章末整合提升4 指数函数、对数函数与幂函数(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

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(3)由2x＝3，log4 eq \f(8,3) ＝y，得x＝log23，y＝log4 eq \f(8,3) ＝ eq \f(1,2) log2 eq \f(8,3) ， 所以x＋2y＝log23＋log2 eq \f(8,3) ＝log28＝3. 答案　(1) eq \f(8,3) 　(2)5　(3)3 2．计算下列各题： (1)( eq \r(3,2) × eq \r(3) )6＋( eq \r(2\r(2)) ) eq \s\up16(\f(4,3)) －4× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,49))) eq \s\up20(－\f(1,2)) － eq \r(4,2) ×80.25－(－2 005)0； (2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2 eq \r(3) )2＋lg eq \f(1,6) ＋lg 0.06. 解析　(1)原式＝(2 eq \s\up16(\f(1,3)) ×3 eq \s\up16(\f(1,2)) )6＋(2 eq \s\up16(\f(1,2)) ×2 eq \s\up16(\f(1,4)) ) eq \s\up16(\f(4,3)) －4× eq \f(7,4) －2 eq \s\up16(\f(1,4)) ×2 eq \s\up16(\f(3,4)) －1 ＝22×33＋2－7－2－1＝100. (2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋( eq \r(3) lg 2)2＋lg 0.01 ＝3lg 2·lg 5＋3lg 5＋3(lg 2)2－2 ＝3－2＝1. (二)指数函数、对数函数、幂函数的图象问题 1．题型为选择题或填空题，主要考查识别指数函数、对数函数、幂函数的图象，利用图象解决一些数学问题． 2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象恒过定点(0，1)，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)的图象恒过定点(1，0). 3．识别函数的图象从以下几个方面入手：①单调性：函数图象的变化趋势；②奇偶性：函数图象的对称性；③特殊点对应的函数值． 　(1)已知a＞1，b＜－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过(　　) A．第一象限　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)对a＞0且a≠1的所有正实数，函数y＝ax＋1－2的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是________． (3)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是__________(填序号). [自主解答]　(1)∵a＞1，∴函数y＝loga(x－b)(b＜－1)的图象就是把函数y＝logax的图象向左平移|b|个单位长度，如图．由图可知函数y＝loga(x－b)图象不经过第四象限，所以选D. (2)当x＝－1时，y＝a0－2＝－1， 所以该定点的坐标是(－1，－1). (3)因为lg a＋lg b＝lg (ab)＝0，所以ab＝1，即b＝ eq \f(1,a) ，则f(x)＝ax，g(x)＝－logbx＝logax.当a＞1时，在各自的定义域内，f(x)是增函数，g(x)是增函数，所以②正确；0＜a＜1时，在各自的定义域内，f(x)是减函数，g(x)是减函数，所以①③④都不正确． [答案]　(1)D　(2)(－1，－1)　(3)② (三)指数函数、对数函数、幂函数性质的应用(题点多探　多维探究) 角度1　数的大小比较问题 指数式与对数式的大小比较是基本初等函数中的一类重要题目类型，其主要方法有以下三种： (1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解； (2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0，1，－1等； (3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决． 　(1)已知a＝212，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(－0.5) ，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜b＜a　　　　　 B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a (2)比较下列各组数的大小： ①40.9，80.48， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(－1.5) ；②log2 0.4，log3 0.4，log4 0.4. [自主解答]　(1)因为a＝212，b＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(－0.5) ＝2 eq \s\up16(\f(1,2)) ， 且y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以a＞b＞20＝1. 又c＝2log52＝log54＜1，因此a＞b＞c. (2)①40.9＝21.8，80.48＝21.44， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(－1.5) ＝21.5. 因为y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以40.9> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(－1.5) >80.48. ②因为对数函数y＝log0.4 x在(0，＋∞)上是减函数， 所以log0.4 4<log0.4 3<log0.4 2<log0.4 1＝0. 又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数， 所以 eq \f(1,log0.4 2) < eq \f(1,log0.4 3) < eq \f(1,log0.4 4) ， 即log2 0.4<log3 0.4<log4 0.4. [答案]　(1)A　(2)①40.9> eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(－1.5) >80.48 ②log2 0.4<log3 0.4<log4 0.4 角度2　指数函数、对数函数、幂函数的综合应用 1．指数函数、对数函数及幂函数性质的对比 (1)指数函数与对数函数的图象与性质都与底数a的取值密切相关，而幂函数的图象与性质与指数α密切相关．底数相同的指数函数、对数函数互为反函数，其单调性相同． (2)指数函数图象过定点(0，1)，对数函数图象过定点(1，0)，幂函数图象过定点(1，1)，并且在指数α＞0时过(0，0)，(1，1). 2．基本初等函数综合问题的解题思路 (1)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行． (2)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误． (3)解决基本初等函数综合问题时，要把它们的性质和图象同奇偶性、单调性相结合．同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论． 　设f(x)＝log eq \s\do17(\f(1,2)) eq \f(1－ax,x－1) 为奇函数，a为常数． (1)求a的值； (2)试说明f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增； (3)若对于区间[3，4]上的每一个x值，不等式f(x)＞ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(x) ＋m恒成立，求实数m的取值范围． [自主解答]　(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴log eq \s\do17(\f(1,2)) eq \f(1＋ax,－x－1) ＝－log eq \s\do17(\f(1,2)) eq \f(1－ax,x－1) ＝log eq \s\do17(\f(1,2)) eq \f(x－1,1－ax) . ∴ eq \f(1＋ax,－x－1) ＝ eq \f(x－1,1－ax) ， 即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)，∴a＝－1(a＝1舍去). (2)由(1)可知 f(x)＝log eq \s\do17(\f(1,2)) eq \f(x＋1,x－1) ＝log eq \s\do17(\f(1,2)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x－1))) (x＞1)， 令u(x)＝1＋ eq \f(2,x－1) (x＞1)， 对任意的1＜x1＜x2，有： u(x1)－u(x2)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x1－1))) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,x2－1))) ＝ eq \f(2(x2－x1),(x1－1)(x2－1)) . ∵1＜x1＜x2，∴x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0， ∴ eq \f(2(x2－x1),(x1－1)(x2－1)) ＞0，即u(x1)－u(x2)＞0. ∴函数u(x)＝1＋ eq \f(2,x－1) 在(1，＋∞)上是减函数． ∵函数y＝log eq \s\do17(\f(1,2)) u在(0，＋∞)上是减函数， ∴f(x)＝log eq \s\do17(\f(1,2)) eq \f(x＋1,x－1) 在(1，＋∞)上为增函数． (3)设g(x)＝log eq \s\do17(\f(1,2)) eq \f(x＋1,x－1) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(x) ， 由(2)知：函数y＝log eq \s\do17(\f(1,2)) eq \f(x＋1,x－1) 在[3，4]上是增函数． ∵y＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(x) 在[3，4]上是减函数， ∴g(x)＝log eq \s\do17(\f(1,2)) eq \f(x＋1,x－1) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(x) 在[3，4]上是增函数．∴x＝3时， g(x)min＝g(3)＝log eq \s\do17(\f(1,2)) eq \f(3＋1,3－1) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(3) ＝－1－ eq \f(1,8) ＝－ eq \f(9,8) . ∵对任意x∈[3，4]时，g(x)＞m， 即log eq \s\do17(\f(1,2)) eq \f(x＋1,x－1) － eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up20(x) ＞m恒成立，∴m＜－ eq \f(9,8) ， 即所求m的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,8))) . 函数性质与对数函数的综合应用 [典例]　设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(b＋2)的大小关系是(　　) A．f(a＋1)≥f(b＋2)　 B．f(a＋1)<f(b＋2) C．f(a＋1)≤f(b＋2) D．f(a＋1)>f(b＋2) [解析]　由于此函数是偶函数， 所以函数f(x)＝loga|x－b|中b＝0. 又函数在(－∞，0)上单调递增， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 故0<a<1.所以有1<a＋1<2. 因为f(a＋1)＝loga|a＋1|，f(b＋2)＝loga2，且1<a＋1<2， 所以f(a＋1)>f(b＋2). [答案]　D ●纠错心得 不能看到是比较大小问题且给出了函数的单调性时就急于应用单调性求解，从而使问题变得复杂；一定要先借助函数是偶函数这一特性求出参数b的值再求解． 指数函数与对数函数的综合问题 [典例]　(13分)已知函数f(x)＝lg (ax－bx)(常数a>1>b>0). (1)求y＝f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的单调性； (3)当a，b满足什么关系时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值？ [审题指导]　(1)由真数大于零，求其定义域． (2)利用指数、对数函数的性质判断单调性． (3)利用(2)的结论，求a，b满足的关系式． [规范解答]　(1)由ax－bx>0，得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b))) eq \s\up20(x) >1，(1分) 由a>1>b>0，得 eq \f(a,b) >1. 故x>0①. 即函数f(x)的定义域为(0，＋∞).(3分) (2)由(1)知f(x)的定义域为(0，＋∞). ∵a>1>b>0，∴函数y＝ax－bx在(0，＋∞)上是增函数，即任意x1>x2>0， 都有y1>y2>0.(5分) 所以lg y1>lg y2， 即f(x1)>f(x2)， 即f(x)在(0，＋∞)上是增函数②.(7分) (3)由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴f(x)在(1，＋∞)上也是增函数． ∴当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1).(11分) ∴只需f(1)≥0， 即lg (a－b)≥0，即a－b≥1③. 故当a≥b＋1时， f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．(13分) $$