x． 在直角三角形ABE中，根据勾股定理，得 x2＝（8﹣x）2+16 x＝5． 故答案为：5． 【点评】此题主要是运用了折叠的性质、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理． 12．（5分）如图，在矩形ABCD中，点P在边AD上，E、F分别为BC、PB的中点，若AB＝6，则线段EF的最小值为 　3　． 【分析】根据题意可知PC＝2EF，当PC最小时，EF取得最小值． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝6， E、F分别为BC、PB的中点， ∴PC＝2EF， 线段EF最小时，线段PC取得最小值， ∴当P点与D点重合时，PC最小，最小值为6， ∴EF的最小值为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了矩形的性质以及中位线定理，熟记定理并灵活运用是解题的关键．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 13．（5分）如图，在菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝2，过点D作DE⊥AB于点E，点P为线段DE上任意一点，连接PA，PB，则图中阴影部分的面积为 　　． 【分析】连接BD，根据菱形的性质可得△ABD是等边三角形，由等边三角形的性质可得S△AED＝S△BED，由此可得答案． 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAD＝∠C＝60°，AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∵DE⊥AB，AB＝2， ∴S△AED＝S△BED，AE＝BE＝AB＝1， ∴DE＝＝， ∴图中阴影部分的面积为：S△AED＝S△BED＝AE•DE＝＝． 故答案为：． 【点评】此题考查的是菱形的性质、等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． 14．（5分）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 　6　． 【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BDC的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，∠AEO＝∠CFO； 又∵∠AOE＝∠COF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF， ∴S△AOE＝S△COF， ∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△BCD； ∵S△BCD＝BC•CD＝6， ∴S阴影＝6． 故答案为6． 【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键． 15．（5分）菱形的对角线长分别为6cm和8cm，则该菱形的面积等于 　24　cm2． 【分析】直接利用菱形的面积公式计算． 【解答】解：∵菱形的对角线长分别为6cm和8cm， ∴该菱形的面积＝×6×8＝24（cm2）． 故答案为：24． 【点评】本题考查了菱形的性质：菱形面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）． 16．（5分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD＝4，则AB的长为 　2　． 【分析】由矩形的性质可得BO＝DO＝2＝AO＝CO，由线段垂直平分线的性质可得AB＝AO＝2． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BO＝DO＝2＝AO＝CO， ∵AE垂直且平分线段BO， ∴AB＝AO＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 17．（10分）如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与点A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE． （1）求证：△DCE≌△BCE； （2）求证：∠AFD＝∠EBC． 【分析】（1）由菱形的性质得出CD＝CB，∠DCE＝∠BCE，进而利用“SAS”即可证明△DCE≌△BCE； （2）由菱形的性质得出DC∥AF，进而得出∠CDF＝∠AFD，由全等三角形的性质得出∠CDF＝∠EBC，即可证明∠AFD＝∠EBC． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝CB，∠DCE＝∠BCE， ∵CE＝CE， ∴△DCE≌△BCE（SAS）； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴DC∥AF， ∴∠CDF＝∠AFD， ∵△DCE≌△BCE， ∴∠CDF＝∠EBC， ∴∠AFD＝∠EBC． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质是解决问题的关键． 18．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠A＝60°，点E是DC边的中点，P是边BC上的动点，PE的延长线与AD的延长线交于点F，连接PD，CF． （1）求证：四边形PCFD是平行四边形； （2）当BP等于何值时，四边形PCFD是矩形？请说明理由； （3）当BP等于何值时，四边形PCFD是菱形？请说明理由． 【分析】（1）证△DFE≌△CPE，推出FE＝PE，再根据平行四边形的判定推出即可； （2）证△MBA≌△PDC（SAS），得∠PDC＝∠BMA＝90°，再根据矩形的判定推出即可； （3）证△PCD是等边三角形，得DP＝CP，再根据菱形的判定即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DFE＝∠CPE， ∵E是CD的中点， ∴CE＝DE， 在△DFE和△CPE中， ， ∴△DFE≌△CPE（ASA）， ∴FE＝PE， ∴四边形PCFD是平行四边形； （2）解：当BP＝3.5时，平行四边形CEDF是矩形，理由如下： 如图，过B作BM⊥AD于M， ∵∠A＝60°，AB＝3， ∴AM＝AB＝1.5， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BCD＝∠A＝60°，DC＝AB＝3，BC＝AD＝5， ∵AE＝3.5， ∴CP＝1.5＝AM， 在△MBA和△PDC中， ， ∴△MBA≌△PDC（SAS）， ∴∠DPC＝∠BMA＝90°， ∵四边形PCFD是平行四边形， ∴平行四边形PCFD是矩形， 故答案为：3.5； （3）解：当BP＝2时，四边形PCFD是菱形，理由如下： ∵BC＝5，BP＝2， ∴CP＝3， ∵CD＝3，∠DCP＝∠A＝60°， ∴△DCP是等边三角形， ∴DP＝CP， ∵四边形PCFD是平行四边形， ∴平行四边形PCFD是菱形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/20 15:03:11；用户：数学；邮箱：yucaisx01@xyh.com；学号：42980733 学科网（北京）股份有限公司 $$