阶段测评5(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

阶段测评五(范围6.1，6.2) 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．下列命题中，正确的个数是(　　) ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a≠b，则|a|≠|b|； ④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A．4　　　　　　　　 B．3 C．2 D．1 解析　根据相等向量的定义可知①正确；两个向量方向相反且模相等时不是相等向量，②错误；存在长度相等，方向不同的两个向量，它们不是相等向量，但模相等，③错误；向量可以在平面内自由移动，④错误．故选D. 答案　D 2．已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点．＝(2，4)，＝(1，3)，若点E满足＝3，则点E的坐标为(　　) A． B． C． D． 解析　易知＝－＝(－1，－1)，则C(－1，－1)，设E(x，y)，则3＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)，由＝3知解得 所以E. 答案　A 3．已知A(1，2)，B(5，4)，C(x，3)，D(－3，y)，且＝，则x，y的值分别为(　　) A．－7，－5 B．7，－5 C．－7，5 D．7，5 解析　易得＝(4，2)，＝(－3－x，y－3). ∵＝，∴解得故选C. 答案　C 4．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　) A．－ B．－ C．＋ D．＋ 解析　＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.故选A. 答案　A 5．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　因为A，B，D三点共线， 所以存在实数t，使＝t， 则－＝t(－). 所以＝＋t(－)＝(1－t)＋t. 所以解得λ＝－. 答案　C 6．(多选题)若四边形ABCD是矩形，则下列命题正确的是(　　) A．∥ B．＝ C．与的模相等、方向相反 D．||＝|| 解析　如图，在矩形ABCD中， 易知与的模相等，方向相反，故∥. 由矩形对角线相等可知||＝||， 但与的方向不同，故≠.故选ACD. 答案　ACD 7．(多选题)已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.设＝m，＝n，其中m＞0，n＞0，则下列结论正确的是(　　) A．＝＋ B．＝＋ C．2m＋n＝3 D．m＋2n＝3 解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，A正确，B错误． 因为＝m，＝n，所以＝＋＝＋. 又M，O，N三点共线，所以＋＝1， 故2m＋n＝3，C正确、D错误．故选AC. 答案　AC 8．(多选题)已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是(　　) A．＝＋ B．＋＋＝0 C．＝＋ D．＝＋ 解析　因为D为BC的中点， 所以＝(＋)，A正确； 由M为△ABC的重心可得，＝＝××(＋)＝－(＋)， 同理＝－(＋)，＝－(＋)， 所以＋＋＝0，B正确； 因为＝－(＋)＝－(＋2)＝－－，所以＝＋，C错误； ＝＋＝(＋2)＝＋，D正确．故选ABD. 答案　ABD 二、填空题(每小题5分，共20分) 9．已知＝(1，0)，＝(1，2)，＝(1，－1)，则点B的坐标为________，的坐标为________． 解析　由题意得＝＋＝(1，0)＋(1，2)＝(2，2)，∴点B的坐标为(2，2).＝－＝(1，2)－(1，－1)＝(0，3). 答案　(2，2)　(0，3) 10．若||＝8，||＝5，则||的取值范围________． 解析　＝－， 当，同向共线时，||＝||－||＝3； 当，反向共线时，||＝||＋||＝13； 当，不共线时，由＜|－|＜||＋||，可得3＜||＜13. 综上，||的取值范围是[3，13]. 答案　[3，13] 11．已知向量a＝(2，－1)，b＝(5，3)，若(a－kb)∥(a＋b)，则k＝________． 解析　由题意得a－kb＝(2－5k，－1－3k)，a＋b＝(7，2)，∵(a－kb)∥(a＋b)，∴2(2－5k)＋7(1＋3k)＝0，解得k＝－1. 答案　－1 12．设P为△ABC所在平面内一点，且满足3＋4＝m(m＞0).若△ABP的面积为8，则△ABC的面积为________． 解析　由3＋4＝m， 可得＋＝， 令＝＋，则＝，H，A，C三点共线，且H在线段AC上， 则PH∥AB，且＝，所以S△ABP＝S△ABH，＝， 所以S△ABC＝S△ABH＝S△ABP＝14. 答案　14 三、解答题(共40分) 13．(10分)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b. (1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (2)求M，N的坐标及向量的坐标． 解析　(1)由题意得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)，∴mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n). ∵a＝mb＋nc， ∴解得 (2)设O为坐标原点，∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， ∴点M的坐标为(0，20). 又＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， ∴点N的坐标为(9，2)，故＝(9，－18). 14．(10分)如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段OB上靠近点B的三等分点，设＝a，＝b. (1)用向量a与b表示向量，； (2)若＝，求证：C，D，E三点共线． 解析　(1)由题可得＝＝a， 又＝b，∴＝＋＝－b－a， ＝2＋＝2＋(＋) ＝2a＋(－a＋b)＝a＋b. (2)证明　∵＝－＝(－b)＋a＋b＝a＋b＝，∴与平行， 又与有公共点C， ∴C，D，E三点共线． 15．(10分)如图所示，在△OAB中，C为AB的中点，点D在边OB上，且＝2，OC，AD相交于点E，设＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，； (2)若＝λ，求实数λ的值． 解析　(1)∵C为AB的中点， ∴＋＝2，∴＝2－＝2a－b. ∵＝2，∴＝＝b， ∴＝－＝2a－b－b＝2a－b. (2)∵＝λ， ∴＝－＝2a－b－λa＝(2－λ)a－b. 由A，E，D三点共线得∥， ∴存在实数t，使＝t， 即(2－λ)a－b＝2ta－tb， ∴解得 16．(10分)如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，OA⊥OC，OA＝2BC＝2OC，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于点D，P为线段BC上的动点． (1)用和表示； (2)求； (3)设＝λ＋μ，求λμ的取值范围． 解析　(1)依题意＝，＝， ∴＝(－)＝(＋)－＝－， ∴＝＋＝＋＝＋. (2)设＝t(t∈R). 由(1)可知＝t＋t. 又A，C，D三点共线， ∴t＋t＝1，解得t＝，故＝3. (3)由题意得＝＋＝＋， 已知P是线段BC上的动点， 设＝x. ∵＝λ＋μ＝λ(－)＋μ(＋)＝(λ＋μx)＋(μ－λ)， 又，不共线， ∴解得 又0≤x≤，∴1≤x＋1≤，∴1≤μ≤. 可知λμ＝μ(μ－1)＝－在区间上单调递增，当μ＝1时，(λμ)min＝0， 当μ＝时，(λμ)max＝， 故λμ的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$