12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等（教学课件）-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学（人教版，河北专版）

八年级上册 数学 人教版 2024 第十二章 全等三角形 12.2 全等三角形的判定 12.2.4 用“HL”判定直角三角形全等 1.经历探索直角三角形判定方法的过程，感悟具有传递性的数学逻辑,发展几何直观. 2.应用恰当的方法判定两直角三角形全等. 学习目标 学习重点：会用“HL”判定直角三角形全等. 学习难点：探索直角三角形全等的判定方法. 学习重难点 判定三角形全等的方法有哪些？ 1.边边边(SSS) 3.角边角(ASA) 4.角角边(AAS) 2.边角边(SAS) 回顾复习 如图，Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是_____、_____，斜边是______. C B A AC BC AB 思考 知识点 三角形全等的判定——“HL”定理 学生活动 【一起探究】 探究新知 前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？ 想一想 探究新知 A B C B′ C′ 1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ 问题 A′ 探究新知 3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？ A B C B′ C′ A′ 探究新知 如图，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，△ABC≌△DEF 吗？ 我们知道，证明三角形全等 不存在SSA定理. A B C D E F 想一想 探究新知 10 如果这两个三角形都是直 角三角形，即∠B=∠E=90°， 且AC=DF，BC=EF，现在能 判定△ABC≌△DEF吗？ A B C D E F 探究新知 11 任意画出一个Rt△ABC ，使∠C=90°.再画一个Rt△A ′B ′C ′，使∠C′=90 ° ， B′C′=BC ， A ′B ′=AB ，把画好的Rt△A′B′ C′ 剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？ A B C 探究新知 画图思路 （1）先画∠M C′ N=90°. A B C M C′ N 探究新知 （2）在射线C′M上截取B′C′=BC. M C′ A B C N B′ M C′ 画图思路 探究新知 （3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′. M C′ A B C N B′ A′ 画图思路 探究新知 （4）连接A′B′. M C′ A B C N B′ A′ 思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？ 画图思路 探究新知 “斜边、直角边”判定方法 文字语言： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）. “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 探究新知 几何语言： A B C A ′ B′ C ′ 在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， ∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). AB=A′B′, BC=B′C′, 探究新知 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等； （ ） （2）一个锐角和这个角的邻边对应相等； （ ） （3）一个锐角和斜边对应相等； （ ） （4）两直角边对应相等； （ ） （5）一条直角边和斜边对应相等. （ ） HL AAS或ASA SAS AAS AAS 探究新知 例1 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD. 求证：BC﹦AD. A B D C 利用“HL”定理判定直角三角形全等 素养考点 1 探究新知 AB=BA, AC=BD . 证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D 都是直角. 在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC﹦AD. A B D C 应用“HL”的前提条件是在直角三角形中. 这是应用“HL”判定方法的书写格式. 利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路. 探究新知 如图，∠ACB =∠ADB=90 ° ，要证明△ABC≌△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写 出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由. （1） （ ） （2） （ ） （3） （ ） （4） （ ） A B D C AD=BC ∠ DAB= ∠ CBA BD=AC ∠ DBA= ∠ CAB HL HL AAS AAS 变式 题 1 探究新知 如图，AC,BD相交于点P ， AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C,D ， AD=BC.求证：AC=BD. HL AC=BD Rt△ABD≌Rt△BAC 变 式 题 2 探究新知 如图：AB⊥AD，CD⊥BC ， AB=CD ， 判断AD和BC的位置关系. HL ∠ADB=∠CBD Rt△ABD≌Rt△CDB AD∥BC 变 式 题 3 探究新知 如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF. 求证：Rt△ABE≌Rt△CBF. 证明：在Rt△ABE和Rt△CBF中，∠ABE＝∠CBF＝90°， ∵AB＝CB，AE＝CF , ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)． 巩固练习 例2 如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE. 探究新知 证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF. 即BC＝BE. 探究新知 方法点拨 证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 探究新知 如图，已知AE⊥BC，DF⊥BC，E，F是垂足， AE＝DF，AB＝DC，求证：AC＝DB. 巩固练习 证明：AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°. 在Rt△ABE和Rt△DCF中， AE=DF , AB＝DC, ∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)， ∴∠ABC＝∠DCB. 在△ABC和△DCB中， AB＝DC, ∠ABC＝∠DCB, BC ＝CB, ∴△ABC≌△DCB(SAS)， ∴AC＝DB . 巩固练习 例3 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？ 利用直角三角形全等解决实际问题 素养考点 2 探究新知 解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF, AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). ∴∠B=∠DEF(全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°. 探究新知 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由. 巩固练习 所以Rt△ABD≌Rt△ACD.(HL) 所以BD=CD. 解：BD=CD. 因为∠ADB=∠ADC=90°, 在Rt△ABD和Rt△ACD中, AB=AC, AD=AD, 巩固练习 1.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC _____（填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）. 全等 HL 当堂训练 2.如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点 E，AD⊥CE 于点D，下面四个结论：①∠ABE＝∠BAD；△CEB≌△ADC； ③AB＝CE；④AD－BE＝DE. 其中正确的是_______． (将你认为正确结论的序号都写上) ①②④ 当堂训练 3.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm， BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 当堂训练 解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm； 当堂训练 (2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时， △ABC才能和△APQ全等． 当堂训练 “斜边、直角边” 内容 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） 课堂小结 1.课本P43 练习2. P44复习巩固 8. 2.七彩作业 课后作业 $$