11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（教学课件）-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学（人教版，河北专版）

八年级上册 数学 人教版 2024 第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线 2 1.经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角平分线； 2.会画三角形的高、中线与角平分线； 3.了解三角形的三条高所在的直线,三条中线,三条角平分线分别交于一点. 学习目标 学习重点：掌握三角形的高，中线及角平分线的概念. 学习难点：掌握钝角三角形的两短边上高的画法. 学习重难点 1.画一画 如图，P为线段AB右上方一点，过点P作线段AB的垂线. P ● A B 回顾复习 2. 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ A C B AC=BC= AB 回顾复习 3.如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？ ∠AOC= ∠BOC A C B O 回顾复习 三角形的高的定义 A 从三角形的一个顶点， B C 向它的对边 所在直线作垂线， 顶点 和垂足 D 之间的线段 叫做三角形的高线， 简称三角形的高. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 知识点 1 三角形高的概念 学生活动一 【一起探究】 探究新知 A B C D 如右图， 线段AD是BC边上的高. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 几何语言：AD⊥BC于点D，读作AD垂直BC于点D或∠ADC=∠ADB=90°. 探究新知 你还能画出一条高来吗？ 一个三角形有三个顶点，应该有三条高. 画一画 探究新知 (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系？ O (3) 锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点； 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 如图所示； 锐角三角形的三条高 探究新知 直角边BC边上的高是 ; 直角边AB边上的高是 ; (2) AC边上的高是 ; A B C (1) 画出直角三角形的三条高， AB BC 它们有怎样的位置关系？ D 直角三角形的三条高交于直角顶点. BD 直角三角形的三条高 探究新知 (1) 你能画出钝角三角形的三条高吗？ A B C D E F (2) AC边上的高呢？ AB边上呢？ BC边上呢？ BF CE AD 钝角三角形的三条高 探究新知 A B C D F (3)钝角三角形的三条高交于一点吗？ (4)它们所在的直线交于 一点吗？ O E 钝角三角形的三条高不相交于一点； 钝角三角形的三条高所在的直线交于一点. 探究新知 3 1 1 相交 相交 不相交 相交 相交 相交 三角形的三条高所在直线交于一点. 三条高所在直线的 交点的位置 三角形的三条高的特性： 高所在的直线是否相交 高之间是否相交 高在三角形内部的数量 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 三角形 内部 直角顶点 三角形 外部 探究新知 例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　) D 素养考点 1 识别三角形的高 探究新知 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足： (1)过三角形的一个顶点；(2)为顶点到其对边所在直线的垂线段. 探究新知 在下图中，正确画出△ABC 中边BC 上高的是( ) A B C D A D C B A D C B A D C B A D C B C 巩固练习 18 例2 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为____． 素养考点 2 利用三角形的高求值 解析：当BP⊥AC时，BP的值最小. ∵S△ABC= BC·AD，S△ABC= AC·BP， ∴ BC·AD= AC·BP ∴BC·AD=AC·BP ∴6×4=5BP， BP= 所以BP的最小值为 探究新知 方法总结：可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高， 此解题方法通常称为“面积法”． 探究新知 如图，(1)写出以AE为高的三角形;(2)当BC=8，AE=3，AB=6时，求AB边上的高的长度. 巩固练习 解：(1)△ABE，△ABD，△ABC，△AED，△AEC，△ADC. (2)设AB边上的高为x， ∵S△ABC= BC·AE= AB·x ∴BC·AE=AB·x，8×3=6x 解得x=4. 巩固练习 我们学习了三角形的高，我们已经知道了三角形的面积公式，你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？ 三角形中线的概念 知识点 2 学生活动二 【一起探究】 探究新知 　　如图， 点D 是BC 的中点， 则线段AD 是△ABC 的中线， 几何语言：BD =DC = BC． 在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段叫做三角形的中线． 三角形的中线的定义 探究新知 24 如上页图，画出△ABC 的另两条中线，观察三条中线，你有什么发现？ 探究新知 　　画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，再分别画出这三个三角形的三条中线. 探究新知 三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心． 三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形. 探究新知 1.定义：在三角形中，连接一个顶点和所对边的中点的线段叫做三角形的中线. 2.三角形的重心：三角形三条中线的交点. 3.三角形的重心在各三角形中的位置：在三角形内部. 4.三角形的任何一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.如上图：AD为中线，则S△ABD=S△ACD. 5.三角形任何一边上的中线把三角形分成的两个小三角形周长之差等于原三角形长边与短边之差.△ABD的周长–△ACD的周长=AB–AC. 归纳总结 探究新知 例 如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm，则△ACD的周长为(　　) A.19 cm　 B.22 cm　 C.25 cm 　D.31 cm 利用三角形的中线求线段的值 A 素养考点 3 探究新知 解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD， ∴△ABD和△ACD周长的差=(AB+BD+AD)–(AC+CD+AD)=AB –AC. ∵△ABD的周长为25 cm，AB比AC长6 cm， ∴△ACD的周长为25–6=19(cm). 探究新知 　如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线． (1)AC = AE ，AE=_____； CD = ； AF = AB； (2)若S△ABC = 12 cm2， 则S△ABD = ． 2 BD 6 cm² A B C D E F G EC 巩固练习 　如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线． (3)若AB=4，AC=3， 则△ABD的周长与△ACD的 周长之差是______. A B C D E F G 1 巩固练习 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?你能通过折纸的方法得到它吗? 知识点 3 三角形的角平分线 学生活动三 【一起探究】 探究新知 B A C 用量角器画最简便，用圆规也能. 在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕AD即为三角形的∠A的平分线. A B C D 探究新知 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线. 1 2 A B C D “三角形的角平分线”是一条线段. 几何语言：∠1=∠2= ∠BAC 三角形的角平分线的定义 探究新知 35 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个. (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? (3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的位置关系 ? 做一做 探究新知 36 三角形共有三条内角平分线，它们交于三角形内一点. 三角形角平分线的性质 探究新知 例 如图，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°， AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数. A B D C 利用三角形的角平分线求角的度数 素养考点 4 探究新知 解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝68°， ∴∠DAC＝∠BAD＝34°. 在△ABD中，∠B+∠ADB+∠BAD＝180°， ∴∠ADB＝180°–∠B–∠BAD ＝180°–36°–34° ＝110°. A B D C 探究新知 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线，则： ∠1 = ； ∠3 = ； ∠ACB = 2 . A B C D E F 1 2 3 4 1 2 3 4 ∠2 ∠ABC ∠4 巩固练习 1.（2023•裕华区校级二模）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） D A B C D 当堂训练 41 www.czsx.com.cn 2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形 B 当堂训练 3．下列说法正确的是 （　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在 三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 当堂训练 4. 如图1所示,在△ABC中,∠ACB=90°,把△ABC沿直线AC翻折180°,使点B 落在点B′的位置,则线段AC具有性质 ( ) A.是边BB′上的中线 B.是边BB′上的高 C.是∠BAB′的角平分线 D.以上三种性质合一 D 当堂训练 44 www.czsx.com.cn 5.填空： （1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则AB= 2＿＿,BD= ＿＿，AE=＿＿＿. 图① AF DC AC 当堂训练 5.填空： (2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=_______， ∠3=________， ∠ABC=2______. 图② ∠CAD ∠2 ∠BCF 当堂训练 6.如图，在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, △DBC的周长为25cm,求△ADC的周长. A D B C 当堂训练 解： ∵CD是△ABC的中线， ∴BD=AD . ∵BC-AC=5cm, ∴ △DBC与△ADC的周长差是5cm. 又∵ △DBC的周长为25cm， ∴ △ADC的周长为25-5=20(cm). A D B C 当堂训练 7.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值. 当堂训练 解：∵点D是AC的中点，∴AD＝ AC. ∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6. ∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ S△ABC＝ ×12＝4. 当堂训练 方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比． ∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF， ∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. 当堂训练 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 数量及交点位置 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高线. ∴AD⊥BC，∠ADB=∠ADC=90°. 3条高，锐角三角形：形内；钝角三角形：形外；直角三角形：直角顶点 三角形 的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中的线段 ∵ AD是△ABC的BC上的中线. ∴ BD=CD= BC. 3条，交点叫作三角形的重心.形内 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 ∵AD是△ABC的∠BAC的平分线 ∴ ∠1=∠2= ∠BAC 3条，形内. 课堂小结 1.课本第5页练习1题、2题， 第8页习题11.1的第3题、4题. 2.七彩作业. 课后作业 $$