11.2.1 第1课时 三角形的内角和（教学课件）-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学（人教版，河北专版）

八年级上册 数学 人教版 2024 第十一章 三角形 11.2 与三角形有关的角 11.2.1 三角形的内角 第1课时 三角形的内角和 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°. 2.会运用三角形内角和定理进行计算. 学习目标 学习重点：会用平行线的性质与平角的定义证明三角形 内角和等于180°. 学习难点：会运用三角形内角和定理进行计算. 学习重难点 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 我的形状最大，那我的内角和最大. 我的形状最小，那我的内角和最小. 导入新课 5 www.czsx.com.cn 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°.与三角形的形状、大小无关. 【思考】你有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 知识点 三角形的内角和 学生活动 【一起探究】 探究新知 【思考】你有什么办法可以验证三角形的内角和为180°呢? 折叠 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 探究新知 剪拼 A B C 2 1 探究新知 测量 480 720 600 600＋480＋720＝1800 锐角三角形 探究新知 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 三角形的内角和定理的证明 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 还有其他的拼接方法吗？ 探究新知 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 探究新知 三角形三个内角的和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1.(两直线平行，内错角相等) ∠C=∠2.(两直线平行，内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 探究新知 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 .(两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2.(两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 探究新知 C B A E D F 证法3：过D作DE∥AC，作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°， ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 同学们还有其他的方法吗？ 探究新知 【思考】 多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. 1 2 C B A E D 1 2 C B A E D F 探究新知 C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 B G C 2 4 A 3 E D F H 1 同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤. 试一试 探究新知 为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 思路总结 为了证明三个角的和为180°，通过作平行线，利用平行线的性质，把所证问题转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. 作辅助线 探究新知 利用三角形的内角和定理求角的度数 素养考点 1 例1 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °， ∠B=75 °， AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. A B C D 探究新知 A B C D 解：由∠BAC=40 °， AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20 °. 在△ABD中， ∠ADB=180°–∠B –∠BAD =180°–75°–20° =85°. 探究新知 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC， ∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数． 变式题 探究新知 解：∵∠A＝50°，∠B＝70°， ∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°. ∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°， 在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B –∠BCD=80°. 探究新知 如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A = 150°，∠B= ∠D=40°.求∠C的度数. 解：∠C＝180°×2–(40°＋40°＋150°) ＝130°. 在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，则∠A的度数为(　　) A．30°　　B．40°　 C．50° 　D．60° D 巩固练习 如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE∥AB，交AC于点E，则∠ADE的大小是(　　) A．45° B．54° C．40° D．50° C 巩固练习 例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作 DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°， 求∠D. 探究新知 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°. 探究新知  直线l1∥l2，一块含45°角的直角三角尺如图放置，∠1＝85°， 则∠2＝________． 40° l1 l2 巩固练习 基本图形 由三角形的内角和定理易得 ∠A+∠B=∠C+∠D. 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 3 4 归纳总结 探究新知 例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 素养考点 2 方程的思想与三角形内角和定理的综合应用 探究新知 解: 设∠B度数为x，则∠A度数为3x，∠C度数为(x ＋ 15)， 从而有 3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解得 x ＝ 33. 所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48. 答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°，48°. 方法点拨： 三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°，列方程求解. 探究新知 北 . A D 北 . C B . 东 E 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向.从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？ 三角形的内角和定理也常常用在实际问题中. 拓展应用 北 . A D 北 . C B . 东 E 解：由题意得∠CAB= ∠BAD- ∠CAD=80 °-50°=30°. 由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °， 所以∠ABE=180 °- ∠BAD=180°-80°=100°, ∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°. 在△ABC中， ∠ACB=180 °-∠ABC- ∠ CAB =180°-60°-30° =90°. 答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °, 从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°. 拓展应用 聪明的你，还有方法吗？ 拓展应用 1.填空。 （1）在△ABC中，∠A=90°，∠B=65°，则∠C= _____. （2） 在△ABC中，∠C=42°，∠A=∠B，则∠B=_____. （3）在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则∠A=_____. （4） 在△ABC中，∠C=30°，∠A：∠B=1：2， 则∠B= _____. 25° 69° 60° 100° 当堂训练 1.填空。 （5）在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 _________三角形 . （6）在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则 ∠A= ， ∠ B= ，∠ C= . 直角 60° 50° 70° 当堂训练 2.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数． 解：∵∠A+∠ADE=180°， ∴AB∥DE， ∴∠CED=∠B=78°． 又∵∠C=60°， ∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C） =180°-（78°+60°） =42°． 当堂训练 3.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC．求∠ADC的度数. 解：∵∠B=42°，∠C=78°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°. ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD= ∠BAD=30°， ∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=72°. 当堂训练 4.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数． 解：∵△ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC+∠ACB=120°． ∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∠PBC= ∠ABC, ∠PCB= ∠ACB ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°． ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°-60°=120°． 当堂训练 解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB， ∠PBC= ∠ABC, ∠PCB= ∠ACB ∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB） = （180°-∠A）=90°- ∠A ∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠BPC=180°-( ∠PBC+∠PCB) =180°- （90°- ∠A）=90°+ ∠A 【变式题】你能直接写出∠BPC与∠A 之间的数量关系吗？ 当堂训练 三角形的 内角和定理 证明 了解添加辅助线的 方法及其目的 内容 三角形内角和 等于180 ° 课堂小结 1.课本第13页练习题 第1、2题. 2.七彩作业. 课后作业 $$