精品解析：山西运城区实验中学2023-2024学年七年级上学期期末数学模拟试题

山西运城区实验中学2023-2024学年度第一学期七年级数学期末达标模拟考试卷 考试范围：北师大版七年级数学上；考试时间：120分钟；命题人：常旺林 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题30分） 一、选择题（共30分） 1. “雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”句中，雨“像细丝”说明（ ） A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 无法确定 2. 中国属于自己的太空空间站已经建成，并实现了航天员的长期驻留．中国空间站的在轨运行高度大约为400000米．数据400000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 如表中是6月20日六年级各班的出勤率，制成统计图应选用（ ）统计图比较合适． 班级 601 602 603 604 605 出勤率 98% 95.5% 92% 100% 93.9% A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 复式折线统计图 5. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（    ）． A. B. C. D. 6. 如图，这是交通禁止驶入标识，组成这个标识的平面图形有（ ） A. 圆、长方形 B. 圆、直线 C. 球、长方形 D. 球、线段 7. 12月21日16:15，我校七年级Super Sound英语趣配音比赛在学校千人报告厅举行．为了保证比赛准时开始，年级组长张老师组织同学16:00出发前往千人报告厅，此时时针与分针的夹角为（ ） A. 37.5° B. 75° C. 120° D. 135° 8. 如图是圆规示意图，张开的两脚所形成的角是（ ）． A. 平角 B. 钝角 C. 直角 D. 锐角 9. 平遥牛肉久负盛名，某商场经销平遥牛肉，已知每袋的进价为元，商场将进价提高后作为零售价销售，一段时间后，商场又按零售价的折销售，这时平遥牛肉每秾的零售价为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 10. 符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，…； （2），，…． 利用以上规律计算：等于（ ） A. B. C. 2023 D. 2024 第II卷（非选择题90分） 二、填空题（共15分） 11. 厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是 ___． 12. 已知方程是关于 x 的一元一次方程，则 a 的值为 _________ . 13. 我们定义一种新的运算：，其中等号右边的运算为正常的加减乘除运算，例如．在上述运算法则下，若，则______． 14. 如图，根据程序框图计算函数y的值．若输入x的值为7，则输出y的值为－2；若输入x的值为－8，则输出y的值为______． 15. 在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角，画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画3条不同的射线可以画10个锐角，画10条不同的射线，可以画出____个锐角． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）. 17. 如图，已知有不在同一条直线上的四点，请按下面的要求画图． （1）画射线． （2）画线段． （3）画直线，相交于点． 18. 某商家购进某种苹果20箱，每箱苹果以25千克为标准，超过的记为正数，不足的记为负数，这20箱苹果的重量记录如下： 与标准重量的差（单位：千克） 0 1 2.5 箱数 1 4 2 3 2 8 （1）这20箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重__________千克； （2）求这20箱苹果总重量是多少千克； （3）若该种苹果进价为每千克5元，售价为每千克8元，在售卖过程中损耗10千克．求这20箱苹果能赚__________元． 19. 如图，已知是的角平分线，是的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，且，求的度数． 20. 某校组织若干师生到故宫进行参观活动，若学校只租用 45 座的客车，则刚好坐满；若只租用60座的客车，则可少租用1辆，且有一辆上只坐了15人，其余车辆都坐满． （1）参加此次活动的师生共有多少人？ 下面是解决该问题的两种方法，请选择其中的一种方法完成分析和解答． 方法一 分析：设该校租用45座的客车需要x辆，则参观总人数可表示为 ，租用60座的客车（x-1）辆，则参观总人数可表示为 ，根据题意列方程． 方法二 分析：设该校参加此次活动的师生共有x人，则租用45座的客车需要 辆，租用60座的客车需要 辆，根据题意列方程． （2）若45座的客车每辆租金是1200元，60座的客车每辆租金是1500元，如果两种客车可以混租，请直接写出45座客车和60座客车各租多少辆时，费用最少． 21. 阅读与思考：下面是磊磊同学的数学日记，请你仔细阅读，认真思考，并完成相应的任务． 2023年11月26日星期日 今天我去图书馆看书，无意间发现一本数学资料上有这样的一段话：中学数学解题思路中有一种重要的思维方式是“整体思想”，它是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关系，进行有目的，有意识的整体处理．比如整体代入，整体运算，整体处理，整体换元……，从而使问题化繁为简，化难为易．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．我觉得运用数学思想解题，可以简化计算过程，提高解决问题的效率和准确性，同时也能培养我们的创新意识． 任务一：①若，则的值为__________． ②已知，则的值为____________． 任务二：已知有理数，，在数轴上的对应点如图所示，当，，求的值． 22. 已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． （1）_______，_______； （2）若数轴上有一点C，使得，M为的中点，求的长； （3）有一动点G从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时动点H从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上做同方向运动，设运动时间为t秒（），D为线段的中点，F为线段的中点，点E在线段上，且，在点G，H的运动过程中，直接写出的值（用含t的式子表示）． 23. 【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】 （1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数； ②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西运城区实验中学2023-2024学年度第一学期七年级数学期末达标模拟考试卷 考试范围：北师大版七年级数学上；考试时间：120分钟；命题人：常旺林 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题30分） 一、选择题（共30分） 1. “雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”句中，雨“像细丝”说明（ ） A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答． 【详解】解：“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着……”句中， 雨“像细丝”说明了：点动成线． 故选：A． 【点睛】本题考查了点、线、面、体的关系，掌握点动成线，线动成面，面动成体，是解题的关键． 2. 中国属于自己的太空空间站已经建成，并实现了航天员的长期驻留．中国空间站的在轨运行高度大约为400000米．数据400000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1位的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选B． 3. 在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了两点之间线段最短、两点确定一条直线等知识点，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧均是利用两点确定一条直线； 弯曲公路改直是利用两点之间线段最短； 故选：A． 4. 如表中是6月20日六年级各班的出勤率，制成统计图应选用（ ）统计图比较合适． 班级 601 602 603 604 605 出勤率 98% 95.5% 92% 100% 93.9% A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 复式折线统计图 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了统计图的选择，从条形统计图中很容易看出各种数量的多少；折线统计图主要作用是清楚地表示出数量增减变化的情况；通过扇形统计图可以很清楚地表示各部分数量同总数之间的关系，据此可得答案． 【详解】解：要统计各班的出勤率应选择条形统计图， 故选：A． 5. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（    ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次方程，根据竹竿总数不变，每人6竿多14竿时竹竿总数为，每人8竿少2竿时竹竿总数为，两者相等列方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设牧童有x人， ∵每人6竿多14竿， ∴竹竿总数为； ∵每人8竿少2竿， ∴竹竿总数为， ∴， 故选：A． 6. 如图，这是交通禁止驶入标识，组成这个标识的平面图形有（ ） A. 圆、长方形 B. 圆、直线 C. 球、长方形 D. 球、线段 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的定义及长方形的定义即可求解． 【详解】解：由图可得： 组成这个标识的平面图形有：圆、长方形， 故选A． 【点睛】本题考查了平面图形的认识，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 7. 12月21日16:15，我校七年级Super Sound英语趣配音比赛在学校千人报告厅举行．为了保证比赛准时开始，年级组长张老师组织同学16:00出发前往千人报告厅，此时时针与分针的夹角为（ ） A. 37.5° B. 75° C. 120° D. 135° 【答案】C 【解析】 【分析】根据周角为求得每个间隔的度数为，16:00时分针指向，时针指向，中间有个间隔，即可求解． 【详解】解：根据周角为，可得每个间隔的度数为， 当16:00时，分针指向，时针指向，中间有个间隔， 此时此时时针与分针的夹角为， 故选：C 【点睛】此题考查了周角的性质，解题的关键是理解题意，确定时钟上每个数字之间的间隔度数以及16:00时分针和时针的位置． 8. 如图是圆规示意图，张开的两脚所形成的角是（ ）． A. 平角 B. 钝角 C. 直角 D. 锐角 【答案】D 【解析】 【详解】根据锐角是大于0°而小于90°（直角）的角.可知张开的两脚所形成的角是锐角. 故选D. 9. 平遥牛肉久负盛名，某商场经销平遥牛肉，已知每袋的进价为元，商场将进价提高后作为零售价销售，一段时间后，商场又按零售价的折销售，这时平遥牛肉每秾的零售价为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列式计算即可，理解题意、列出代数式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：这时平遥牛肉每袋的零售价为：（元）． 故选：C． 10. 符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （1），，…； （2），，…． 利用以上规律计算：等于（ ） A. B. C. 2023 D. 2024 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了新定义，数字类规律探究，解题的关键是读懂题意，从已知中找到规律．从已知可得，n为正整数时，， ，然后即可计算出所求式子的值． 【详解】解：∵，，…； ，，…． ∴， ， ∴． 故选C． 第II卷（非选择题90分） 二、填空题（共15分） 11. 厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是 ___． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据绝对值最小的最接近标准，可得答案． 【详解】解：|+1.5|=1.5，|-0.6|=0.6，|+0.7|=0.7，||=， 0.6＜＜0.7＜1.5， 故最接近标准质量的足球是乙． 故答案为：乙． 【点睛】本题考查了正数和负数，利用绝对值的意义是解题关键． 12. 已知方程是关于 x 的一元一次方程，则 a 的值为 _________ . 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的概念；直接根据一元一次方程的概念求解即可． 【详解】∵方程是关于x的一元一次方程， ，解得， 故答案为：． 13. 我们定义一种新的运算：，其中等号右边的运算为正常的加减乘除运算，例如．在上述运算法则下，若，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题中所给新定义运算进行求解即可 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：7． 14. 如图，根据程序框图计算函数y的值．若输入x的值为7，则输出y的值为－2；若输入x的值为－8，则输出y的值为______． 【答案】19 【解析】 15. 在锐角内部，画出1条射线，可以画出3个锐角，画出2条不同的射线，可以画出6个锐角；画3条不同的射线可以画10个锐角，画10条不同的射线，可以画出____个锐角． 【答案】66 【解析】 【分析】考查了角的概念，解决改题的关键是找到规律．分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题． 【详解】解：∵在锐角内部，画出1条射线，可以画出个锐角， 画出2条不同的射线，可以画出个锐角； 画出3条不同的射线，画条不同的射线， …… ∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是 ， ∴画10条不同射线，可得锐角． 故答案为：66． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1）19 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查有理数混合运算及解一元一次方程： （1）原式先计算乘方，再计算乘法和除法，最后计算加减即可； （2）方程按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求出未知数的值即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并得，， 系数化为1，得：． 17. 如图，已知有不在同一条直线上的四点，请按下面的要求画图． （1）画射线． （2）画线段． （3）画直线，相交于点． 【答案】（1） 射线即为所求： （2） 如图1，线段即为所求． （3）如图1，直线，交点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作直线、射线、线段．熟练掌握直线、射线、线段的作法是解题的关键． （1）根据射线的定义进行作图即可； （2）根据线段的定义进行作图即可； （3）根据直线的定义进行作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 某商家购进某种苹果20箱，每箱苹果以25千克为标准，超过的记为正数，不足的记为负数，这20箱苹果的重量记录如下： 与标准重量的差（单位：千克） 0 1 2.5 箱数 1 4 2 3 2 8 （1）这20箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重__________千克； （2）求这20箱苹果总重量是多少千克； （3）若该种苹果进价为每千克5元，售价为每千克8元，在售卖过程中损耗10千克．求这20箱苹果能赚__________元． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查正负数应用． （1）根据题意可知最重的一箱为，最轻的一箱为，两式做减法即可得到本本题答案； （2）根据题意列出算式并正确解出即为本题答案； （3）根据题意利用利润等于售价减去进价的结果乘以销量即可计算出本题答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：（千克）， ∴这20箱苹果中，最重的一箱比最轻的一箱重4.5千克． 故答案为：4.5； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ， （千克）， 答：这20箱苹果总重量是512千克； 【小问3详解】 解：根据题意得： （元）． 答：这20箱苹果能赚1456元． 19. 如图，已知是的角平分线，是的角平分线． （1）若，，求的度数； （2）若，且，求的度数． 【答案】（1）100°；（2）22.5° 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可知∠BOC=2∠COD，∠AOC=2∠AOE，根据∠AOB=∠AOC-∠BOC易得结果； （2）由角平分线定义，设∠COD=∠BOD=x．得∠BOE=45°−x，∠COE=45°+x．∠AOE=∠COE=45°+x再根据题意∠AOC+∠BOC=180°，列方程，求出x，即可得． 【详解】解：（1）因为是的角平分线，， 所以． 因为是的角平分线， 所以． 所以． （2）因为是的角平分线， 所以设． 因为，所以，． 因为是的角平分线，所以 因为，所以， 所以，即． 【点睛】本题考查了角平分线知识，关键是根据题意，由角平分线得定义得出角之间的等量关系，从而根据等量关系求出角的度数． 20. 某校组织若干师生到故宫进行参观活动，若学校只租用 45 座的客车，则刚好坐满；若只租用60座的客车，则可少租用1辆，且有一辆上只坐了15人，其余车辆都坐满． （1）参加此次活动的师生共有多少人？ 下面是解决该问题的两种方法，请选择其中的一种方法完成分析和解答． 方法一 分析：设该校租用45座的客车需要x辆，则参观总人数可表示为 ，租用60座的客车（x-1）辆，则参观总人数可表示为 ，根据题意列方程． 方法二 分析：设该校参加此次活动的师生共有x人，则租用45座的客车需要 辆，租用60座的客车需要 辆，根据题意列方程． （2）若45座的客车每辆租金是1200元，60座的客车每辆租金是1500元，如果两种客车可以混租，请直接写出45座客车和60座客车各租多少辆时，费用最少． 【答案】（1） 解；方法一：设该校租用45座的客车需要x辆，则参观总人数可表示为人，租用60座的客车辆，则参观总人数可表示为人， 由题意得，， 解得， ∴， 答：参加此次活动的师生共有315人； 方法二：设参加此次活动的师生共有x人，则租用45座的客车需辆，租用60座的客车需要辆， 由题意得，， 解得， ∴，， 答：参加此次活动的师生共有315人，则租用45座的客车需要7辆，租用60座的客车需要6辆； （2）当租用3辆60座客车，3辆45座客车时，费用最少 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和算式是解题的关键． （1）方法一：设该校租用45座的客车需要x辆，则参观总人数可表示为人，租用60座的客车辆，则参观总人数可表示为人，据此列出方程求解即可；方法二：设参加此次活动的师生共有x人，则租用45座的客车需辆，租用60座的客车需要辆，据此列出方程求解即可； （2）分别求出当租用的60座客车从0到6辆时，对应需要租用的45座客车的数量，进而求出对应租车方案下的花费即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当租用6辆60座客车，0辆45座客车时，需要花费元， 当租用5辆60座客车，1辆45座客车时，需要花费元， 当租用4辆60座客车，2辆45座客车时，需要花费元， 当租用3辆60座客车，3辆45座客车时，需要花费元， 当租用2辆60座客车，5辆45座客车时，需要花费元， 当租用1辆60座客车，6辆45座客车时，需要花费元， 当租用0辆60座客车，7辆45座客车时，需要花费元； ∵， ∴当租用3辆60座客车，3辆45座客车时，费用最少． 21. 阅读与思考：下面是磊磊同学的数学日记，请你仔细阅读，认真思考，并完成相应的任务． 2023年11月26日星期日 今天我去图书馆看书，无意间发现一本数学资料上有这样的一段话：中学数学解题思路中有一种重要的思维方式是“整体思想”，它是从问题的整体性质出发，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关系，进行有目的，有意识的整体处理．比如整体代入，整体运算，整体处理，整体换元……，从而使问题化繁为简，化难为易．例如，求的值，我们将作为一个整体代入，则原式．我觉得运用数学思想解题，可以简化计算过程，提高解决问题的效率和准确性，同时也能培养我们的创新意识． 任务一：①若，则的值为__________． ②已知，则的值为____________． 任务二：已知有理数，，在数轴上的对应点如图所示，当，，求的值． 【答案】任务一：①；②；任务二：6 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值，绝对值化简，将原式进行正确的变形是解题的关键； 任务一：①将代入中计算即可； ②将原式变形并整理后代入计算即可； 任务二：根据数轴判断出，将绝对值化简变形并整理后将，代入计算即可； 【详解】任务一：①， ②， 任务二：根据数轴可得：，， ，， 22. 已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． （1）_______，_______； （2）若数轴上有一点C，使得，M为的中点，求的长； （3）有一动点G从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时动点H从点B出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上做同方向运动，设运动时间为t秒（），D为线段的中点，F为线段的中点，点E在线段上，且，在点G，H的运动过程中，直接写出的值（用含t的式子表示）． 【答案】（1），20 （2）5或45 （3） 【解析】 【分析】本题考查多项式的次数和系数以及数轴上点之间的距离， （1）根据多项式的次数和系数定义即可求得； （2）分情况讨论：①当点C在之间时，可求得，进一步求得，即可求出；②当点C在B右侧时，可求得，即可求得； （3）根据题意求得点G、点H、点D和点F表示的数，即可表示出、和，结合整式的混合运算即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵多项式是关于x的二次多项式， ∴，解得， ∵多项式二次项系数为b， ∴， 【小问2详解】 ①当点C在之间时， ∵，， ∴，解得， 则， ∵点M为的中点， ∴， 则； ②当点C在B右侧时， ∵，， ∴， 则， ∵点M为的中点， ∴， 则； 故的长为5或45． 【小问3详解】 ∵点G从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右运动， ∴点G表示的数为∶， 同理点H表示的数为∶， ∵， ∴点G在线段之间， ∵D为中点． ∴点D表示的数为， ∵点F是中点， ∴点F表示的数为， 则， ∵ ∴， 则． 23. 【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】 （1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数； ②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 【答案】（1）； （2）①； ②不变．理由如下： 因为，分别为和的三倍分线，，， 所以，， 所以 ； （3） 【解析】 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算． （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得出，，再求解即可； ②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案； （3）设，则，根据题意得出，，列出方程，求得，，进而得出答案． 【详解】解：（1）因为，为的二倍分线，且， 所以，， 所以． 所以． （2）①因为，分别为和的三倍分线（，）， 所以，， 因为， 所以， 所以，， 所以，， 所以． ②略 （3）设， 因为， 所以， 因为所在射线恰好分别为和的三倍分线，，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以，， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $