章末达标检测5 统计与概率(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

[时间：120分钟，满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　) A．134石　　　　　　　 B．169石 C．338石 D．1 365石 解析　依题意，这批米内夹谷为×1 534≈169(石). 答案　B 2．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为(　　) A．1% B．2% C．3% D．5% 解析　由题图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%. 答案　C 3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示： 则7个剩余分数的方差为(　　) A． B． C．36 D． 解析　由题图可知去掉的两个数是87，99，所以87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝91×7，解得x＝4.故s2＝[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－91)2×2]＝.故选B. 答案　B 4．某同学将全班同学期中考试的成绩绘制成频率分布直方图后，并将每个小矩形上方线段的中点连接起来得到频率折线图(如图所示). 据此图，下列说法不正确的是(　　) A．由频率折线图可以看出，在[75，115)区间内，随着成绩的增加，各分数对应的人数一直增加 B．由频率折线图可以看出，在[115，145)区间内各分数段的人数逐渐减少 C．据频率折线图可以估计此次考试成绩的众数是115 D．据频率折线图可以看出有50%以上的同学的分数在[95，135)区间内 解析　由题图可知分数在[95，105)内的人数没有增加，故A错误；由折线变化趋势可知B正确；115对应的纵坐标最大，所以相应的频率最大，频数也最大，据此估计此次考试成绩的众数为115，故C正确；由折线图的绘制过程及频率分布直方图中小矩形的面积意义可知D正确． 答案　A 5．(一题多解)某企业有3个分厂生产同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样的方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件做使用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h，1 020 h，1 032 h，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为(　　) A．1 013 h B．1 014 h C．1 016 h D．1 022 h 解析　解法一　由分层抽样的知识可知，从第一、二、三分厂抽取的电子产品数量分别为25件，50件，25件，则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为×(980×25＋1 020×50＋1 032×25)＝1 013(h). 解法二　因为第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，所以根据各层抽取的产品数量所占的比例计算抽取的100件产品的使用寿命的平均值为×(980＋2×1 020＋1 032)＝1 013(h). 答案　A 6．某校高三甲班、高三乙班两个班都是50个学生，如图反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比，根据图中信息，下列结论不正确的是(　　) A．甲班的数学成绩平均水平高于乙班 B．乙班的数学成绩没有甲班稳定 C．下次考试乙班的数学平均分要高于甲班 D．在第1次考试中，甲、乙两班总平均分为98分 解析　甲班的数学平均成绩为 ＝101，乙班的数学平均成绩为＝99.2，即A正确；甲班数学成绩的方差为×(0＋9＋0＋1＋16)＝5.2，乙班数学成绩的方差为×(4.22＋0.82＋3.22＋5.82＋0.82)＝12.56，即B正确；在第1次考试中，甲、乙两个班的总平均分为＝98，即D正确；下次考试乙班的数学平均分是否高于甲班，不能确定，故C错误． 答案　C 7．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　试验的样本空间Ω＝{(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)}，则样本空间的总数为10，其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为. 答案　C 8．(一题多解)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　设Ai(i＝1，2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜，B事件表示甲队获得冠军． 解法一　B＝A1＋1A2， 故P(B)＝P(A1)＋P(1)P(A2)＝＋×＝. 解法二　P(B)＝1－P(12)＝1－P(1)P(2) ＝1－×＝. 答案　D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某工厂有甲、乙两条流水线同时生产直径为50 mm的零件，各抽取10件进行测量，其结果如图所示，下列结论正确的是(　　) A．甲流水线生产的零件直径的极差为0.4 mm B．乙流水线生产的零件直径的中位数为50.0 mm C．乙流水线生产的零件直径比甲流水线生产的零件直径稳定 D．甲流水线生产的零件直径的平均数小于乙流水线生产的零件直径的平均数 解析　对于A，甲流水线生产的零件直径的极差为50.2－49.8＝0.4(mm)，故A正确；对于B，乙流水线生产的零件中，直径为49.9 mm的有3个，直径为50.0 mm的有4个，直径为50.1 mm的有3个，故乙流水线生产的零件直径的中位数为50.0 mm，故B正确； 对于C，由题图易得，乙流水线生产的零件直径的数据相对比较集中，故乙比甲流水线生产的零件直径稳定，故C正确； 对于D，经计算得甲、乙两条流水线生产的零件直径的平均数均为50.0 mm，故D错误．故选ABC. 答案　ABC 10．甲、乙两家公司独立研发疫苗A，甲公司成功的概率为，乙公司成功的概率为，丙公司独立研发疫苗B，研发成功的概率为，则(　　) A．甲、乙两家公司都研发成功的概率为 B．疫苗A被研发成功的概率为 C．疫苗A与疫苗B均被研发成功的概率为 D．仅有一种疫苗被研发成功的概率为 解析　设甲、乙、丙三家公司研发成功分别为事件M，N，T，则P(M)＝，P(N)＝，P(T)＝， 则甲、乙两家公司都研发成功的概率为P(MN)＝P(M)P(N)＝×＝，A正确； 疫苗A被研发成功的概率为P(M∪N)＝P(M)＋P(N)－P(MN)＝＋－＝，B错误； 疫苗A与疫苗B均被研发成功的概率为P(M∪N)·P(T)＝×＝，C正确； 仅有一种疫苗被研发成功的概率为P()P(T)＋P(M∪N)P()＝×＋×＝，D正确．故选ACD. 答案　ACD 11．某时期为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100人，获得了他们一天中用于自主学习和锻炼身体的总时间(单位：小时)在[2，3)，[3，4)，[4，5)，…，[8，9)，[9，10]内的数据，并绘制成频率分布直方图(如图).则下列结论正确的是(　　) A.a＝0.2 B．抽取的100人中，用于自主学习和锻炼身体的总时间的90%分位数为7.5 C．抽取的100人中，用于自主学习和锻炼身体的总时间的平均数为6.5 D．估计该校高三年级所有学生中，用于自主学习和锻炼身体的总时间的众数为6.5 解析　由题中频率分布直方图可得(0.05＋0.18＋0.1＋a＋0.32＋0.1＋0.03＋0.02)×1＝1，解得a＝0.2，故A正确； 易得前5组的频率之和为0.85，前6组的频率之和为0.95，所以用于自主学习和锻炼身体的总时间的90%分位数位于区间[7，8)内，又自主学习和锻炼身体的总时间在区间[7，8)内的频率为0.1，所以抽取的100人中，用于自主学习和锻炼身体的总时间的90%分位数为7.5，故B正确； 抽取的100人中，用于自主学习和锻炼身体的总时间的平均数为2.5×0.05＋3.5×0.18＋4.5×0.1＋5.5×0.2＋6.5×0.32＋7.5×0.1＋8.5×0.03＋9.5×0.02＝5.58，故C错误； 由频率分布直方图可得抽取的100人中，用于自主学习和锻炼身体的总时间的众数为6.5，因此估计该校高三年级所有学生中，用于自主学习和锻炼身体的总时间的众数为6.5.故D正确．故选ABD. 答案　ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，现定义这组数据的平均差为D＝(|x1－|＋|x2－|＋|x3－|＋…＋|xn－|). 下图是甲、乙两组数据的频率分布折线图． 根据折线图，可判断甲、乙两组数据的平均差D1，D2的大小关系是________． 解析　由数据频率分布折线图知，甲组数据比较分散，乙组数据较为集中，因为数据波动越大，起伏越剧烈，与xi(i＝1，2，3，…，n)之间的差距越大，所以D1>D2. 答案　D1>D2 13．港珠澳大桥是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km/h.现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图(如图).根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h的概率分别为________，________． 解析　由题中直方图知，众数为＝87.5， 用频率估计概率得，行驶速度超过90 km/h的概率为0.05×5＋0.02×5＝0.35. 答案　87.5　0.35 14．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次命中目标得2分，未命中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则p的值为________，两人各射击一次得分之和不少于2的概率为________．(本题第一空2分，第二空3分) 解析　设“甲射击一次，命中目标”为事件A，“乙射击一次，命中目标”为事件B，则“甲射击一次，未命中目标”为事件，“乙射击一次，未命中目标”为事件，则P(A)＝，P()＝1－＝，P(B)＝p，P()＝1－p，依题意得×(1－p)＋×p＝，解得p＝.得分之和不少于2的对立事件为得分之和为0，故所求概率为1－×＝. 答案　　 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)某快递网点收取快递费用的标准是重量不超过1 kg的包裹收费10元，重量超过1 kg的包裹，除收费10元之外，超过1 kg的部分，每超出1 kg(不足1 kg，按1 kg计算)需要再收费5元．该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如图所示(同一组数据用该区间的中点值作代表)。 (1)求这60天每天包裹数量的平均数和中位数； (2)该快递网点负责人从收取的每件快递的费用中抽取5元作为工作人员的工资和网点的利润，剩余的作为其他费用．已知该网点有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该网点每天的利润有多少元？ 解析　(1)每天包裹数量的平均数为0.1×50＋0.1×150＋0.5×250＋0.2×350＋0.1×450＝260(件)， 因为(0，200)的频率为0.2，[200，300)的频率为0.5，中位数为200＋×100＝260(件)， 所以该网点每天包裹数量的平均数和中位数都为260件． (2)由(1)可知平均每天的揽件数为260件， 利润为260×5－3×100＝1 000(元)， 所以该网点平均每天的利润有1 000元． 16．(15分)一个咖啡馆供应主菜、主食和甜点三类食物，可能的选择见下表，客人在每个种类中选择一种． 种类 选择 主菜 鸡肉或烤牛肉 主食 面、米饭或土豆 甜点 冰淇淋、果冻、苹果酱或桃子 (1)样本空间里一共有多少种结果？ (2)令A表示“选择冰淇淋”，B表示“选择米饭”． (ⅰ)列举事件AB中的样本点； (ⅱ)求P(A＋B). 解析　(1)用A1，A2分别表示鸡肉、烤牛肉；用B1，B2，B3分别表示面、米饭、土豆；用C1，C2，C3，C4分别表示冰淇淋、果冻、苹果酱、桃子． 客人在每个种类中选择一种，样本空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B1，C3)，(A1，B1，C4)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B2，C3)，(A1，B2，C4)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A1，B3，C3)，(A1，B3，C4)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B1，C3)，(A2，B1，C4)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B2，C3)，(A2，B2，C4)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A2，B3，C3)，(A2，B3，C4)}，共有24种不同的结果． (2)(ⅰ)A＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)}， B＝{(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B2，C3)，(A1，B2，C4)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B2，C3)，(A2，B2，C4)}， AB＝{(A1，B2，C1)，(A2，B2，C1)}． (ⅱ)由(ⅰ)知P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝， ∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝. 17．(15分)某同学参加科普知识竞赛，需回答3个问题，竞赛规则规定：答对第1，2，3个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第1，2，3个问题的概率分别为0.8，0.7，0.6，且各题答对与否相互之间没有影响． (1)求这名同学得300分的概率； (2)求这名同学至少得300分的概率． 解析　记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1，2，3)， 则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6. (1)这名同学得300分的概率为： P1＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3) ＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3) ＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228. (2)这名同学至少得300分的概率为： P2＝P1＋P(A1A2A3) ＝P1＋P(A1)P(A2)P(A3) ＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564. 18．(17分)某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变，有关数据如下表所示： 景点 A B C D E 原价/元 10 10 15 20 25 现价/元 5 5 15 25 30 日平均人数/103人 1 1 2 3 2 (1)该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，问风景区是怎样计算的？ (2)另一方面，游客认为调整收费后风景区的日平均总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？ (3)你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？ 解析　(1)风景区是这样计算的：调整前的平均价格为＝16(元)，调整后的平均价格为＝16(元). 因为调整前后的平均价格不变，日平均人数不变，所以日平均总收入不变． (2)游客是这样计算的，原日平均总收入： 10×1 000＋10×1 000＋15×2 000＋20×3 000＋25×2 000＝160 000(元). 现在日平均总收入：5×1 000＋5×1 000＋15×2 000＋25×3 000＋30×2 000＝175 000(元). 日平均总收入增加了×100%≈9.4%. (3)游客的说法较能反映整体实际． 19．(17分)某校从高一年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的数学成绩(均为整数)分成六组：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求众数和50%分位数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； (2)用比例分配的分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，求在[70，90)分数段抽取的人数； (3)若甲成绩在[70，80)，乙成绩在[80，90)，在(2)的条件下，求甲、乙至少一人被抽到的概率． 解析　(1)由题意可得(0.010＋0.015×2＋a＋0.025＋0.005)×10＝1，解得a＝0.030. 根据频率分布直方图可知，[70，80)分数段的长方形最高，因此众数为75， 设50%分位数为x，(0.010＋0.015×2)×10＝0.4<50%，0.4＋0.030×10＝0.7>50%，则x在[70，80)内，由0.4＋(x－70)×0.030＝0.5，解得x＝，因此50%分位数为. (2)因为各分数段的学生共有60名，样本量为20，因此抽样比为＝. 又在[70，90)分数段的学生共有60×(0.3＋0.25)＝33(名)， 因此在[70，90)分数段抽取的人数是33×＝11. (3)设甲被抽到的事件为A，乙被抽到的事件为B， 由比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽到的概率相等，可知P(A)＝P(B)＝＝. 于是甲、乙至少一人被抽到的概率为1－P( )＝1－×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$