11.1.1 三角形的边（教学课件）-【七彩作业】2024-2025学年八年级数学上册同步教学（人教版，河北专版）

八年级上册 数学 人教版 2024 第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.1 三角形的边 角平分线 三角形的线段 三角形的内角和   三角形的外角和 三角形的边 高 中线 多边形的内角和 多边形的外角和 三角形 单元内容结构图 1.认识三角形并会用几何语言表示三角形，了解三角形分类. 2.掌握三角形的三边关系. 3.运用三角形三边关系解决有关的问题. 学习目标 学习重点：运用三角形三边关系解决有关的问题. 学习难点：掌握三角形的三边关系. 学习重难点 水分子结构示意图 飞机机翼 导入新课 导入新课 7 埃及金字塔 导入新课 8 导入新课 9 问题： （1）从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到微小的分子结构，都有什么样的形象？ （2）在我们的生活中有没有这样的形象呢？试举例. 导入新课 10 www.czsx.com.cn 三角形的有关概念 知识点 1 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形，叫做三角形. 所以，三角形的特征有： (1)三条线段；(2)不在同一直线上；(3)首尾顺次连接. 三角形的定义 学生活动一 【一起探究】 探究新知 11 探究新知 边c 边b 边a 顶点A 顶点B 顶点C 角 角 角 ①边：组成三角形的每条线段叫做三角形的边. ②顶点：每两条线段的交点叫做三角形的顶点. ③内角：相邻两边组成的角. 探究新知 三角形的表示： A B C 三角形用符号“△”表示. 记作“△ ABC”读作“三角形ABC”. 如图：线段AB、BC、CA是△ABC的三边；点A、B、C△ABC的三个顶点； ∠A、∠B、∠C是△ABC的三个内角. 探究新知 例 说出图中有多少个三角形，用符号“△”表示，并指出每一个三角形的三条边，三个顶点，三个内角. 素养考点 1 三角形的识别 Q F E P G H 1 2 探究新知 解：图中有3个三角形，分别是△EHG，△EHF，△EFG. △EHG的三边是EH、HG、GE，三内角是 ∠G、∠GHE、∠HEG，三个顶点是G、H、E； △EHF的三边是EH、HF、FE， 三内角是∠EHF、∠HFE、∠HEF， 三个顶点是F、H、E； △EFG的三边是EF、FG、GE，三内角是∠G、∠GFE、∠FEG，三个顶点是G、F、E. Q F E P G H 1 2 探究新知 方法点拨 在查三角形的个数时，先给单个三角形编号，查单个的三角形，再查两个三角形组成的较大三角形，然后再查三个，四个三角形组成的三角形. 探究新知 读出图中的各个三角形. A D B E C 解：△ABE， △BCD， △ABC， △DCE， △BCE. 巩固练习 我们知道，三角形按角可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．你能按照边的关系对三角形进行分类吗？ 三角形的分类 知识点 2 学生活动二 【一起探究】 探究新知 三边都不相等的三角形 三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 按边分类后的特殊三角形之间有什么关系？它们的边和角怎样命名？ 探究新知 腰 腰 底边 三角形 顶角 底角 底角 探究新知 素养考点 2 判断三角形的形状 例 根据下列条件，判断△ABC的形状. ①∠A=45°，∠B=65°，∠C=70°; ②∠C=110°; ③∠C=90°; ④AB=BC=3，AC=4 探究新知 解：①∵∠A，∠B，∠C都小于90°， ∴△ABC是锐角三角形 ②∵∠C=110°＞90°，∴△ABC是钝角三角形 ③∵∠C=90°=90°， ∴△ABC是直角三角形 ④∵AB=BC=3，AC=4，∴△ABC是等腰三角形 探究新知 下列说法正确的有(　　) ①等腰三角形是等边三角形; ②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等 边三角形; ③等腰三角形至少有两边相等; ④三角形按角可分为锐角三角形、直角三角形和钝角 三角形. A.①②　 　B.①③④ C.③④　　　D.①②④ C √ √ 巩固练习 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它会选择哪条路线?如果小狗在C点呢？ B C A C A B 知识点 3 三角形三边的关系 学生活动三 【一起探究】 探究新知 在一个三角形中，任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系呢？ B C A 想一想 探究新知 计算三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？ A C B 试一试 探究新知 　　 如图三角形中，假设小狗要从点B出发沿着三角形的边跑到点C，它有几条路线 可以选择？各条路线的长一样吗？ A B C 探究新知 路线1:由点B到点C. 路线2:由点B到点A，再由点A到点C. 两条路线长分别是BC，AB+AC. 由“两点之间，线段最短”可以得到AB+AC>BC . 由不等式的基本性质可得：AB>BC–AC. 探究新知 A B C 同理可得：AC+BC>AB， AB+BC>AC(AC>AB –BC，BC>AC–AB) 三角形的三边有这样的关系： (1) 三角形两边的和大于第三边. (2) 三角形两边的差小于第三边. 探究新知 例1 下列长度的各组线段能否组成一个三角形？ (1)15cm、10cm、7cm (2) 4cm、5cm、10cm (3) 3cm、8cm、5cm (4) 4cm、5cm、6cm 素养考点 1 利用三角形三边的关系判断三条线段能否组成三角形 探究新知 (2) 因为4cm+5cm<10cm，所以这三条线段不能组成一个三角形. (3) 因为3cm+5cm=8cm， 所以这三条线段不能组成一个三角形. (1) 因为10cm+7cm>15cm， 所以这三条线段能组成一个三角形. 解： (4) 因为4cm+5cm>6cm，所以这三条线段能组成一个三角形. 探究新知 只要满足较小的两条线段之和大于第三条线段，或较长线段与最短线段之差小于中间线段，便可构成三角形;若不满足，则不能构成三角形. 方法点拨 探究新知 (3) 以长为3cm、5cm、7cm、10cm的四条线段中的 三条线段为边，可构成_____个三角形． (1)任何三条线段都能组成一个三角形 . ( ) (2)因为a+b>c，所以a、b、c三边可以构成三角形. ( ) × × 2 完成下列各题： 巩固练习 (4)已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这三 角形的周长为 (　 ) 　A. 14cm　 B.19cm C. 14cm或19cm D. 不确定 B 巩固练习 例2 用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ 素养考点 2 利用三角形三边的关系解决实际问题 解 ：(1)设各边的长为x厘米，则腰长为2x厘米， 由题意得：x+2x+2x=18 解得x=3.6 ， 所以三边长分别为3.6厘米，7.2厘米，7.2厘米. 探究新知 例2 用一根长为18厘米的细铁丝围成一个等腰三角形. (2)能围成有一边的长为4厘米的等腰三角形吗？为什么？ 解 ：因为长为4厘米的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论. (a) 如果4厘米长为底边，设腰长为x厘米，则4+2x=18，解得x=7. (b) 如果4厘米长为腰，设底边长为y厘米，则24+y=18， 解得y=10. 因为4+4＜10，出现两边和小于第三边的情况，所以不能围成腰长为4厘米的等腰三角形. 由以上结论可知，可以围成底边长是4厘米的等腰三角形. 探究新知 有人说，自己步子大，一步能走3米多，你相信吗？说说你的理由！ 提示：不能.如果此人一步能走3米多，由三角形三边的关系得，此人两腿的长大于3米多，这与实际情况相矛盾，所以它一步不能走3米多. 想一想 探究新知 如果等腰三角形的一边长是4cm，另一边长是9cm，则这个等腰三角形的周长=______________. 如果等腰三角形的一边长是5cm，另一边长是8cm，则这个等腰三角形的周长=______________. 5， 5， 8 5， 8， 8 18cm或21cm 4，4，9 4，9，9 × √ 4+9+9=22 22cm 三边长 三边长 √ √ 巩固练习 1.判断下列长度的三条线段能否拼成三角形？为什么？ （1）3cm、8cm、4cm； （2）5cm、6cm、11cm； （3）5cm、6cm、10cm. 解：（1）不能，因为3cm+4cm<8cm； （2）不能，因为5cm+6cm=11cm； （3）能，因为5cm+6cm>10cm. 拓展应用 判断三条线段是否可以组成三角形，只需说明两条较短线段之和大于第三条线段即可. 拓展应用 2.一根木棒长为7，另一根木棒长为2，那么用长度为4的木棒能和它们拼成三角形吗？长度为11的木棒呢？若不能拼成，则第三条边应在什么范围呢？ 拓展应用 解：设第三边长为x，则应有 7-2<x<7+2， 即5<x<9. 则用长度为4的木棒不能和它们拼成三角形，长度为11的木棒也不能和它们拼成三角形.第三边长的范围为5<x<9. 拓展应用 归纳： 设x为三角形第三条边的长，则有 两边之差＜x＜两边之和. 拓展应用 3. 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ 解：(1)设底边长为xcm，则腰长为2xcm, x+2x+2x=18. 解得 x=3.6. 所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm. 拓展应用 3. 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. (2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么 ？ 解：(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论. ①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则有4+2x=18. 解得x=7. ②若腰长为4cm,设底边长为ycm，则有2×4+y=18. 解得y=10. 因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以该情况不存在. 由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形. 拓展应用 归纳：等腰三角形与三角形的三边关系结合时，若腰和底不明确，需要分类讨论，再检验是否符合三边关系. 拓展应用 1.图中锐角三角形的个数有 ( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 A 2.用木棒钉成一个三角架,两根小棒分别是7cm和10cm,第三根小棒可取 ( ) A.20cm B.3cm C.11cm D.2cm C 当堂训练 3.（2023.河北中考）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 B 当堂训练 4.如图，在△ACE中，∠CEA的对边是 ． A B F E D C 5.已知等腰三角形的两边长分别为8cm，3cm，则这个三角形的周长为 __________. AC 19cm 注意：等腰三角形问题常要用到分类讨论。 当堂训练 6.若三角形的两边长分别是2和7,第三边长为奇数,求第三边的长. 解：设第三边长为x,根据三角形的三边关系，可得， 7-2＜x＜7+2，即5＜x＜9， 又因为x为奇数，所以x =7，即第三边的长为7. 当堂训练 三角形 定义及其基本要素 顶点、角、边 分类 按角分类 按边分类分类 不重不漏 三边关系 原理 两点之间线段最短 内容 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 |a-b|<x<a+b (a>b,x为第三边） 应用 课堂小结 1.课本第4页练习题：第1、2题. 2.七彩作业. 课后作业 $$