11.2.1 第2课时 直角三角形的性质和判定（教学课件）-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学（人教版，河北专版）

八年级上册 数学 人教版 2024 第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角 第2课时 直角三角形的性质和判定 1.了解直角三角形两个锐角的关系. 2.掌握直角三角形的判定. 3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. 学习目标 学习重点：了解直角三角形两个锐角的关系. 学习难点：1.掌握直角三角形的判定. 2.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. 学习重难点 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？ 内角三兄弟之争 导入新课 在这个家里，我是永远的老大. 老大的度数为90°，老二若是比老大的度数大， 那么老二的度数要大于90°，而三角形的内角和为180°， 相互矛盾，因而是不可能的. 导入新课 如下图所示是我们常用的三角板，两锐角的度数之和为多少度? 30°+60°=90° 45°+45°=90° 直角三角形的两个锐角互余 知识点 1 问题1： 学生活动一 【一起探究】 探究新知 如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？ 在直角三角形ABC中，因为 ∠C=90°，由三角形内角和定理，得 ∠A +∠B+∠C=180°， 即 ∠A +∠B=90°. 由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？ 问题2： 探究新知 A B C 直角三角形的两个锐角互余．(直角三角形的性质定理）　　 应用格式： 在Rt△ABC 中， ∵　∠C =90°， ∴　∠A +∠B =90°．　 直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ． 归纳总结 探究新知 9 例1（1）如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？ 图 利用直角三角形的性质证明角相等或求角的度数 素养考点 1 探究新知 方法一（利用平行的判定和性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠D. 方法二（利用直角三角形的性质）： ∵∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠D. 图 探究新知 解：∠A=∠C. 理由如下： ∵∠B=∠D=90°， ∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°. ∵∠AOB=∠COD， ∴∠A=∠C. （2）如图，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由. 图 与图有哪些共同点与不同点？ 探究新知 在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是(　　) A．120° B．90° 　 C．60° 　 D．30° D 巩固练习 如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝(　 　)度 A．70 B．65 C．60 D．55 A 巩固练习 例2 如图， ∠C=∠D=90 °， AD， BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ A B C D E 解：在Rt△ACE中， ∠CAE=90 °– ∠AEC. 在Rt△BDE中， ∠DBE=90 °– ∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED， ∴ ∠CAE= ∠DBE. 探究新知 如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB＝45°.求∠ABE的度数． 探究新知 解：∵CD是AB上的高， ∴∠DBC＝90°–∠DCB＝90°–45°＝45°. ∵BE是AC上的高， ∴∠EBC＝90°–∠ECB＝90°–67°＝23°. ∴∠ABE＝∠ABC–∠EBC＝45°–23°＝22°. 探究新知 【思考】通过前面的例题，你能画出这些题型的基本图形吗？ 基本图形 ∠A=∠C ∠A=∠D 归纳总结 探究新知 有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形吗？ 有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点 2 A B C 学生活动二 【一起探究】 探究新知 在△ABC中， 因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又 ∠A +∠B=90°， 所以∠C=90°. 即△ABC是直角三角形. A B C 探究新知 A B C 应用格式： 在△ABC 中， ∵　∠A +∠B =90°， ∴　△ABC 是直角三角形． 有两个角互余的三角形是直角三角形.　(直角三角形的判定定理）　　 归纳总结 探究新知 例1 如图，∠C=90 °， ∠1= ∠2，△ADE是直角三 角形吗？为什么？ A C B D E ( ( 1 2 解：在Rt△ABC中， ∠2+ ∠A=90 °. ∵ ∠1= ∠2， ∴∠1 + ∠A=90 °. 即△ADE是直角三角形. 利用直角三角形的判定定理识别直角三角形 素养考点 2 探究新知 已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能 C 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　) A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝ ∠B＝ ∠C C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝2∠B＝3∠C D 巩固练习 例2 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是 直角三角形吗？为什么？ 探究新知 解：△ABD是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD， ∴∠CED=90°， ∴∠C+∠D=90°， ∵∠A=∠C， ∴∠A+∠D=90°， ∴△ABD是直角三角形. 探究新知 如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状． 巩固练习 解：在△DBC中，∠DBC＝180°–∠BDC–∠C ＝180°–80°–70°＝30°. ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC＝30°. 在△ABD中， ∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°， ∴△ABD是直角三角形． 巩固练习 1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数是（　 ） A．40° B．50° C．60° D．70° 2.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是 （ 　） A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C B D 当堂训练 3.如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°， CD⊥AB，与∠1互余的角有（　　） A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD C 当堂训练 4.将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为（　　） A．140° B．160° C．170° D．150° B 当堂训练 5.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角三角形． 证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°. ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形. 当堂训练 直角三角形的性质与判定 性质 直角三角形的两个锐角互余 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形 课堂小结 1.课本第14页练习：第1、2题. 2.七彩作业. 课后作业 $$