阶段测评2(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教B版2019）

阶段测评(二)(范围4.2～4.4) 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝－ln x B．f(x)＝ C．f(x)＝－ D．f(x)＝3|x－1| 解析　对于A，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；对于C，因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，因为f＝3＝3＝>f＝3＝30＝1，显然f(x)＝3在(0，＋∞)上不单调递增，D错误． 答案　C 2．函数f(x)＝log2(1－x)的图象为(　　) 解析　函数f(x)＝log2(1－x)为减函数，排除C、D，又当x＝0时，y＝0，排除B，故A正确． 答案　A 3．(一题多解)已知a，b＞0且a≠1，b≠1.若logab＞1，则(　　) A．(a－1)(b－1)＜0　 B．(a－1)(a－b)＞0 C．(b－1)(b－a)＜0 D．(b－1)(b－a)＞0 解析　解法一　logab＞1＝logaa，当a＞1时，b＞a＞1； 当0＜a＜1时，0＜b＜a＜1.只有D正确． 解法二　取a＝2，b＝3，排除A、B、C，故选D. 答案　D 4．将a＝，b＝1．2，c＝这三个数按从小到大的顺序排列，正确的是(　　) A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b 解析　因为a＝，b＝，c＝，y＝，y＝x在[0，＋∞)上都是增函数，＞，＞， 所以＞，＞， 所以＞＞，即c＜a＜b. 答案　A 5．设函数f(x)＝则满足f(x)≤2的x的取值范围是(　　) A．[－1，2] B．[0，2] C．[1，＋∞] D．[0，＋∞) 解析　当x≤1时，21－x≤2＝21，故1－x≤1，∴x≥0，此时0≤x≤1；当x＞1时，1－log2x≤2，即log2x≥－1＝log2，∴x≥，此时x＞1，故不等式f(x)≤2的解集为[0，＋∞). 答案　D 6．(多选题)对于函数f(x)定义域内的任意x1，x2(x1≠x2)，当f(x)＝lg x时，下述结论正确的是(　　) A．f(0)＝1 B．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2) C．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2) D．＞0 解析　A选项，函数的定义域为(0，＋∞)，故f(0)无意义，错误；B选项，f(x1＋x2)＝lg (x1＋x2)，f(x1)·f(x2)＝lg x1·lg x2，而lg (x1＋x2)≠lg x1·lg x2，错误；C选项，f(x1·x2)＝lg (x1·x2)＝lg x1＋lg x2＝f(x1)＋f(x2)，正确；D选项，f(x)＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，则＞0，正确． 答案　CD 7．(多选题)若a＞b＞1，0＜c＜1，则(　　) A．ac＞bc B．abc＞bac C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc 解析　对于A，y＝xc(c＞0)为增函数，又a＞b＞1，所以ac＞bc，故A正确；对于B，abc＞bac⇔＞，又y＝是减函数，故B正确；对于C，alogbc－blogac＝－＝＜0，故C正确；对于D，由对数函数的性质可知D不正确，故选ABC. 答案　ABC 8．(多选题)已知函数f(x)＝lg (x2＋ax－a－1)，给出下述论述，其中正确的是(　　) A．当a＝0时，f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．f(x)一定有最小值 C．当a＝0时，f(x)的值域为R D．若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是{a|a≥－4} 解析　对A，当a＝0时，解x2－1＞0有x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故A正确；对B，当a＝0时，f(x)＝lg (x2－1)，此时x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，x2－1∈(0，＋∞)，此时f(x)＝lg (x2－1)值域为R，故B错误，C正确；对D，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，此时y＝x2＋ax－a－1对称轴x＝－≤2.解得a≥－4.但当a＝－4时f(x)＝lg (x2－4x＋3)在x＝2处无意义，故D错误． 答案　AC 二、填空题(每小题5分，共20分) 9．幂函数为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减，则m＝________，f＝________． 解析　因为f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，所以m2－5m＋4＜0⇒1＜m＜4，因为m∈Z⇒m＝2或3，当m＝2或3时，都有m2－5m＋4＝－2，所以f(x)＝x－2，所以f＝4. 答案　2或3　4 10．已知函数f(x)＝则f(0)＋f(2)＝________；若f(f(a))＝2，则实数a＝____________． 解析　因为f(0)＝21－0＝2，f(2)＝log22－1＝－1， 所以f(0)＋f(2)＝2－1＝1； 设f(a)＝t，则f(t)＝2， 若t＜1，则21－t＝2，解得t＝0；若t≥1， 则log2t－1＝2，解得t＝(舍)； 当t＝0，即f(a)＝0时，若a＜1，则21－a＝0，方程无解； 若a≥1，则log2a－1＝0，解得a＝1；综上所述：a＝1. 答案　1　1 11．若loga＜1(a＞0且a≠1)，则a的取值范围是________． 解析　loga＜1＝logaa，则 当a＞1时，可得a＞，此时a＞1； 当0＜a＜1时，可得a＜，此时0＜a＜. 综上可得，a＞1或0＜a＜. 答案　∪(1，＋∞) 12．若f(x)＝ln (e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________；若g(x)＝ln (＋bx)为奇函数，则b＝________． 解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)， ∴f(－x)＝ln (e－3x＋1)－ax＝ln (e3x＋1)＋ax， ∴ln e－3x＝2ax， ∴e2ax＝e－3x，∴a＝－； ∵g(x)为奇函数，∴g(－x)＝－g(x)， ∴ln (－bx)＝－ln (＋bx)， 即ln ＝ln . ∴(－bx)(＋bx)＝1， 即1＋4x2－b2x2＝1， ∴b＝±2. 答案　－　±2 三、解答题(共40分) 13．(10分)已知f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x. (1)当x∈(－∞，0)时，求函数f(x)的解析式； (2)画出函数f(x)的图象，写出函数f(x)的单调区间． 解析　(1)设x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)， 因为当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x， 所以f(－x)＝log2(－x)， 又f(x)为定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)， 所以f(x)＝log2(－x)(x∈(－∞，0)). (2)作出函数图象如图所示． 由图象可知，f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，单调减区间是(－∞，0). 14．(10分)已知函数f(x)＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域； (2)若f(x)＞1，求x的取值范围． 解析　(1)要使函数f(x)有意义，则ax－1＞0，即ax＞1. ①若a＞1，则x＞0； ②若0＜a＜1，则x＜0. ∴当a＞1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)； 当0＜a＜1时，函数f(x)的定义域为(－∞，0). (2)当f(x)＞1时，则loga(ax－1)＞1. ①当a＞1时，则x＞0，且ax－1＞a， ∴x＞loga(a＋1)； ②当0＜a＜1时，则x＜0，且ax－1＜a， ∴loga(a＋1)＜x＜0. 综上，当a＞1时，x的取值范围是(loga(a＋1)，＋∞)； 当0＜a＜1时，x的取值范围是(loga(a＋1)，0). 15．(10分)已知函数f(x)＝log2. (1)求函数f(x)的定义域并证明该函数是奇函数； (2)若当x∈(1，＋∞)时，g(x)＝f(x)＋log2(x－1)，求函数g(x)的值域． 解析　(1)由题意得＞0，解得x＜－1或x＞1， 即函数f(x)的定义域为{x|x＜－1或x＞1}，关于原点对称， 因为f(－x)＝log2＝log2＝－log2＝－f(x)， 所以函数f(x)为奇函数． (2)由题意得，g(x)＝log2＋log2(x－1)＝log2(x＋1)，当x＞1时，log2(x＋1)＞log22＝1，且函数g(x)＝log2(x＋1)是增函数， 故当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞1，即函数g(x)的值域为(1，＋∞). 16．(10分)设函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a＞0，且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域； (2)若f(1)＝2，求函数f(x)在区间上的最大值； (3)解不等式loga(1＋x)＞loga(3－x). 解析　(1)由题意得解得－1＜x＜3，所以函数f(x)的定义域为(－1，3). (2)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a＞0，且a≠1)，所以a＝2，则f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)·(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]， 函数y＝－(x－1)2＋4在(－1，1]上单调递增，在(1，3)上单调递减， 所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数， 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. (3)当a＞1时，解得不等式的解集为{x|1＜x＜3}； 当0＜a＜1时，解得不等式的解集为{x|－1＜x＜1}． 综上所述， 当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜3}； 当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|－1＜x＜1}． 学科网（北京）股份有限公司 $$