14.1.4 整式的乘法 第3课时（教学课件）-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学（人教版，河北专版）

2024 人教版 八年级上册 数学 八年级上册 数学 人教版 2024 第十四章 整式的乘法与因式分解 14.1.4 整式的乘法 第3课时 1.理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法法则进行简单的计算，发展运算、推理能力和应用意识。 2.经历探索多项式乘法法则的过程，用数学的思维体会乘法分配律的作用与转化思想。 3.发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯。 学习目标 学习重点：多项式乘法法则的理解及运用. 学习难点：探索多项式乘法的法则，注意多项式乘法的运算中“漏项”、“符号”的问题. 学习重难点 木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗? 木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍. 想一想：上面的式子该如何计算? 地球 木星 导入新课 1.计算： (1)25×23=？ (2)x6·x4=? (3)2m×2n=？ 28 x10 2m+n 本题直接利用同底数幂的乘法法则计算 同底数幂的除法 知识点 1 学生活动一 【一起探究】 探究新知 2.填空： (1)( )( )×23=28 (2)x6·( )( )=x10 (3)( )( )×2n=2m+n 2 5 x 4 2 m 本题逆向利用同底数幂的乘法法则计算 相当于求28 ÷23=？ 相当于求x10÷x6=？ 相当于求2m+n ÷2n=？ 探究新知 3. 观察下面的等式，你能发现什么规律？ (1)28 ÷23=25 (2)x10÷x6=x4 (3) 2m+n ÷2n=2m 同底数幂相除，底数不变，指数相减 =28–3 =x10–6 =2(m+n)–n 探究新知 4. 试猜想：am ÷an=? (m，n都是正整数，且m>n) am ÷an=am–n 验证：因为am–n ·an=am–n+n=am，所以am ÷an=am–n. 探究新知 一般地，我们有 am ÷an=am–n (a ≠0，m，n都是正整数，且m>n) 即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 想一想：am÷am=? (a≠0) 同底数幂的除法 探究新知 想一想：am÷am=? (a≠0) 答：am÷am=1，根据同底数幂的除法法则可得am÷am=a0. 规定 a0 =1(a ≠0) 这就是说，除0以外任何数的0次幂都等于1. 探究新知 例1 计算： (1)x8 ÷x2 ; (2) (ab)5 ÷(ab)2. 解：(1)x8 ÷x2=x8–2=x6; (2) (ab)5 ÷(ab)2=(ab)5–2=(ab)3=a3b3. 素养考点 1 同底数幂除法法则的应用 探究新知 方法总结：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算． 探究新知 计算： (1)(–xy)13÷(–xy)8； (2)(x–2y)3÷(2y–x)2； (3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2. (3)原式＝(a2＋1)6–4–2＝(a2＋1)0＝1. 解：(1)原式＝(–xy)13–8＝(–xy)5＝–x5y5； (2)原式＝(x–2y)3÷(x–2y)2＝x–2y； 巩固练习 例2 已知am＝12，an＝2，a＝3，求am–n–1的值． 方法总结：解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对am–n–1进行变形，再代入数值进行计算． 解：∵am＝12，an＝2，a＝3， ∴am–n–1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2. 素养考点 2 同底数幂除法法则的逆运用 探究新知 (1)已知xa=32，xb=4，求xa–b； 解：xa–b=xa ÷ xb=32 ÷ 4=8； (2)已知xm=5，xn=3，求x2m–3n. 解：x2m–3n=(xm)2÷(xn)3=52 ÷ 33= . 巩固练习 单项式除以单项式 (1)计算：4a2x3·3ab2= ; (2)计算：12a3b2x3 ÷ 3ab2= . 12a3b2x3 知识点 2 学生活动二 【一起探究】 探究新知 (2)计算：12a3b2x3 ÷ 3ab2= . 4a2x3 解法2：原式=4a2x3 · 3ab2 ÷ 3ab2=4a2x3. 理解：上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3–1，b的指数0=2–2，而b0=1，x的指数3=3–0. 解法1： 12a3b2x3 ÷ 3ab2相当于求( )·3ab2=12a3b2x3. 由(1)可知括号里应填4a2x3. 探究新知 单项式相除， 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 单项式除以单项式的法则 探究新知 理解 商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂 底数不变， 指数相减. 保留在商里 作为因式. 被除式的系数 除式的系数 探究新知 例 计算： (1)28x4y2 ÷7x3y； (2)–5a5b3c ÷15a4b. =4xy； (2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c 解:(1)原式=(28 ÷7)x4–3y2–1 = ab2c. 单项式除法以单项式法则的应用 素养考点 探究新知 多项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得漏项，并且要注意符号的变化. 探究新知 下列计算错在哪里？怎样改正？ (1)4a8 ÷2a 2= 2a 4 ( ) (2)10a3 ÷5a2=5a ( ) 2a6 2a × × 系数相除 同底数幂的除法， 底数不变，指数相减. 巩固练习 (3)(–9x5) ÷(–3x) =–3x4 ( ) (4)12a3b ÷4a2=3a ( ) 3x4 7ab × × 只在一个被除式里含有的字母，要连同它的指数写在商里，防止遗漏. 求商的系数，应注意符号. 巩固练习 计算： (1)(2a2b2c)4z÷(–2ab2c2)2； (2)(3x3y3z)4÷(3x3y2z)2÷x2y6z． 解：(1)原式＝16a8b8c4z÷4a2b4c4＝4a6b4z； (2)原式＝81x12y12z4÷9x6y4z2÷x2y6z＝9x4y2z. 巩固练习 方法总结：掌握整式的除法的运算法则是解题的关键，在计算过程中注意有乘方的先算乘方，再算乘除． 巩固练习 多项式除以单项式 一幅长方形油画的长为(a+b)，宽为m，求它的面积. 面积为(a+b)m=ma+mb. 若已知油画的面积为(ma+mb)，宽为m，如何求它的长？ 长为(ma+mb)÷m. 知识点 3 问题1： 问题2： 学生活动三 【一起探究】 探究新知 如何计算(am+bm) ÷m? 计算(am+bm) ÷m就相当于求( ) ·m=am+bm，因此不难推断出括里应填a+b. 又知am ÷m+bm ÷m=a+b. 即 (am+bm) ÷m=am ÷m+bm ÷m 问题3： 探究新知 多项式除以单项式，就是用多项式的 除以这个 ，再把所得的商 . 单项式 每一项 相加 关键： 应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式. 多项式除以单项式的法则 探究新知 例1 计算(12a3–6a2+3a) ÷3a. 解： (12a3–6a2+3a) ÷3a =12a3÷3a+(–6a2) ÷3a+3a÷3a =4a2+(–2a)+1 =4a2–2a+1. 方法总结：多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题. 素养考点 1 多项式除以单项式的法则的应用 探究新知 计算：(1)(6x3y4z–4x2y3z＋2xy3)÷2xy3； (2)(72x3y4–36x2y3＋9xy2)÷(–9xy2)． (2)原式= 72x3y4÷(–9xy2)＋(–36x2y3)÷(–9xy2)＋9xy2÷(–9xy2) = –8x2y2＋4xy–1. 解：(1)原式=6x3y4z÷2xy3–4x2y3z÷2xy3＋2xy3÷2xy3 =3x2yz–2xz＋1； 巩固练习 例2 先化简，后求值：[2x(x2y–xy2)＋xy(xy–x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014. 解：原式＝[2x3y–2x2y2＋x2y2–x3y]÷x2y， 原式＝x–y＝2015–2014＝1. ＝x–y. 把x＝2015，y＝2014代入上式，得 素养考点 2 多项式除以单项式的化简求值问题 探究新知 求值：(21x4y3–35x3y2+7x2y2)÷(–7x2y)，其中x=1，y= –2 解:原式 =21x4y3 ÷(–7x2y) –35x3y2 ÷(–7x2y) +7x2y2 ÷(–7x2y) = –3x2y2 + 5xy – y 把x＝1，y＝–2代入上式，得 原式＝–312(–2)2+51(–2) –(–2) ＝–12–10+2＝–20. 巩固练习 2. 如果(x+a)(x+b)的结果中不含x的一次项，那么a、b满足(　　) A．a=b B．a=0 C．a=–b D．b=0 1. 计算(x–1)(x–2)的结果为(　　) A．x2+3x–2 B．x2–3x–2 C．x2+3x+2 D．x2–3x+2 3. 已知ab=a+b+1，则(a–1)(b–1)=_____． C D 2 当堂训练 4. 计算：(1)(x−3y)(x+7y)； (2)(2x + 5y)(3x−2y). 解: (1) (x−3y)(x+7y) =x2 +4xy–21y2； (2) (2x +5 y)(3x−2y) =6x2 +11xy−10y2. =x2 +7xy−3yx–21y2； =2x•3x−2x• 2y+5 y• 3x−5y•2y =6x2 −4xy+ 15xy−10y2. 当堂训练 5.化简求值： (4x+3y)(4x–3y)+(2x+y)(3x–5y)，其中x=1，y= –2. 解:原式= 当x=1，y= –2时， 原式= 22×1–7×1×(–2)–14×(–2)2 = 22+14 –56 = –20. 当堂训练 整式的除法 同底数幂的除法 单项式除以单项式 底数不变，指数相减 1.系数相除； 2.同底数的幂相除； 3.只在被除式里的因式照搬作为商的一个因式 多项式除以单项式 转化为单项式除以单项式的问题 0指数幂的性质 除0以外任何数的0次幂都等于1 课堂小结 七彩作业. 课后作业 $$